Equacao Diferencial Homogenea - Resolucao e Solucao do PVI

A solução de uma equação diferencial é uma função y ou yx se a equação for nestas variáveis Resolvendo a equação homogênea dydx yx xy obtémse uma função yx Se o ponto y12 pertence a esta função então podese afirmar que o módulo do valor inteiro mais próximo de y2 é 11 5 3 7 9 QUESTÃO A solução de uma equação diferencial é uma função y ou yx se a equação for nestas variáveis Resolvendo a equação homogênea dy dx y x x y obtémse uma função yx Se o ponto y1 2 pertence a esta função então podese afimar que o módulo do valor inteiro mais próximo de y2 é Solução Veja que a EDO pode ser escrita como y y x xy1 Façamos a mudança zx y2x Com efeito derivando em x teremos que z 2yy y z 2y 1 logo aplicando essa mudança teremos que z 2y y x xy1 2 e simplificando algebricamente vamos ter o seguinte desenvolvimento z 2y y x xy1 z 2y2 x 2x z 2 xz 2x e agora temos uma EDO linear em z Com efeito vamos resolvêla Veja que um fator inte grante para essa EDO é uma função µx tal que dµ µ 2dx x lnµ 2 lnx µ x2 1 Portanto segue que a EDO será zμ 2x zμ 2xμ zx2 2x zμx2 2xx2 dzx2dx 2x zx2 2x dx zx2 2 lnx C zx 2x2 lnx Cx2 onde C é uma constante de integração Mas veja que o PVI dado é y1 2 logo teremos que y12 z1 y21 4 Então temos que z1 y214 e logo 42 ln1 C C4 e logo a solução do PVI pode ser posta como zx 2x2 lnx 4x2 Então em x2 temos que z2 2 4 ln2 4 4 215451 3 Então segue que y2 z2 215451 446416 4 e o inteiro mais próximo é 5