Introdução à Regressão e Correlação

REGRESSÃO E CORRELAÇÃO INTRODUÇÃO Sempre que se fala em Correlação e Regressão na realidade objetivase efetuar uma análise de dados amostrais para medirse o comportamento conjugado entre duas ou mais variáveis Correlação É um número entre 1 e 1 que mede o grau de relacionamento entre duas ou mais variáveis Além de se calcular o grau de correlação entre duas variáveis podese também fazer um estudo para ajustar uma equação ao conjunto de dados de forma que ele possa expressar uma relação matemática entre as variáveis Regressão É o estudo que busca ajustar uma equação a um conjunto de dados de forma que a relação entre as variáveis possa ser descrita matematicamente Encontramos na regressão uma tentativa para estabelecer uma equação matemática linear que descreva a relação entre as variáveis Basicamente buscamos encontrar nestas equações de regressão uma boa maneira de explicarmos o que ocorre com uma variável devido às variações ocorridas nas outras variáveis a qual está associada Existem vários tipos de relações entre as variáveis Neste estudo darseá ênfase às regressões lineares 72 A EQUAÇÃO LINEAR Uma equação linear é uma equação ou um modelo da forma p p 2 2 1 1 0 b x b x b x b y onde y é a variável que é considerada resposta ou dependente de outras variáveis É um número real sempre conhecido 1p 2 1 x x x são as variáveis que possivelmente influenciam y São números reais sempre conhecidos p 2 1 0 b b b b são os parâmetros do modelo São números reais à princípio desconhecidos p é um número inteiro a partir de 1 Esta equação é considerada linear porque é uma combinação linear dos parâmetros isto é os parâmetros são combinados entre si através de multiplicações e adições Quando p 1 denominamos a equação de regressão linear simples Neste caso podemos reescrever a equação fazendo b0 a e b1 b anotando bx a y onde a é o ponto em que a reta toca o eixo y quando x 0 intercepto y b é o coeficiente angular da reta dado pela relação x y b Vejamos as relações existentes entre o gráfico da reta e sua equação Tomemos como exemplo os dados de produção de leite de um grupo de vacas holandesas tratadas com diferentes níveis de proteína x 10 12 14 16 18 20 22 y 118 102 121 132 151 154 156 x é o nível de proteína em y é a produção de leite em kgdia Plotando o gráfico Analisando o gráfico podese perceber que os dados ajustamse em uma regressão linear simples Mas nem sempre o modelo linear simples é adequado para um determinado conjunto de dados assim alguns estudos iniciais devem ser realizados para que se possa determinar o modelo mais apropriado A maneira mais simples para se determinar relação entre as variáveis é através da representação gráfica dos pontos que representam a relação entre as variáveis no plano cartesiano como foi feito acima Vejamos alguns exemplos de relação entre variáveis Percebese que os pontos dispostos em b e d apresentam uma relação linear entre as variáveis o que não ocorre em a e c O gráfico de c por exemplo parece indicar uma relação quadrática entre y e x pois há uma aparência de um arco de parábola no gráfico Uma relação assim seria uma equação do tipo cx 2 bx a y com c0 parábola com a boca para baixo Apesar desta relação ser quadrática nós a consideramos ainda linear pois permanece sendo uma combinação linear dos parâmetros a b e c Porém não é linear simples Seria uma equação de regressão linear quadrática ou simplesmente regressão quadrática Já o gráfico de a por exemplo é do tipo que não poderia ser bem representado por nenhuma regressão linear nem simples nem quadrática nem polinomial com qualquer grau Há uma sugestão de uma relação exponencial do tipo be cx a y a qual não é uma combinação linear dos parâmetros a b e c Este tipo de regressão é denominada nãolinear Neste curso abordaremos somente regressão linear simples MODELO ESTATÍSTICO PARA A REGRESSÃO LINEAR SIMPLES Na Estatística o modelo matemático linear simples incorpora as variações devidas ao aleatório tornandose um modelo estatístico i i i e bx a y O termo ie está relacionado ao erro aleatório percebido em cada uma das iésimas observações A massa de dados que temos em mãos é do tipo x x1 x2 n x y y1 y2 n y ESTIMAÇÃO DA EQUAÇÃO MATEMÁTICA DA REGRESSÃO LINEAR A partir do modelo de