Lista 6 - Limites - 2024-1

Universidade de Sao Paulo Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz” Departamento de Ciéncias Exatas LCE0120 - Calculo I Exercicios Limites: Infinitos, no infinito, fundamentais, assintotas e continuidade 1. Calcule os seguintes limites: _ | a. x1 —3x3 +. 2x7 +5 lim — lim ——— im (a) yop x2 () roe 243 (q) tim x+1 (b) lim (2x4—3x3+x+6) — (j) im x! 12x “— Ao (r) lim —— (c) kim 2 2 (k) i 5x* —3x-+1 x00 3 —4x c ——— im ————— x oo 16x —3 xe 5x7 + 2x— 1 (s) lim e* _ 1 x*—3x+1 ve d) lim = lL) lim — 2 ( ) x00 x2 (1) ye 2 +x] (t) lim 2x+ 1 (e) lim (2x5 — 3x2 +6) (m) lim 3x° re x3 x—0o X00 1 — 2x? 2 5x4 — 3x7 + 1 lim —— x° + 3x+1 ; x (u) lim im ———— lim ~—— x00 3 — (f) iim 2x2 — 5x (n) re 5x2 + 2x1 () oe 34x ; Ax +1 v) lim e* lim x4 ‘ x——00 (g) jim x (0) im, 22 +5x—1 bd . 5 2.2 . 5 . X (h) im (2x 3x + 6) (p) lim 3x (w) im 3 2. Calcule os limites: X x — x2 x (@) lim ap (2) ims FT48) —(@) tim 5 (9) tg Ve— _ Ax? (h) lim 3 , 3 5 (b) tim “4 (©) mo— 2 ) “im, (62-39 tm. (Sa-2) 2 2 53 — 1542 (6) tim (VP +2e—x) (8) tim SESE () tim (m) tim, 7 P 3. Nos exercicios abaixo, ache as assintotas horizontais e verticais do grafico de cada fungao e trace o grafico: 5x 2x7 d) f(x) = —=—= 2—3x ( ) Pe) Vx2—4 9x2 1 (b) f(x) = 34 5x (g) f(x) = art * 3 2x? — 3x 3 (e) f®) =a (0) (®) == +2) V2x7+1 4. Usando o primeiro limite fundamental, calcule os limites abaixo: 1 . sin(8 in? . sin(l — (a) im 2660 fe) tim St 4/3) Gi) tim S82) x30 =X x0 x2 x>l 1l—-x x in(x) — si 73,2 (>) tim ——2 ey gg Sine) = Simla) gin 332) x0 sin(x) — sin(2x) (f) xa . x—a (j) lim 333 2arcsin i . (c) lim 2arcsin(x) (g) lim sin’ (3x) (k) lim xcot(x) x30 = 3x x0 xsin(2x) x40 __ sin(7x) x __ arctan(2x) d) lim ———~ (h) lim ————— 1) lim ——-— (d) x0 sin(2x) x0 \/1 —cos(x) (I) x0 sin(3x) 5. Usando o segundo limite fundamental, calcule os limites abaixo: 1\ 3x 24x\x . . x43 i _ im (22 e) limxt g) lim(1+2x) > oan (rt)" omg) By © bycrey 1\x 2 1 x i —- lim (2 ve i —_*_ (>) dim (i=) Jimierye (tim (7) 2 1 1 Di SS tea (8)! Bo yea 6. A equacao de Michaelis-Menten é usada para modelar a velocidade de uma reacao quimica em fungao da concentragao de substrato. Na agricultura, muitas vezes é utilizada para descrever a velocidade de absorgao de um nutriente pela planta em fungao da concentracao do nutriente no solo. A equacgaéo de Michaelis-Menten é dada por vx V(x) = ——, x>0 ) k+x ~ em que V(x) é a velocidade de absorgao, x é a concentracao do nutriente na solucao presente no solo e v e k sao parametros positivos. Considere v=5 M/sek= 10M. (a) Com o auxilio de limites, determine qual é a velocidade de reagéo quando a con- centracao de nutriente tende a zero; (b) Qual o comportamento limite da fungéo quando x — +0? (c) Desenhe o grafico da fungao e indique, com base no comportamento limite da fungao no item (b), qual o nome que poderiamos atribuir ao parametro v? 7. A equacao de Mitscherlich (1909) é amplamente utilizada para modelar a produtividade das safras em fungao da adubacao, sendo expressa por y(x) =A(1-e ™), x>0 em que y(x) é a produtividade obtida com a dose de adubo x, A é 0 valor maximo que a producao pode atingir e c 6 um parametro positivo. 