Teste de Qui-Quadrado para Distribuição de Chuvas A acima de 30 mm/h

Teste de Quiquadrado Os testes de hipóteses podem se referir a adequabilidade ou não de modelos probabilísticos utilizados para descrever populações Se a população não tem distribuição normal e a amostra é pequena então a distribuição t não é adequada e outros procedimentos deverão ser buscados Para exemplificar imaginese que um engenheiro agrícola observou a ocorrência de chuvas por ano com intensidade acima de 30 mmh em uma região nos 35 anos anteriores compondo a sua amostra tendo encontrado os seguintes valores Tabela a seguir fχ² 1961 2 1966 1 1971 0 1976 2 1981 3 19862 1991 2 1962 0 1967 3 1972 2 1977 4 1982 2 19872 1992 6 1963 3 1968 2 1973 4 1978 5 1983 0 1988 1 1993 5 1964 2 1969 3 1974 2 1979 2 1984 6 1989 3 1994 3 1965 1 1970 1 1975 3 1980 0 1985 2 1990 4 1995 1 A distribuição de freqüência absoluta dessa variável descritora de natureza discreta gerou uma nova tabela Tabela Distribuição de freqüência absoluta observada fo da ocorrência de chuvas com intensidadeacima de 30 mmh NÚMERO DE CHUVAS POR ANO fo 0 4 1 5 2 12 3 7 4 3 5 2 6 2 7 ou mais 0 TOTAL 35 Suponhase que o engenheiro deseja verificar se a distribuição de freqüência pode ser descrita por uma distribuição de Poisson para que possa fazer previsões futuras Ou seja o problema consiste no teste das hipóteses H0 a ocorrência de chuvas acima de 30mmh tem distribuição Poisson H1 a ocorrência de chuvas acima de 30mmh não tem distribuição Poisson A distribuição de quiquadrado fornece um meio aproximado de se testar a hipótese H0 Para tanto calculase para cada número de chuvas a freqüência absoluta esperada fe caso os dados da amostra tivessem exatamente uma distribuição de Poisson Em seguida são confrontadas essas freqüências esperadas fe com as observadas fo Se as diferenças puderem ser consideradas como meramente casuais então aceitase H0 Para tanto determinase o valor de quiquadrado calculado pela expressão onde k é o número de classes Este valor é comparado com o valor da Tabela de quiquadrado para um determinado nível de significância alfa Se o valor de for maior que esse valor da Tabela então rejeitase H0 pois então é muito pouco provável que a amostra em questão tenha acontecido com H0 verdadeira pois a probabilidade das variações de fo em relação a fe terem acontecido por puro acaso é baixa igual ou menor que alfa Para se saber o número de graus de liberdade v para a consulta à tabela devese tomar v número de classes 1 número de parâmetros estimados É necessário em primeiro lugar agrupar aquelas classes com freqüência esperada menor do que 5 Isso conduz à distribuição de freqüências apresentada na próxima tabela Com esse procedimento o número de classes k diminuiu de 7 para 4 classes Tabela da Distribuição de freqüência absoluta observada fo da ocorrência de chuvas agrupando as classes com menos de 5 elementos Clique para adicionar texto NÚMERO DE CHUVAS POR ANO fo fe 0 ou 1 9 1079 2 12 915 3 7 732 4 ou mais 7 774 TOTAL 35 3500 O cálculo foi feito considerando l 8435 24 Cada fe é calculada por PX x Como já foi feito com base na estimativa do parâmetro l podese calcular a freqüência absoluta esperada em cada classe admitindo que os dados da amostra tenham distribuição de Poisson Para tanto basta utilizar a expressão conhecida PX x PX 0 00907 PX 1 02177 PX 0 ou X 1 00907 02177 03084 PX 2 02613 PX 3 02090 PX 4 1 PX 4 1 03084 02613 02090 02213 Distribuição de freqüência absoluta observada e esperada para a ocorrência de chuvas agrupando as classes com menos de 5 elementos NÚMERO DE CHUVAS POR ANO foI feII 0 ou 1 9 03484x351079 0297 2 12 915 0888 3 7 732 0014 4 ou mais 7 774 0073 TOTAL 35 35 1272 O valor de quiquadrado é portanto 1272 Para verificar se H0 é rejeitada ou não devese consultar o valor da tabela de c2 Para tanto devese observar que um parâmetro l foi estimado e o número de classes é igual a 4 Assim v 4 1 1 2 Adotandose um nível de significância de 005 temse que o valor tabelado é dado por 5991 Como foi menor que então optase por aceitar a hipótese H0 de que a ocorrência de chuvas pode ser descrita satisfatoriamente por uma distribuição de Poisson com uma chance de Erro Tipo I de apenas 5 Outra aplicação do teste de quiquadrado é o teste de quiquadrado c2 para independência entre fatores Este é um teste de hipótese para testar julgar se 2 fatores quaisquer denominados de por exemplo A e B são independentes um do outro ou não Por exemplo considere o exemplo a seguir Suponhamos que experimentouse o efeito de uma certa droga no controle de uma certa bactéria usando ratos Foram utilizados 111 animais divididos em 2 