Lista de Exercícios - Cálculo I - Aplicações da Derivada e Pontos Críticos

Lista 4 Cálculo I Se houver qualquer dúvida os plantões são feitos às segundasfeiras das 1830 às 1930 e às quartasfeiras das 1300 às 1400 no Lab A Pavilhão de Engenharia Aplicações da derivada 5 Determinar os pontos críticos das seguintes funções se existirem a y 3x 4 b y x2 3x 8 c y 2 2x x2 d y x 2x 4 e y 3 x3 f y x3 2x2 5x 3 g y x4 4x3 h y senx i y cosx j y senx cosx k y ex x l y x2 923 m y x x24 n y 2x 3 o fx x x 0 x2 x 0 6 Determinar os intervaos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes a fx 2x 1 b fx 3 5x c fx 3x2 6x 7 d fx x3 2x2 4x 2 e fx x 1x 2x 3 f fx x 2 senx g fx 2x h fx ex i fx xex j fx x2 x1 k fx x 1 x l fx exsenx x 0 2π 1 7 Determinar os máximos e mínimos das seguintes funções nos intervalos indicados a fx 1 3x 2 2 b fx x2 4 1 3 c fx 4 3x 3x2 0 3 d fx x3 x2 0 5 e fx x1x2 2 2 f fx x 2 1 4 i fx cos3x 0 2π j fx cos2x 0 2π k fx sen3x 1 0 π2 8 Encontrar os intervalos de crescimento decrescimento os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções a fx 2x 5 b fx 3x2 6x 1 c gx 4x3 8x2 d hx 13 x3 12 x2 6 5 e ft t1t1 f ft t 1t g gx xex h hX 1x i fx 2 6x j gx x4 x 2 x2 2 x 2 k ht 3 4t t 0 4t 3 t 0 l fx 1 x x 1 1 x2 x 1 m gx 10 x 32 x 2 5x 1 2 x 1 91 x 22 x 1 9 Econtrar os pontos de máximo e mínimo relativos das seguintes funções se existirem a fx 7x2 6x 3 b gx 4x x2 c gx 1 3x3 3x2 7x 9 d hx 1 4x4 5 3x3 4x2 4x 8 e ft t2 t 0 3t2 t 0 f fx 6x23 2x g fx 5 x 275 h fx 3 2x 343 i gx 4x x24 j hx x1 x22x2 k fx x 22x 13 l fx x216 x 10 Mostrar que y logax x tem seu valor máximo em x e para todos os números a 1 11 Determinar os coeficientes a e b de forma que a função fx x3 ax2 b tenha um extremo relativo no ponto 2 1 12 Encontrar a b c e d tal que a função fx 2ax3 bx2 cx d tenha pontos críticos em x 0 e x 1 Se a 0 qual deles é de máximo qual é de mínimo 13 Demonstrar que a função y ax2 bx c x R tem máximo se e somente se a 0 e mínimo se e somente se a 0 3 14 Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes têm concavidade voltada para cima ou para baixo a fx x3 5x2 6x b fx 3x4 10x3 12x2 10x 9 c fx 1 x4 d fx 2xe3x e fx x2ex f fx 4x 1 2 2 x2 1 g ft t29 t32 h ft et cost t 0 2π i fx 2x x2 x 1 x x 1 j fx x2 4 x 2 4 x2 x 2 15 Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das seguintes funções a fx 4 x4 b fx 3 x2 c fx 4 x23x2 d fx 1 x3x4 e fx 1 x4 f fx 2 x3 g fx 2x2 x216 h fx x x2x12 i fx e1x j fx ex 1 k fx lnx 16 Esboçar o gráfico das seguintes funções a y x2 4x 2 b y x 3x 2 c y x3 3 3x2 2 2x 5 6 d y x3 9 2x2 12x 3 e y 1 4 x4 5 3x3 2x2 f y x4 32x 48 4 Problemas de maximização e minimização 1 Um fio de comprimento l é cortado em dois pedaços Com um deles se fará um círculo e com o outro um quadrado aComo devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas figuras seja mínima bComo devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas compreendidas seja máxima 2 Determinar o ponto P situado sobre o gráfico da hipérbole xy 1 que está mais próximo da origem 3 Um fazendeiro tem 200 bois cada um pesando 300 kg Até agora ele gastou R 38000000 para criar os bois e continuará gastando R 200 por dia para manter um boi Os bois aumentam de peso a uma razão de 15 kg por dia Seu preço de