·
Matemática Aplicada a Negócios ·
Tópicos de Álgebra Aplicada
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora

Prefere sua atividade resolvida por um tutor especialista?
- Receba resolvida até o seu prazo
- Converse com o tutor pelo chat
- Garantia de 7 dias contra erros
Recomendado para você
2
Lista 2 - Tópicos de Álgebra Aplicada - 2023-1
Tópicos de Álgebra Aplicada
USP
2
Lista 1 - Números Naturais - Tópicos de Álgebra Aplicada - 2023-1
Tópicos de Álgebra Aplicada
USP
2
Lista 4 - Aritmética Modular - Tópicos de Álgebra Aplicada - 2023-1
Tópicos de Álgebra Aplicada
USP
2
Lista 3 - Equações Diofantinas - Tópicos de Álgebra Aplicada - 2023-1
Tópicos de Álgebra Aplicada
USP
2
Lista 6 - Estruturas Algébricas - Tópicos de Álgebra Aplicada - 2023-1
Tópicos de Álgebra Aplicada
USP
Texto de pré-visualização
Prof. Tiago Picon - Tópicos de Álgebra Lista 5 - Teorema de Euler Questão 1: Calcule ψ(26), ψ(10), ψ(34) Dica: p, q são primos distintos ψ(pq) = ψ(p1).ψ(q) Questão 2: Ache o resto da divisão de 5^60 por 26 e 3400 por 10 (utilize o exercício anterior) Questão 3: Seja p primo. Prove que ψ(pr) = pr - pr-1 p/ r >= 2 Dica: De 1 até pr exclua os múltiplos de p. Questão 4: Encontre os valores de m ∈ ℕ tais que ψ(m) = 12, ψ(m) = 16, ψ(m) = 8, ψ(m) = 24 Dica: m = p1^r1...pe^re com pi's primos distintos então ψ(m) = ψ(p1^r1)...ψ(pe^re) Questão 5: Mostre que se m > 2 então ψ(m) é par. Questão 6: Mostre que 2730|n^13 - n ∀n ∈ ℤ Dica: Use, caso necessário, os exercícios 7, 8 dessa lista. Questão 7: Sejam a, m ∈ ℤ com m >= 2. Mostre que mdc(a, m) = 1 <=> ∃ h ∈ ℕ tal que a^h ≡ 1 mod m Consequência: da questão anterior podemos definir a ordem de a com respeito a m, denotado por ordm(a), como o menor h ∈ ℕ tal que a^h ≡ 1 mod m Questão 8: Sejam a, m ∈ ℤ com m > 1 e mdc(a, m) = 1. Prove que a^n ≡ 1 mod m <=> ordm(a) | n. Questão 9: Quais são os possíveis restos da divisão de a^100 para a ∈ ℤ quando dividimos por 125? Próximos exercícios: Vamos assumir o teorema de Wilson que é enunciado da seguinte forma: p primo então (p-1)! ≡ -1 mod p Questão 10: P primo ímpar ⇒ p | 2^(p-1) + (p-1)! Questão 11: p > 2, p primo (a) p | (p-2)! -1 (b) p | (p-3)! - p-1/2
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Recomendado para você
2
Lista 2 - Tópicos de Álgebra Aplicada - 2023-1
Tópicos de Álgebra Aplicada
USP
2
Lista 1 - Números Naturais - Tópicos de Álgebra Aplicada - 2023-1
Tópicos de Álgebra Aplicada
USP
2
Lista 4 - Aritmética Modular - Tópicos de Álgebra Aplicada - 2023-1
Tópicos de Álgebra Aplicada
USP
2
Lista 3 - Equações Diofantinas - Tópicos de Álgebra Aplicada - 2023-1
Tópicos de Álgebra Aplicada
USP
2
Lista 6 - Estruturas Algébricas - Tópicos de Álgebra Aplicada - 2023-1
Tópicos de Álgebra Aplicada
USP
Texto de pré-visualização
Prof. Tiago Picon - Tópicos de Álgebra Lista 5 - Teorema de Euler Questão 1: Calcule ψ(26), ψ(10), ψ(34) Dica: p, q são primos distintos ψ(pq) = ψ(p1).ψ(q) Questão 2: Ache o resto da divisão de 5^60 por 26 e 3400 por 10 (utilize o exercício anterior) Questão 3: Seja p primo. Prove que ψ(pr) = pr - pr-1 p/ r >= 2 Dica: De 1 até pr exclua os múltiplos de p. Questão 4: Encontre os valores de m ∈ ℕ tais que ψ(m) = 12, ψ(m) = 16, ψ(m) = 8, ψ(m) = 24 Dica: m = p1^r1...pe^re com pi's primos distintos então ψ(m) = ψ(p1^r1)...ψ(pe^re) Questão 5: Mostre que se m > 2 então ψ(m) é par. Questão 6: Mostre que 2730|n^13 - n ∀n ∈ ℤ Dica: Use, caso necessário, os exercícios 7, 8 dessa lista. Questão 7: Sejam a, m ∈ ℤ com m >= 2. Mostre que mdc(a, m) = 1 <=> ∃ h ∈ ℕ tal que a^h ≡ 1 mod m Consequência: da questão anterior podemos definir a ordem de a com respeito a m, denotado por ordm(a), como o menor h ∈ ℕ tal que a^h ≡ 1 mod m Questão 8: Sejam a, m ∈ ℤ com m > 1 e mdc(a, m) = 1. Prove que a^n ≡ 1 mod m <=> ordm(a) | n. Questão 9: Quais são os possíveis restos da divisão de a^100 para a ∈ ℤ quando dividimos por 125? Próximos exercícios: Vamos assumir o teorema de Wilson que é enunciado da seguinte forma: p primo então (p-1)! ≡ -1 mod p Questão 10: P primo ímpar ⇒ p | 2^(p-1) + (p-1)! Questão 11: p > 2, p primo (a) p | (p-2)! -1 (b) p | (p-3)! - p-1/2