grupos 57 deles recebendo uma dosepadrão de bactérias patogênicas seguidas pela droga e um grupo de controle de 54 que receberam apenas a bactéria Depois de um adequado período de tempo quando a doença poderia provocar a morte obtiveramse os seguintes resultados TRATAMENTO INDIVÍDUOS TOTAL MORTOS SOBREVIVENTES BACTÉRIA DROGA 13 44 57 BACTÉRIA 25 29 54 TOTAL 38 73 111 Há diferença entre os tratamentos Ou em outras palavras o fator sobrevivência do indivíduo depende do fator uso da droga Ou ainda o uso da droga tem efeito na sobrevivência do indivíduo ele sobreviver depende do uso da droga Este tipo de teste é realizado pelo algoritmo abaixo H0 Efeito do fator A independe do efeito do fator B H1 ou HA Efeito do fator A depende do efeito do fator B a 5 este é a probabilidadede cometer o erro tipo I e é você que decide o valor deste risco Onde foi é a frequência observada na iésima casela da tabela Uma casela ou célula é o encontro entre uma linha e uma coluna O número k de caselas é sempre igual a lc l é número de linhas e c é número de colunas fei é a freqüência esperada na iésima casela da tabela È calculada pela fórmula fe Total marginal linha x Total marginal coluna Total geral Cálculo das freqüências esperadas Agora passamos ao teste de hipótese 1 H0 Os efeitos da droga não influenciam na sobrevivência 2 HA Os efeitos da droga influenciam na sobrevivência 3 4 Estatística de Teste O valor de tabelado tem u 21 x 21 1 onde 2 é o número de linhas e 2 o número de colunas da tabela 3841 rejeitase H0 ou seja os efeitos da droga influenciam na sobrevivência dos ratos expostos a essa bactéria ExemploEm um experimento com ervilhas foram obtidos os seguintes resultados COR FREQÜÊNCIA VERDE 275 AMARELA 156 ALBINO 28 TOTAL 459 Teste a hipótese de que a segregação segue a proporção 961 Teoria Mendeliana 9 6 1 Proporção Temse a freqüência observada calculase então a freqüência esperada Total de observações vezes a probabilidade dada pela Teoria Mendeliana COR FREQ OBS FREQ ESP VERDE 275 258 AMARELA 156 172 ALBINO 28 29 TOTAL 459 459 1 H0 Os dados seguem a proporção 9 6 1 2 HA Ao dados não seguem a proporção9 6 1 3 4 Estatística de Teste Distribuição de O valor de tabelado com v 2 GL Assim Como Aceitase H0 ou seja os dados seguem a proporção 9 6 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA UFU ESTATISTICA Testes de hipóteses de Quiquadrado PROFª FABRÍCIA 1 Dentre os alunos de uma sala alguns não freqüentavam as aulas apenas comparecendo às provas Na tabela abaixo estão apresentados seus resultados a Você pode concluir que a presença nas aulas está associada aos resultados finais dos alunos Faça o teste com nível de 5 de significância 2Queremos saber se há diferenças significativas entre três meios de comunicação em termos de lembrança do consumidor da propaganda veiculada O resultado de um estudo sobre propaganda mostrou Usando 1 de significância é possível concluir que há associação entre a capacidade de lembrança e o meio de comunicação usado 3 O número de chegadas de pacientes em um determinado hospital foi anotado minuto a minuto para uma amostra de 70 períodos de um minuto Os dados colhidos foram os seguintes N Chegadas 0 1 2 3 4 5 6 7 Freqüência 9 15 17 11 7 5 4 2 O modelo de Poisson foi proposto para modelar estes números de chegadas Qual é sua opinião embasea estatisticamente 4 Num cruzamento entre plantas de tomates altas e folhas normais com plantas anãs e folhas tipo batata na geração F2 obtevese Plantas altas folhas normais 940 Plantas altas folhas batata 290 Plantas anãs folhas normais 282 Plantas anãs folhas batata 88 Verifique concordância com a 2 Lei de Mendel 9331 utilizando 5 5 Proceda o teste de 2 para decidir se o fator Tipo de Cooperativa independe do fator Estado com nível de significância de 5 ESTADO TIPO DE COOPERATIVA TOTAL CONSUMIDOR PRODUTOR ESCOLA OUTROS SP 214 237 78 119 648 PR 51 102 126 22 301 RS 111 304 139 48 602 TOTAL 376 643 343 189 1551 6 O gerente do Supermercado Gleason deve decidir a quantidade de cada sabor de sorvete que deve estocar a fim de atender à demanda dos consumidores sem que haja perda de sabores menos procurados O fornecedor de sorvete afirma que entre os sabores mais populares os clientes têm suas preferências 62 preferem creme 18 preferem cupuaçu 12 preferem goiaba e 8 preferem baunilha com calda Uma amostra de 200 clientes acusou os resultados a seguir Com o nível de 005 de significância teste se o fornecedor identificou corretamente as preferências dos consumidores SABOR CREME CUPUAÇU GOIABA BAUNILHA CLIENTES 120 40 18 22 Dados baseados em resultados da International Association por Ice Cream Manufacturers