Lista de Exercícios - Cálculo I - Desigualdades Equações e Funções

Lista 1 Cálculo I Précálculo 1 Determine todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo Fazer a representação gráfica a 3 x 5 3x b 2x 5 1 3 3x 4 1x 3 c 2 3 3x 7 d 5 x 3 4 e x2 9 f x2 3x 2 0 g 1 x 2x2 0 h x1 2x x 3x i x3 1 x2 x j x2 1x 4 0 k 2 x2 x2 x2 1 l x4 x2 m x x3 4 n 12x3 4x 1 o 3 x5 2 p x3 x2 x 2 0 q x3 3x 2 0 r 1 x1 3 x2 s 8x3 4x2 2x 1 0 t 12x3 20x2 11x 2 2 Resolver as equações em R a 5x 3 12 b 4 12x 7 c 2x 3 7x 5 d x2 x2 5 e 3x8 2x3 4 f 3x 2 5 x g 9x 11 x h 2x 7 x 1 1 3 Resolver as inequações em R a x 12 7 b 3x 4 2 c 5 6x 9 d 2x 5 3 e 6 2x 4 x f x 4 2x 6 g 3x 5 2x h 72x 53x 1 2 i x 1 x 2 4 j 1 x 2 4 k 2x 3x 4 l 5 2x1 1 x2 m x 1 x n 3 x 1 x 1 o 2x2 3x 3 3 p x 1 x 3 4x q 1 x1x3 1 5 r x12 x12 1 s 32x 1x 4 4 Demonstrar a Se a 0 e b 0 então a2 b2 se e somente se a b b Se x y então x 1 2x y y c x a se e somente se x a ou x a onde a 0 d Se 0 a b então ab ab 2 2 Funções básicas 1 Se fx x2 4 x 1 achar a f0 d fx 2 b f2 e f12 c f1t f ft2 2 Se fx 3x 1 x 7 determine a 5f1 2f0 3f5 7 d ft f4t b f122 e fh f0 h c f3x 2 f ff5 3 Dada a função fx x 2x calcular f1 f12 e f23 Mostrar que fa a 4 Se fx ax b cx d e d a mostre que ffx x 5 Se fx x2 2x achar fah fa h h 0 e interpretar o resultado geometricamente 6 Dada ϕx x 1 2x 7 forme as expressões ϕ1x e 1 ϕx 7 Dada a função fx x2 1 mostrar que para a 0 f1a fa a2 8 Dada a função fx 1x mostrar que f1 h f1 h 1 h Calcular fa h fa 9 Seja fn a soma dos n termos de uma progressão aritmética Demonstrar que fn 3 3fn 2 3fn 1 fn 0 Lembrando que a soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn na1 an 2 e que o termo geral an de uma PA é dado por an a1 n 1r onde a1 é o primeiro termo e r é a razão da PA 10 Exprimir como uma função de x a A área de uma esfera de raio x b A área de um cubo de aresta x c A área total de uma caixa de volume dado V sabendose que a base é um quadrado de lado x 11 Exprimir o comprimento l de uma corda de um círculo de raio 4 cm como uma função de sua distância x até o centro do círculo em cm 12 Seja fx x 28 x para 2 x 8 a Determine f5 f12 e f12 b Qual o domínio da função fx c Determine f1 2t e indique o domínio d Determine ff3 e ff5 e Trace o gráfico de fx 13 Determinar o domínio das seguintes funções 4 a y x2 b y 4 x2 c y 1 x 4 d y x 2 e y x2 4x 3 f y 3 x 47 x g y ³x 7 ⁵x 8 h y x a x a i y x 2 4 5 x 2 j y x x 1 k y x 1x l y 1 1 x 14 Construir o gráfico das seguintes funções a fx x2 8x 14 b fx x2 4x 1 c y x 22 d y x 22 e y x3 f y 4 x3 g fx x 3 x 3 h fx 1 x 2 i fx 2 x 3 j fx 0 se x 0 12 se x 0 1 se x 0 k fx x 2 x 0 x 0 x 2 l fx x3 se x 0 1 se 0 x 2 x2 se x 2 m fx 2px 15 Para cada uma das seguintes funções fx esboce primeiro o gráfico de y fx depois o gráfico de y fx e finalmente o gráfico de y fx2 fx2 a fx x 2x 1 c fx x2 b fx x2 d fx 4 x2 16 Sejam gx x 3 e fx x2 9 x 3 x 3 k x 3 Calcule k tal que fx gx para todo x Composição de funções 17 Para cada item calcule f g f g f g fg fg gf k f onde k é uma constante a fx 2x gx x2 1 b fx 3x 2 gx x c fx x 1x2 gx 1 x d fx x 1 gx x 2 e fx x 2 gx x 3 f fx x3 gx 1 3x 18 Seja h definida por hx 2x 7 Calcule hh h2 e h h 19 Sabemos que f gh Encontre a função h nos itens a c e d e a função g no item b a fx x2 1 gx x 1 b fx x 2 hx x 2 c fx a bx gx x a d fx x2 3x 5 gx x 20 Sendo fx ax b para quais valores de a e b temse ffx 4x 9 21 Sejam fx x 4 e gx 12x1 x 3 Calcule fg Dê o domínio e o conjunto imagem de fx gx e fgx 22 Sejam fx 5x x 0 x 0 x 8 x x 8 e gx x3 Calcule fg 6 23 A função g é definida por gx x2 Defina uma função f tal que fgx x para x 0 e uma função h tal que hgx x para x 0 24 Se fx x2 encontre duas funções g para as quais fgx 4x2 12x 9 25 Se fx x2 2x 1 encontre uma função gx tal que fgx x 1 26 Dadas as funções fx x2 1 