Lista 4 - Aritmética Modular - Tópicos de Álgebra Aplicada - 2023-1

Prof. Tiago Picon - Tópicos de Álgebra Lista 4 - Aritmética Modular Questão 1: Calcule o resto da divisão (utilizando congruência modular) de (a) 7¹⁰ por 51 (b) 5²¹ por 127 (c) 2¹⁰⁰ por 11 (d) 11¹² por 5 Questão 2: Utilizando congruência prove que (a) 19⁸ⁿ - 1 é divisível por 17 (b) 101⁶ⁿ - 1 " " por 70 Questão 3: Determine o resto da divisão por 7 do número (a) 1⁷ + 2⁷ + ... + 100⁷ (b) 1⁶ + 2⁶ + ... + 100⁶ (c) 2222⁵⁵⁵⁵ + 5555²²²² Questão 4: Sejam a,p ∈ IN, p primo. Mostre que a² ≡ 1 mod p ⇒ a ≡ 1 mod p ou a ≡ -1 mod p Questão 5: Escreva o critério de divisibilidade do nº 13 Questão 6: Prove que 2²ⁿ(2²ⁿ⁺¹ - 1) ≡ 1 mod 9 ∀n ∈ IN Questão 7: Prove que 1/7 n⁷ + 1/5 n⁵ + 23/35 n é um número inteiro ∀n ∈ IN. Questão 8: Mostre que (a) 7 | 3²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺² ∀n ∈ IN (b) 37 | 3 0 0 ... 0⁷ ∀n ∈ IN (3ⁿ) (c) 37 | 7 0 0 ... 0³ ∀n ∈ IN (3ⁿ⁺¹) Questão 9: Mostre que a¹³ - a é divisível por 2, 3, 5, 7, 13 e 273 Questão 10: Qual o resto da divisão de 2334 por 23? (sem usar calculadora).