Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidades

1 Verificar as seguintes propriedades da Esperança Seja X uma variável aleatória va discreta e c uma constante a O valor esperado média de uma constante é a própria constante Ec c b Multiplicandose c por uma va X sua média fica multiplicada por esta constante EcX cEX c Somando ou subtraindo c de uma va X sua média fica somada ou subtraída desta constante EX c EX c d Sejam X e Y duas variáveis aleatórias o valor esperado da somasubtração de variáveis aleatórias equivale à somasubtração dos valores esperados de X e Y EX Y EX EY Use indução matemática para mostrar que essa propriedade pode ser estendida para o caso de n variáveis aleatórias isto é EX1 X2 Xn EX1 EX2 EXn e Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes temos que EXY EXEY Dica Use uma função auxiliar gxy xy e que EgX i1 gxiPX xi Use indução matemática para estender ao caso de n variáveis aleatórias independentes 2 Seja X uma va e c uma constante então a A variância de uma constante é zero Varc 0 b Somandose ou subtraindose uma constante à variável aleatória sua variância não se altera Varc X VarX c Multiplicandose c por uma va X sua variância fica multiplicada pelo quadrado da constante VarcX c2 VarX d Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes a variância da somasubtração de variáveis aleatórias equivale à soma das variâncias de X e Y VarX Y VarX VarY 3 Considere a va Y com função de probabilidade dada por yi 3 1 0 2 5 8 9 pyi 025 030 020 010 007 005 003 e seja X 2Y 3 Use as propriedades para calcular a esperança a variância e o desvio padrão das va Y e X 4 Uma pequena loja registra as vendas diárias de certo aparelho A tabela abaixo dá a distribuição de probabilidades do número de aparelhos vendidos em uma semana Se o lucro por unidade vendida é de R 50000 determine o lucro esperado em uma semana Qual é o desviopadrão do lucro yi 0 1 2 3 4 5 pyi 01 01 02 03 02 01 5 Seja uma va X com função de probabilidade dada na tabela a seguir xi 1 2 3 4 5 pXxi p2 p2 p p p2 a Encontre o valor de p para que pXx seja de fato uma função de probabilidade b Calcule PX 4 e PX 3 c Calcule PX 3 2 d Calcule EX e VarX 6 Seja X va discreta com função de distribuição definida por FXx 0 x 2 18 2 x 1 58 1 x 2 78 2 x 4 1 x 4 Calcule EX EX² E5 2X EX VarX VarX² Var5 2X e VarX Dica encontre primeiro os valores possíveis de X e sua distribuição de probabilidades Variáveis Aleatórias e Distribuição de Probabilidade Temos que a definição matemática do valor esperado para uma va discreta é E X i1 n x P Xx Onde P Xx é a função de probabilidade para uma constante c podemos considerar que a va X assume o valor c com probabilidade de 1 ou seja P Xc 1 Sendo assim temos que E c c P Xc c1c Portanto podemos concluir que o valor esperado de uma contante é a própria constante Sabemos que E X i1 n xi P Xxi logo E cX i1 n c xi P Xxi Por propriedade de somatória a gente pode tirar a constante c do somatório assim teremos que E cX i1 n c xi P Xxic i1 n xi P Xxic E X cE X 1º vamos considerar que X e Y são contínuas logo sabemos que o valor esperado de uma distribuição contínua é E X x f x dx Sendo assim E XY x y f X Y x y dxdy Onde f X Y x y é a distribuição conjunta de Xe Y usando a propriedade da integral teremos que E XY x y f X Y x y dxdy x f X Y x y dxdy y f X Y x y dxdy x f X Y x y dydx y f X Y x y dxdy Sabemos que f X Y x y dyf X x função marginal de X f X Y x