Lista 2 - Tópicos de Álgebra Aplicada - 2023-1

Lista 2 - Divisibilidade e Teorema da divisao de Euclides Prof. Tiago Picon - Tópicos em Álgebra 1) Mostre que 6 | n.(n+1).(2n+1) ∀ n ∈ IN 2) Mostre que n² | (n+1)²-1 ∀ n ∈ IN 3) Prove que para ∀ n ∈ IN (a) 8 | 3²ⁿ-1 (b) 13 | 9²ⁿ-2⁴ⁿ (c) 53 | 7⁴ⁿ-2⁴ⁿ (d) 14 | 3⁴ⁿ+2 + 5⁻²ⁿ+1 4) Para quais valores de a ∈ IN (a) a-2 | a³+4 (b) a+3 | a³-3 (c) a+2 | a⁴+2 (d) a+2 | a⁴+2a³+a²+1? 5) Mostre que existem infinitos valores de n ∈ IN tais que (a) 8n²+5 é divisível por 7 e == 11 (b) 4n²+1 é divisível por 5 e por 13 6) Mostre que ∀ a ∈ 𝐙 temos que (a) 2 | a²-a (b) 3 | a³-a (c) 5 | a⁵-a (d) 7 | a⁷-a 7) Mostre que (a) n ímpar => n²-1 é múltiplo de 8 (b) n não é múltiplo de 2 ou 3 => n²-1 é múltiplo de 24 (c) ∀ n ∈ IN => 4 × n²+2 (d) a não é divisível por 3 => a² deixa resto 1 na divisão por 3 (e) O resto da divisão de n² por 6 nunca deixa resto 2 8) Mostre que nenhum número da forma 4n+2 é um quadrado