venda hoje é de R 1800 o quilo mas o preço cai 5 centavos por dia Quantos dias deveria o fazendeiro aguardar para maximizar seu lucro 4 Achar dois números positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o maior possível 5 Usando uma folha quadrada de cartolina de lado a desejase construir urna caixa sem tampa cortando em seus cantos quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível 6 Determinar as dimensões de uma lata cilíndrica com tampa com volume V de forma que a sua área total seja mínima 5 7 Duas indústrias A e B necessitam de água potável A figura a seguir esquematiza a posição das indústrias bem como a posição de um encanamento retilíneo l já existente Em que ponto do encanamento deve ser instalado um reservatório de modo que a metragem de cano a ser utilizada seja mínima 0 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3 4 Distância km Altura km A B ENCANAMENTO 8 Qual é o retângulo de perímetro máximo inscrito no círculo de raio 12 cm 9 Traçar uma tangente à elipse 2x2 y2 2 de modo que a área do triângulo que ela forma com os eixos coordenados positivos seja mínima Obter as coordenadas do ponto de tangência e a área mínima 10 Mostrar que o volume do maior cilindro reto que pode ser inscrito num cone reto é 49 do volume do cone 11 Um cone reto é cortado por um plano paralelo à sua base A que distância da base deve ser feito esse corte para que o cone reto de base na secção determinada e de vértice no centro da base do cone dado tenha volume máximo 6 12 Determinar o ponto A da curva y x2 x que se encontra mais próximo de 7 0 Mostrar que a reta que passa por 7 0 e por A é normal à curva dada em A 13 Uma folha de papel contém 375 cm 2 de matéria impressa com margem superior de 35 cm margem inferior de 2 cm margem lateral direita de 2 cm e margem lateral esquerda de 25 cm Determinar quais devem ser as dimensões da folha para que haja o máximo de economia de papel 14 Uma janela tem a forma de um retângulo encimado por um semicírculo Achar as dimensões de modo que o perímetro seja 32 m e a área a maior possível 15 Um canhão situado no solo é posto sob um ângulo de inclinação α Seja l o alcance do canhão dado por l 2v2 g senα cosα onde v e g são constantes Para que ângulo o alcance é máximo 7 16 Uma agência de turismo está organizando um serviço de barcas de uma ilha situada a 40 km de uma costa quase reta para uma cidade que dista 100 km como mostra a figura a seguir Se a barca tem uma velocidade de 18 km por hora e os carros têm uma velocidade média de 50 kmh em qual ponto sobre a costa deverá estar situada a estação das barcas a fim de tornar a viagem a mais rápida possível 0 20 40 60 80 100 0 10 20 30 40 Distância km Distância km ILHA CIDADE COSTA 17 Uma cerca de 1 m de altura está situada a uma distância de 1 m da parede lateral de um galpão Qual o comprimento da menor escada cujas extremidades se apoiam na parede e no chão do lado de fora da cerca 18 Seja s uma reta que passa pelo ponto 4 3 formando um triângulo com os eixos coordenados positivos Qual a equação de s para que a área desse triângulo seja mínima 8 19 Uma pista de atletismo com comprimento total de 400 m consiste de 2 semicírculos e dois segmentos retos conforme figura a seguir Determinar as