y dxf Y y função marginal de Y Logo temos que E XY x f X x dx y f Y y dyE X E Y 2º Agora considerando X e Y como va discretas E XY i1 n j1 n xi y j P XxiYY j Onde P XxiYY j é a distribuição conjunta E XY i1 n j1 m xi y j P XxiYY j i1 n j1 m xi P XxiYY j i1 n j1 m y jP XxiY Y j i1 n xi j1 m P XxiY y j j1 m y j i1 n P XxiYy j Onde j1 m P XxiY y jP Xxi função marginal de X i1 n P XxiY y jP Y y j função marginal de Y Logo temos que E XY i1 n xi P Xxi j1 m yi P Y y jE X E Y Agora vamos provar por indução matemática que a propriedade da linearidade da esperança se estende para n va 1º Passo Base da Indução n1 E X1E X2issoé obviamente verdadeiro n2 E X1X 2E X1E X2 isso já foi provado 2º Passo Hipótese da Indução Assumimos que a propriedade é válida para nk ou seja E X1X 2Xk E X1E X2E Xk 3º Passo Indutivo Precisamos mostrar que a propriedade é válida para nk1 consideramos a soma de k1 va E X1X 2Xk X Xk 1EX1 X2X k Xk 1 Usando a linearidade da esperança para duas variáveis que já provamos E X1X 2Xk X Xk 1E X1X2 XkE X k1 Pela hipótese de indução sabemos que E X1X 2Xk E X1E X2E Xk Portanto E X1X 2Xk X Xk 1E X1E X2E XkE Xk 1 Sabemos que quando duas va são independentes a função conjunta delas é a multiplicação das marginais f X Y x y f X x f Y y ouP Xx Y y P Xx P Yy 1º Considerando va contínuas E XY xy f X Y x y dxdy xy f X x f Y y dxdy Por propriedade de integral teremos que E XY x f X x dx y f Y y dyE X E Y 2º Considerando va discretas E XY i1 n j1 m xi y j P XxiY y j i1 n j1 m xi y jP Xxi PYy j i1 n xiP Xxi j1 m y j PYy jE X E Y Podemos encontrar a variância através da fórmula Var X E X 2E X 2 Já vimos que E c c sabemos que c 2 ainda continuará sendo constante logo E c 2c 2 assim teremos que Var c E c 2E c 2c 2c 20 Var c X E c X 2E c X 2E c 22cXX 2c E X 2c 22c E X E X 2c 22c E X E X 2E X 2E X 2Var X Var cX E cX 2 E cX 2c 2 E X 2c 2 E X 2c 2 Var X Y E X Y 2E X Y 2E X 22XY Y 2E X E Y 2E X 2 2E XY E Y 2E X 22 E X E Y E Y 2E X 22 E X E Y E Y 2E X 22 E X E Y E Y 2E X 2E X 2E Y 2E Y 2Var X Var Y E Y 302510300020201050078 0059003017 E Y 23 20251 20300 20202 2 0105 20078 20 059 2 0031033 Var Y 1033017 2103011 DPY Var Y 10301132095 E X E 2Y3 2 E Y 320173266 Var X Var 2Y3 4 Var Y 4 103011412044 DP X 41204464191 E Y 0011 012023034 025 0127 Portanto esperase vender 27 aparelhos que darão um lucro esperado de Lucro27500R 135000 Portanto o lucro esperado da semana é de R 135000 E Y 20 2011 2 012 2023 2 034 2025 20193 Var Y 9327 2201 A variância do número de equipamentos vendido é de aproximadamente 2 equipamentos logo a variância do lucro será de R 100000 isso causara um desvio padrão no lucro de R 10000 RESOLUÇÃO a Encontrar a fp i1 5 P Xxi1 p 2 p 2 p p p 21 3 p 22 p10 p22 2431 23 24 6 p1 24 6 8 6 4 3 p não poderá ser esse valor pois não existe probabilidade negativa ou seja P Xxi0 p2 24 6 2 61 3 Portanto temos que p1 3 b Cálculo de Probabilidades P X 4 P X4P X51 3 1 94 9 P X3 P X1P X21 9 1 92 9 c Probabilidade modular P X32P 2 X32P 1 X 5P X11 9 d Valor Esperado e Variância E X 1 1 92 1 9 3 1 3 4 1 3 5 1 91 9 2 9 1 4 3 5 929 9 E X 21 2 1 92 2 1 9 3 2 1 3 4 2 1 3 5 2 1 91 9 4 9 3 16 3 25 9 105 9 35 3 Var X 35 3 29 9 2 35 3 841 81 104 81 x 2 1 2 4 PXx 18 48 28 18 E X 2 1 81 4 8 2 2 8 4 1 810 8 5 4 E X 22 2 1 8 1 2 4 8 2 2 2 84 2 1 832 8 4 E 52 X 52 E X 52 5 4 55 25 2 E X2 1 81 4 8 2 2 84 1 814 8 7 4 Var X 4 5 4 2 425 1639 16 Var 52 X 4Var X 4 39 1639 4 Var X4 7 4 2 449 16 15 16 empty