2 Mas, de acordo com Cerrato & Blackmer (1990), muitos agrˆonomos preferem utilizar o modelo abaixo como alternativa para a equa¸c˜ao de Mitscherlich: g(x) = a+bx+c√x, x ≥ 0 em que g(x) ´e a produtividade obtida com a dose de adubo x e a, b e c s˜ao parˆametros reais. Suponha que, ap´os a realiza¸c˜ao de um experimento de aduba¸c˜ao, obteve-se o seguinte resultado: 20 40 60 80 40 50 60 70 80 90 100 Dose de Nitrogênio (Kg/ha) Produtividade (kg/ha) Mitscherlich Cerrato et al y(x) = 99,59(1−e−0,051x) e g(x) = −38,07−1,65x+29,97√x. (a) Encontre os valores limites para as fun¸c˜oes y(x) e g(x) quando as doses s˜ao insig- nificantes, ou seja, tendem a zero. (b) Com base no resultado encontrado no item (a), compare os modelos sob o ponto de vista pr´atico. (c) O que acontece com os valores das fun¸c˜oes y(x) e g(x) se tomarmos dose arbitra- riamente grandes? (d) Com base no resultado encontrado no item (c), compare os modelos sob o ponto de vista pr´atico. 8. Um ensaio de dose-resposta ´e conduzido para avaliar a efic´acia de um novo pesticida sobre uma popula¸c˜ao de insetos que causa preju´ızo no campo. O estudo conclui que a probabilidade de um inseto morrer logo ap´os a aplica¸c˜ao do inseticida ´e de p(x) = 1 1+e8−0,05x, (1) 3 em que x > 0 é a dose ministrada, em yg. (a) Desenhe o grafico da fungaéo com o auxilio de uma tabela de valores (considere x indo de 0 a 300 ug). (b) Com o auxilio dos limites, estude a probabilidade de sucesso p(x) quando a dose é excessiva. Qual é o significado biolégico do resultado? (c) Qual é 0 valor limite para a probabilidade de sucesso p(x) quando a dose aplicada é insignificante, ou seja, quase nula? Qual é o significado biolégico para o valor encontrado? 9. Determine k tal que a seguinte funcao seja continua em qualquer intervalo: kx,0<x<2 f*)=4 4.5 3x°,2 <x 10. Verifique se a fungao dada é continua para o valor especificado de x: a x) =5x*—6x+1emx=2 x7 +1, para x <3 (a) fe) (f) f(x)= eS om x= 3 (b) f(x) = emx=1 2x+4, para x >3 (c) f(x) = #4 em x=2 _ et parax<-—l _ Vx-2 (g) f (x) ~~ 2 em x = (d) f(x) =F emx=4 x* —3, parax>-—l —1 x+1, parax <2 (e) f(x) = P ~ emx=2 2, parax >2 11. Suponha que a temperatura do ar é 30°F. Nesse caso, a sensacgdo térmica (em °F) para uma velocidade do vento v (em minhas por hora) é dada por 30, para0<x<4 W(v) = 4 1,25v—18,67\/v+ 62,3, para4<v< 45 —7, para v > 45 (a) Qual é a sensagao térmica para v = 20 milhas por horas? E para v = 50 milhas por horas? (b) Que velocidade do vento produz uma sensagao térmica de 0°F? (c) A fungao sensagao térmica W(v) é continua em v = 4? E em v= 45? 12. Se uma esfera oca de raio R é carregada com uma unidade de eletricidade estatica, a intensidade do campo elétrico E(x) em um ponto P situado a uma distancia de x 4 unidade do centro da esfera ´e dada por: E(v) =      0, para 0 < x < R 1 2x2, para x = R 1 x2, para x > R Fa¸ca um gr´afico de E(x). A fun¸c˜ao ´e cont´ınua para x > 0? Respostas 1. (a) 0 (b) +∞ (c) 25 16 (d) 0 (e) +∞ (f) 1 2 (g) +∞ (h) −∞ (i) 0 (j) +∞ (k) +∞ (l) 0 (m) +∞ (n) +∞ (o) 0 (p) −∞ (q) −∞ (r) +∞ (s) +∞ (t) 2 (u) −∞ (v) 0 (w) 2 2. (a) +∞ (b) +∞ (c) 1 (d) +∞ (e) ∄ (f) +∞ (g) −∞ (h) ∄ (i) +∞ (j) +∞ (k) ∄ (l) +∞ (m) +∞ 3. (a) A.V.: x = 1/3A.H.: y = 5/3 (b) A.V.: x = −3/5, A.H.: y = −3/5 (c) A.V.: ∄, A.H.: y = −3 √ 2/2 e y = 3 √ 2/2 (d) A.V.: x = −2 e x = 2, A.H.: y = 0 5 (e) A.V.: x = −2, A.H.: y = 0 (f) A.V.: x = −3 e x = 3, A.H.: y = −2 (g) A.V.: x = 0 e x = 3/2, A.H.: y = 1 4. (a) 8 (b) −1 (c) 2 3 (d) 7 2 (e) 1 9 (f) cos(a) (g) 9 2 (h) ∄ (i) 1 2 (j) 3 (k) 1 (l) 2 3 5. (a) e3 (b) e−1 (c) 1 (d) e−1 (e) e−1 (f) 0 (g) e6 6. (a) Devemos calcular o limite lateral `a direita de V(x) quando x tende ao zero: lim x→0+ vx x+k = lim x→0+ 5x x+10 = lim x→0+ 5x lim x→0+(x+10) = 0 10 = 0. 