Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo Vetorial - Teorema de Green e Integrais de Linha

Questão 12 Dentre as alternativas a seguir qual apresenta o valor da integral de linha 𝑐𝐅 d𝐫 do campo vetorial 𝐅 x y 3x² y²𝐢 3z 𝐣 𝐤 ao longo da curva 𝐫 t t 𝐢 t² 𝐣 t⁴ 𝐤 com 0 t 1 15 28 36 50 10 Questão 22 Para campos vetoriais conservativos existe uma função escalar f cujo f 𝐅 Chamamos esta função de função potencial Assim o valor aproximado da função potencial de 𝐅 x y z 2xz² y²𝐢 2xyz𝐣 xy² 2xz²𝐤 no ponto 1 2 1 é obs nas alternativas c é uma constante 4 c 6 c 1 c 3 c 1 c Questão 12 O teorema de Green relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a região D limitada pela curva C Como foi visto é possível utilizar qualquer uma das duas formas deste teorema para se determinar uma integral de linha sobre uma curva fechada simples C Sendo assim o valor aproximado da integral de linha 𝑐 xydx x²y³ dy onde C é o triângulo de vértices 0 0 1 0 e 12 é 03 24 07 12 10 Questão 22 O teorema de Green relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a região D limitada pela curva C Como foi visto na videoaula da semana 8 temse duas formas para este teorema a forma normal fluxo divergência e a forma tangencial circulação rotacional Sendo assim Utilize o teorema de Green para determinar a circulação rotacional do campo vetorial 𝐅 x y x y 𝐢 x² y² 𝐣 sobre a região limitada pelo triângulo de vértices 00 30 e 33 225 10 125 15 80 Questão 12 De acordo como o que foi estudado nos teoremas para campos vetoriais conservativos podese determinar a 𝑐𝐅 d𝐫 pelo teorema fundamental da integral de linha 𝑐 f d𝐫 f 𝐫 b f 𝐫 a Uma vez que para esses campos vetoriais f 𝐅 Assim o valor aproximado da 𝑐𝐅 d𝐫 para 𝐅 x y 2xcosy ycosx𝐢 x²seny senx 𝐣 e a curva C pode ser representada pela função vetorial 𝐫 t t 1 𝐢 t 𝐣 com 1 t 4 é obs para os cálculos utilize a calculadora no modo radiano 97 102 208 213 153 Questão 22 A integral de linha 𝑐 2xy² ds tal que c é a curva x 15t y 2t 1 com 0 t 1 vale 200 250 125 075 300 Fxyxy2i x2 y2j vértices 00 30 33 F₂x F₁y dx dy F₂x F₁y dy dx ₀³ ₀ˣ 2x1 dy dx ₀³ ₀ˣ 2x1 dy dx ₀³ 2yx y ₀ˣ dx ₀³ 2x² x dx ₀³ 2x³3 x²2 12 s 4 c 2xy² ds x 15t y 2t 1 0 t 1 ds dxdt² dydt² dt 15² 2² dt 25 dt 2 15t2t 1² 25 dt 5 15t4t² 4t 1 dt 5 6t³ 6t² 15t dt 5 6t⁴4 6t³3 15t²2 2125