dimensões da pista de tal forma que a área retangular demarcada na figura seja máxima r r a a 20 Um cilindro circular reto está inscrito num cone circular reto de altura H 6 m e raio da base R 35 m Determinar a altura e o raio da base do cilindro de volume máximo 21 Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo Se o custo de produção é dado por C 2x3 6x2 18x 60 e o valor obtido na venda é dado por V 60x12x2 determinar o número ótimo de unidades mensais que maximiza o lucro L V C 22 Um cilindro reto é inscrito numa esfera de raio R Determinar esse cilindro de forma que seu volume seja máximo 23 Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares de dimensões a e b com um lado comum a Se cada pasto deve medir 400 m2 de área determinar as dimensões a e b de forma que o comprimento da cerca seja mínimo 9 24 Um fabricante ao comprar caixas de embalagens retangulares exige que o comprimento de cada caixa seja 2 m e o volume 3 m3 Para gastar a menor quantidade de material possível na fabricação das caixas quais devem ser suas dimensões 25 Um retângulo é inscrito num triângulo retângulo de catetos medindo 9 cm e 12 cm Encontrar as dimensões do retângulo com maior área supondo que sua posição é dada na figura a seguir 9 cm 12 cm 10 Gabarito Aplicações da derivada 5 a 6 b 32 c 1 d 1 e 0 f g 0 3 h π2 kπ k Z i kπ k Z j 3π4 kπ k Z k 0 l 0 3 3 m n 32 o 0 6 a crescente b decrescente c 1 crescente 1 decrescente d 2 23 crescente 2 23 decrescente e 73 73 crescente 73 73 decrescente f 2π3 2nπ 4π3 2nπ n Z crescente 2π3 2nπ 2π3 2nπ n Z decrescente g crescente h decrescente i 1 crescente 1 decrescente j 0 2 crescente 0 1 1 2 decrescente k 1 1 crescente 1 0 0 1 decrescente l 0 3π4 7π4 2π crescente 3π4 7π4 decrescente 7 a 7 5 b 5 4 c 22 134 d 100 427 e 12 12 f 2 0 i 1 1 j 1 0 k 0 1 9 a 37 b 2 c 7 1 d 1 e 0 f 8 0 g h 32 i 2 2 j 1 5 1 5 k 2 45 l 645 0 11 a 3 b 3 12 a é qualquer real b 3a c 0 d é qualquer real 14 a 53 f53 53 côncava para cima 53 côncava para baixo b 13 f13 2 f2 13 2 côncava para cima 13 2 côncava para baixo c 4 côncava para cima 4 côncava para baixo d 23 f23 23 côncava para cima 23 côncava para baixo e 2 2 f2 2 2 2 2 2 côncava para cima 2 2 2 2 côncava para baixo f 1 côncava para baixo g 6 f6 6 côncava para cima 6 côncava para baixo h π fπ 0 π côncava para cima π 2π côncava para baixo i 1 côncava para baixo j 2 0 2 côncava para cima 2 côncava para baixo 15 a y 0 b y 0 x 2 c y 0 x 2 x 1 d y 0 x 3 x 4 e y 0 x 4 f y 0 x 3 g x 4 h y 1 x 3 x 4 i y 1 x 0 j y 1 k x 0 Problemas de maximização e minimização 1 a 1º pedaço 4l4 π 2º pedaço lπ4 π b Devese fazer somente um círculo de raio l2π 2 1 1 ou 1 1 3 67 dias 4 35 35 a6 6 raio da base ³V2π altura ³4Vπ 7 8 km do encontro da canalização l com a perpendicular que passa por A 8 quadrado de lado 288 cm 9 12 1 2 equação da tangente pedida é y 2 x 2 0 11 13 da altura do cone dado 12 1 2 13 2201 cm 2691 cm 14 base 088 m altura 044 m 15 π4 16 8456 km da cidade 17 8 m 18 3x 4y 24 0 19 a 100 m r 100π m 20 raio da base 73 m altura 2 m 21 1000 22 raio 23 R altura 2R3 23 a 4033 b 103 24 2 m 62 m 62 m 25 45 cm 6 cm Referências FLEMMING Diva Marília GONÇALVES Mirian Buss Cálculo a Funções limites derivação integração São Paulo Pearson Prentice Hall 2016