6 (b) Devemos calcular 0 limite de V(x) quando x tende ao infinito: lim —~ =? x—+oo x + k Para realizar tal tarefa, dividiremos o numerador e o denominador da fungao racional pela poténcia de maior grau. lim yo Vv X00 (1+) a No caso de v=5 e k= 10, temos que 5 5 lim —_ =—=5M/s. co 10 x4 (1 + 1) 1 (c) O parametro v caracteriza uma assintota horizontal que representa o valor maximo que a velocidade de reacgao (ou absorcao) V(x) pode atingir. 7. (a) Devemos calcular os limites laterais 4 direita de y(x) e g(x) quando x tende ao zero: lim y(x) = lim A(1—e7* =Al1- lim *] =A(1—e°) =0. Jim y( ) x—0T ( ) x—0T ( ° ) Assim, y(x) > 0 quando x + 0*. Por outro lado, lim g(x) = lim (a+ bx+cVx)=a+b lim x+c, / lim x =a. Jim g( ) Lim ( TORT v3) + x—0T + x—0T “ Dessa maneira, g(x) > a = —38,07 quando x + 0°. (b) O modelo de Mitscherlich indica que nao ha produgao se a dose é insignificante. Enquanto isso, o modelo descrito por Cerrato & Backmer resulta em uma produtividade negativa para doses despreziveis, o que nao possui sentido pratico. (c) Devemos calcular os limites de y(x) e g(x) quando x tende ao infinito: 7 _— fj 9k) _ wy —cx} 9) — lim y(e) = Jim AU —e-*) All Jim_e A(l—e-*) =A. Assim, y(x) > A = 99,59 quando x — +e0. Por outro lado, li 4 _ ; om x. AO) = lim (at bxtevx) = a+b Tim xe) tims Ou seja, lim g(x) = —38,07—1,65 lim x+29,97,/ lim x = —co+co (indeterminado). xX—-+ oo xX— +00 X—++ 00 7 Por meio de racionalizagao, temos que ; ; (29,97./x + 1, 65x) I 29,97/x—1,65x) = 1 29,97./x — 1,65x) x lim (29,97 Vx — 1, 65x) = lim (29,97 Vx — 1, 65x) (29,97,/x-+ 1,65x) 898, 20x — 2, 72x? — yi (898:20% = 2, 720°) (2) x++e0 (29, 97,\/x + 1,65x) Agora, devemos dividir o numerador e o denominador pela poténcia de maior grau: 898,20 (3% ~2,72) ~2,72 lim WH _~ = ——— =~, (3) x—>+eo (29,97 , 1,65 0 (2 +45) Dessa maneira, g(x) — —oo se x — +00, (d) No modelo de Mitscherlich a produtividade caminha para um valor maximo a medida que a dose aumenta. Por outro lado, no modelo descrito por Cerrato & Blackmer a produtividade atinge valores arbitrariamente grandes e negativos, o que é absurdo sob o ponto de vista pratico. No entanto, para escala de doses utilizada no experimento, as duas fungoes descrevem bem a relacao. 8. (a) 1 ag O68 ? O,4 O,2 a oO 100 200 300 (b) Devemos calcular o limite de p(x) quando x tende ao infinito: ; 1 1 1 kim AANA = AT ______ = —__ =], x+teo 1+exp(8—0,05x) 1+exp( lim 8—0,05x) 1+e™ Xoo O significado bioldgico desse resultado é 0 seguinte: a probabilidade do inseto morrer é de 1 (a morte é certa) se tomarmos uma dose suficientemente grande. (c) Uma dose insignificante é uma dose muito pequena (tao pequena quanto quisermos), mas ainda maior que zero. Entao devemos calcular o limite lateral a direita da fungao quando x tende a zero. li ! ! ! 0,0003353501 im) a = CH 0, . x0+ 1+exp(8—0,05x) 1+ exp( lim, 8—0,05x) 1+e8 x—>' 8 O significado biol´ogico por tr´as desse resultado ´e o seguinte: a probabilidade do inseto que recebeu dose nula morrer durante o per´ıodo de avalia¸c˜ao ´e praticamente zero (0,03%). 9. k = 6 10. (a) cont´ınua (b) cont´ınua (c) n˜ao cont´ınua (d) n˜ao cont´ınua (e) n˜ao cont´ınua (f) cont´ınua (g) cont´ınua 11. (a) 3,8; -7 (b) 25 milhas por hora (c) cont´ınua 12. a A fun¸c˜ao ´e cont´ınua somente para x > R, portanto, no intervalo aberto (0,∞) a fun¸c˜ao n˜ao ´e cont´ınua. 9