regressão linear usando o método chamado método dos quadrados mínimos podemos determinar a equação da reta Podese assim obter a estimativa de regressão através da equação i i bˆx aˆ yˆ onde aˆ e bˆ são as estimativas de a e b obtidas com os dados e iyˆ é a estimativa da iésima observação Por meio desta equação através dos valores dados de x variável independente é possível predizer os valores de yvariável dependente MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS Através de operações algébricas de relativa facilidade é possível determinar valores estimados para o intercepto a e para o coeficiente angular b ou seja podemos estimar a equação de regressão n 1 i 2 n i 1 2 i n 1 i n 1 i i n 1 i i i i n x x n y x y x bˆ n x bˆ n y aˆ n 1 i i n 1 i i Para os dados do exemplo das vacas holandesas com o auxílio de um quadro auxiliar para os cálculos temos ix iy xiyi ix2 2 iy 10 118 1180 1000 1392 12 102 1224 1440 1040 14 121 1694 1960 1464 16 132 2112 2560 1742 18 151 2718 3240 2280 20 154 3080 4000 2372 22 156 3432 4840 2434 Totais 1120 9340 15440000 19040000 12724600 Calculando aˆ e bˆ 44 0 7 112 0 0 1904 7 112 0 934 0 1544 bˆ 2 6 30 7 0 44 112 0 7 934 aˆ Logo a equação estimada ou ajustada para a produção de leite em função do nível de proteína é dada i i 044x 630 yˆ Esta equação pode ser interpretada da seguinte maneira no intervalo estudado esperase um aumento médio de 044 kgdia na produção de leite das vacas a cada 1 x variando de 10 a 22 de proteína de aumento no nível de proteína da ração A interpretação está diretamente ligada ao valor do coeficiente angular da reta b Para o exemplo 12044kg dia 0 4413 6 30 yˆ 13 x 58kg dia 11 0 4412 6 30 yˆ 12 x x 1 y 044kg dia Devese ressaltar o perigo em extrapolar as conclusões além do alcance dos dados amostrais pois além do intervalo estudado a relação existente entre as variáveis pode não se verificar VARIAÇÕES NO MODELO DE REGRESSÃO Vejamos as variações admitidas no modelo de regressão e como calculálas 1º Variação Total SQTotal mede a variação dos pontos da reta de regressão em torno da média da variável dependente y n y y SQTotal 2 n 1 i i n 1 i 2 i Para o exemplo SQTotal mede toda a variação ocorrida na produção de leite 2º Variação na Regressão Linear SQRL 2 2 n 1 i i n 1 i 2 i n 1 i n 1 i i n 1 i i i i n x x n y x y x SQRL Para o exemplo O desvio da regressão linear mede o valor da variação ocorrida na produção de leite devido à variação nos diversos níveis de proteína na ração Em termos percentuais da Variação Total a variação devida à Regressão Linear é denominada Coeficiente de Determinação 2 r 83 7 100 24 26 2197 100 SQTOTAL SQRL r 2 A interpretação é 837 da variação na produção de leite é explicada pela variação na porcentagem de proteína na ração 3º Variação do acaso é a variação não explicada pela regressão Soma de Quadrados do Desvio SQ Re síduo SQRL SQTotal SQ Re síduo Para o exemplo 427 2197 2624 SQ Re síduo Mede a variação ocorrida na produção de leite que não foi devido à variação dos níveis de proteína da ração Em termos percentuais 16 3 100 24 26 4 27 da variação em y é explicada por x CORRELAÇÃO A partir das evidências de que existe relacionamento entre as variáveis existe a necessidade de quantificação do grau de correlação entre elas Esta quantificação é feita calculando o coeficiente de correlação r n y y n x x n y x y x r 2 n 1 i i n 1 i 2 i n 1 i 2 n 1 i i 2 i n 1 i n 1 i i n 1 i i i i Interpretação dos valores do coeficiente de correlação O valor do coeficiente de correlação pode variar de 1 até 1 os valores negativos indicam uma associação inversa entre as variáveis e os positivos indicam uma associação direta Se o coeficiente de correlação for igual a zero há indicação de que não existe relação entre as variáveis Calculando o coeficiente de correlação para o exemplo Interpretando o resultado podese afirmar que existe uma alta associação direta positiva entre o nível de proteína da ração e a produção de leite COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO 2 r O coeficiente de determinação já apresentado indica percentualmente a variação da variável dependente y causada pela variação da variável independente x Outro modo de calculálo é elevar o valor encontrado no coeficiente de correlação ao quadrado Para o