Cálculo Diferencial e Integral 3

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III Resolva as integrais múltiplas e esboce a região de integração da integral da alínea a a 12 até e ln x até 2 4x dy dx b 0 até 4 1 até 5 5xy1y2 dy dx c 2 até 4 0 até x2 0 até 2y x4 y2 z dz dy dx Apresente a resolução das alíneas a b c passo a passo até a resposta final Questão Resolva as integrais múltiplas e esboce a região de integração a 12 até e lnx até 2 4x dy dx b 0 até 4 1 até 5 5xy1y2 dy dx c 2 até 4 0 até x2 0 até 2y x4 y2 z dz dy dx Solução a Observando os limites de integração concluímos que a região de integração é do tipo I R xy 12 x e lnx y 2 e seu esboço está na figura abaixo Assim R 4x dy dx 12e lnx2 4x dy dx 12e 4xy ln x2 dx 12e 4x2 lnx dx 812e x dx 412e x lnx dx A integral em vermelho é dada por 12e x dx x22 12e e22 18 Já a integral em azul pode ser calculada usando o método da integral por partes Sejam u lnx e dv x dx Então du 1x dx v x22 e x lnx dx x22 lnx x22 1x dx x22 lnx 12 x dx x22 lnx 12 x22 x22 lnx x24 C Assim a integral definida é 12e x lnx dx x22 lnx x24 12e e22 e24 18 ln2 116 e24 ln28 116 Portanto voltando à integral dupla temos R 4x dy dx 8 12e x dx 4 12e x lnx dx 8e22 18 4 e24 ln28 116 4e2 1 e2 ln22 14 3e2 54 ln22 b Observando os limites de integração concluímos que a região R de integração é o retângulo R xy 0 x 4 1 x 5 que está esboçado a seguir Assim R 5xy 1 y2 dy dx 04 15 5xy 1 y2 dy dx 04 5x 15 y 1 y2 dy dx Para resolver a integral em vermelho considere a substituição u 1 y2 Então du 2y dy e y 1 y2 dy 12 du u 12 lnu C 12 ln1 y2 C Assim voltando à integral dupla R 5xy 1 y2 dy dx 04 5x 12 ln1 y2 15 dx 52 04 x ln26 ln2 dx 5 ln132 04 x dx 5 ln132 x2 2 04 20 ln13 c Observando os limites de integração concluímos que a região de R de integração é do tipo I R x y z 2 x 4 0 y x2 0 z 2y e sua projeção no plano xy está esboçada na figura a seguir Assim R x2 y2 z dz dy dx 24 0x2 02y x4 y2 z dz dy dx 24 0x2 x4 y2 z2 2 02y dy dx 24 0x2 2 x4 dy dx 2 24 0x2 x4 dy dx 2 24 x4 y 0x2 dx 2 24 x6 dx 2 x7 7 24 32512 7