e gx 2x 1 a Determine o domínio e o conjunto imagem de fx b Determine o domínio e o conjunto imagem de gx c Construa os gráficos de fx e gx d Calcule f g f g g f fg fg e gf e Determine o domínio das funções calculadas no item d 7 Funções especiais 1 Construa os gráficos das funções de 1 grau Dê o domínio e o conjunto imagem a y kx se k 0 1 2 1 2 1 2 b y x b se b 0 1 1 c y 15x 2 2 Construa os gráficos das funções quadráticas Dê o domínio e o conjunto imagem a y ax2 se a 1 1 2 2 b y x2 c se c 0 1 1 2 3 c y y0 x 12 se y0 0 1 1 d y ax2 bx c se a 1 b 2 c 5 3 Construa os gráficos das funções polinomiais Dê o domínio e o conjunto imagem a y 2 x 13 b y x4 c y 2x2 4 4 Construa os gráficos das funções racionais Dê o domínio e o conjunto imagem a y 2 x12 b y 1 x c y x1 x4 5 A função fx é do 1 grau Escreva a função se f1 2 e f2 3 Paridade de funções 6 Determine quais das seguintes funções são pares ou ímpares 8 a fx 3x4 2x2 1 b fx 5x3 2x c fs s2 2s 2 d ft t6 4 e fx x f fy y3 y y2 1 g fx x 1 x 1 h fx 12 ax ax i fx ln 1 x 1 x j fx lnx 1 x2 7 Demonstre que se f e g são funções ímpares então f g e f g são também funções ímpares 8 Demonstre que se f e g são funções ímpares então f g e f g são funções pares 9 Mostre que a função 12 fx fx é par e que a função 12 fx fx é ímpar 10 Demonstre que qualquer função f ℝ ℝ pode ser expressa como a soma de uma função par com uma função ímpar 11 Expresse as seguintes funções como a soma de uma função par e uma função ímpar a fx x2 2 c fx x 1 x 1 b fx x3 1 d fx x x 1 12 Seja fx uma função cujo gráfico para x 0 tem o aspecto indicado na figura Complete esse gráfico no domínio x 0 se a fx é par b fx é ímpar X Y Função inversa 13 Em cada um dos exercícios determine a fórmula da função inversa Faça os gráficos da função dada e da sua inversa a y 3x 4 b y 1 xa c y xa xa d y 1 x x 0 e y x 1 x 1 f y a x x a g y x2 x21 h y x2 4 x 0 i y x2 4 x 0 14 Mostrar que a função y fx x2 2x1 coincide com a sua inversa isto é x fy ou ffx x 15 Dada a função y fx x 1x2 definida para todo x real demonstrar que sua inversa é a função x gy y 1y2 definida para y 1 10 16 Seja fx x x 1 x2 1 x 9 27x x 9 Verifique que f tem uma função inversa e encontra f 1x Periodicidade 17 Se fx e gx são períodicas de período T prove que a hx fx gx tem período T b hx fx gx é períodica de período T c hx fx gx gx 0 x é periódica de período T 18 Se fx é periódica de período T prove que 3T também é período de f 19 Sabendo que fx é uma função par e periódica de período T 4 complete o gráfico X Y 2 0 4 11 20 Se fx2x mostrar que fx3fx1 152 fx 21 Seja φx 12ax ax e ψx 12ax ax Demonstrar que a φx y φxφy ψxψy b ψx y φxψy φyψx Funções exponenciais e logarítmicas 22 Construir o gráfico das seguintes funções exponenciais a y ax se a 2 12 e 2718 b y 101x c y ex2 d y 2x 23 Dada φx ln 1x1x verifique a igualdade φa φb φab1ab 24 Sejam fx log x e gx x³ Forme as expressões a f g2 b f ga a 0 c g fa a 0 25 Construa o gráfico das seguintes funções logarítmicas a y lnx b y lnx c y lnx1 d y loga x a 10 2 12 e y x ln x Funções trigonométricas 26 Se fx arctan x prove que fx fy fx y1 xy 27 Prove que arctana arctanb arccotanb arccotana 28 Seja fθ tan θ verifique a igualdade f2θ 2fθ1 fθ² 29 Seja fx arccos log10 x Calcule f110 f1 e f10 30 Determine o domínio das seguintes funções a y arccos 2x1x b y arcsen log10x10 c y sen2x 31 Construir o gráfico das seguintes funções trigonométricas Verifique se são periódicas e em caso afirmativo determine o período a y senkx k 23 12 13 b y k cosx k 23 12 13 1 c y k cos2x k 2 1 12 d y sen x π2 e y cos x π2 f y tan x 3π2 g y tan 12 x h y 1 senx i y cotan x π4 j y 1 sen2x Referências FLEMMING Diva Marília GONÇALVES Mirian Buss Cálculo a Funções limites derivação integração São Paulo Pearson Prentice Hall 2016 14