exemplo 83 7 08372 0915 r 2 Logo 837 da variação ocorrida na produção de leite se deve à variação do nível de proteína na ração Universidade Federal de Uberlândia CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR Profa Fabrícia 1 1 Uma cadeia de supermercados financiou um estudo dos gastos realizados por família de quatro pessoas com renda mensal líquida entre oito e vinte salários mínimos A pesquisa levou a equação de regressão Y 12 04 X onde Y representa a despesa mensal estimada através do modelo e X a renda mensal líquida expressa em numero de salários mínimos a Estime a despesa mensal de uma família com renda líquida mensal de 15 salários mínimos b A equação parece sugerir que uma família com renda mensal de 3 salários mínimos nada gasta com mercadorias O que você tem a dizer sobre isso c A equação em questão serve para estimar a despesa mensal de uma família de 5 pessoas com renda líquida de 12 salários mínimos Justifique 2 Uma amostra de fábricas de uma indústria levou a Custo total Y Produção X 80 12 44 4 51 6 70 11 61 8 a Determine a equação de regressão linear b Quais os significados econômicos de a e b c Encontre o coeficiente de determinação ou de explicação 3 Pretendendo estudar a relação entre o tempo necessário a um consumidor para optar e o número de produtos substitutos alternativos expostos a ele foi observada uma amostra aleatória de 15 consumidores da qual resultaram os seguintes dados Y X 5 2 8 2 8 2 7 2 9 2 7 3 9 3 Universidade Federal de Uberlândia CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR Profa Fabrícia 2 8 3 9 3 10 3 10 3 11 4 10 4 12 4 9 4 A variável Y referese ao tempo necessário para a tomada de decisão e X o número de alternativas a Estime o coeficiente de correlação linear b Determine a equação de regressão para a amostra dada cInterprete os valores dos coeficientes encontrados para a reta dEstime e interprete o coeficiente de determinação entre X e Y 4 Para cada caso abaixo estime a correspondente reta de regressão a n X Y XY X 20 200 300 6200 3600 2 b n X Y XY X 36 7 2 37 3100 620 2 5 Abaixo você encontra 3 afirmações Indique justificando se são verdadeiras ou falsas a Se entre X e Y o coeficiente de correlação é 1 apenas uma dessas variáveis exerce influência sobre a outra Isso já não é verdade quando o coeficiente de correlação é 1 b Se o coeficiente angular da reta de regressão é nulo o coeficiente de correlação entre as mesmas variáveis também o é c Se o coeficiente angular da reta de regressão é positivo necessariamente o coeficiente de correlação entre as mesmas variáveis também o é 6 A tabela abaixo mostra o volume de vendas em 1000 unidades e os gastos promocionais em 100000 reais Vendas Promoção 80 2 90 4 95 5 95 6 100 8 110 8 Universidade Federal de Uberlândia CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR Profa Fabrícia 3 115 10 110 10 120 12 130 15 a Represente graficamente estes pontos b Calcule o coeficiente de correlação linear c Ajuste os dados através de uma reta de mínimos quadrados modelo linear d Determine o coeficiente de explicação para a reta 7 A seguir temos informações do número de peixesboi mortos e o número de barcos de turismo em milhares que circulam em seu habitat na FlóridaEUA a Faça um diagrama de dispersão para os dados b Estime a equação de regressão que se ajusta aos dados c Plote a equação estimada d Interprete praticamente a equação de regressão e Calcule e interprete as três variações admitidas no modelo de regressão f Calcule o coeficiente de correlação e interprete g Encontre o coeficiente de determinação r2 e interprete 8 É esperado que a massa muscular de uma pessoa diminua com a idade Para estudar essa relação uma nutricionista selecionou 18 mulheres com idade entre 40 e 79 anos e observou em cada uma delas a idade X e a massa muscular Y a Faça um diagrama de dispersão para os dados b Estime a equação de regressão que se ajusta aos dados Universidade Federal de Uberlândia CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR Profa Fabrícia 4 c Plote a equação estimada d Interprete praticamente a equação de regressão e Calcule e interprete as três variações admitidas no modelo de regressão f Calcule o coeficiente de correlação e interprete g Encontre o coeficiente de determinação r2 e interprete