Lista de Exercícios Resolvidos - Equações Diferenciais com Condições Iniciais

Um problema de valor inicial é uma equação diferencial sujeita a condições iniciais que nada mais são do que pontos dados da funçãosolução e de sua derivada primeira Assim seja a equação diferencial 225y 30y 100y 0 com y0 3 e y0 15 Podese afirmar que o valor da soma das constantes C1 e C2 é 6 3 10 8 9 Um problema de valor inicial é uma equação diferencial sujeita a condições iniciais que nada mais são do que pontos dados da funçãosolução e de sua derivada primeira Assim seja a equação diferencial 4y 12y 9y 0 com y0 2 e y0 1 Podese afirmar que o valor aproximado de y1 é 9 3 7 5 12 Questão 1 Aqui temos 225 y 30 y 100 y0 A equação característica é 225m 230m1000 Logo m3030 24225100 2225 m300 45 m66666 Como a raíz é repetida a solução é dada por yc1e 6666xc2x e 6666x Mas temos y 03 logo 3c1e 00 c13 Assim temos y3 e 6666 xc2 xe 6666 x y 3 6666 e 6666 xc2e 6666xc2x 6666e 6666x Mas temos y 015 logo 153 6666e 0c2e 00 153 6666c2 1520c2 c25 Assim temos c1c235 8 Questão 2 Aqui temos 4 y 12 y 9 y0 A equação característica é 4 m 212m90 Logo m1212 2449 24 m120 8 m15 Como a raíz é repetida a solução é dada por yc1e 15 xc2 xe 15 x Mas temos y 02 logo 2c1e 00 c12 Assim temos y2e 1 5xc2x e 1 5x y 2 15 e 1 5xc2e 15 xc2x 15e 15 x Mas temos y 01 logo 1215e 0c2e 00 13c2 c24 Assim temos y2e 1 5x4 xe 15 x Logo y 12e 154 e 1 5 2e 1 5 896 9 Questão 1 Aqui temos 225 𝑦 30 𝑦 100𝑦 0 A equação característica é 225 𝑚2 30 𝑚 100 0 Logo 𝑚 30 302 4 225 100 2 225 𝑚 30 0 45 𝑚 66666 Como a raíz é repetida a solução é dada por 𝑦 𝑐1𝑒6666𝑥 𝑐2𝑥𝑒6666𝑥 Mas temos 𝑦0 3 logo 3 𝑐1𝑒0 0 𝑐1 3 Assim temos 𝑦 3𝑒6666𝑥 𝑐2𝑥𝑒6666𝑥 𝑦 36666𝑒6666𝑥 𝑐2𝑒6666𝑥 𝑐2𝑥6666𝑒6666𝑥 Mas temos 𝑦0 15 logo 15 36666𝑒0 𝑐2𝑒0 0 15 36666 𝑐2 15 20 𝑐2 𝑐2 5 Assim temos 𝑐1 𝑐2 3 5 𝟖 Questão 2 Aqui temos 4 𝑦 12 𝑦 9𝑦 0 A equação característica é 4 𝑚2 12 𝑚 9 0 Logo 𝑚 12 122 4 4 9 2 4 𝑚 12 0 8 𝑚 15 Como a raíz é repetida a solução é dada por 𝑦 𝑐1𝑒15𝑥 𝑐2𝑥𝑒15𝑥 Mas temos 𝑦0 2 logo 2 𝑐1𝑒0 0 𝑐1 2 Assim temos 𝑦 2𝑒15𝑥 𝑐2𝑥𝑒15𝑥 𝑦 215𝑒15𝑥 𝑐2𝑒15𝑥 𝑐2𝑥15𝑒15𝑥 Mas temos 𝑦0 1 logo 1 215𝑒0 𝑐2𝑒0 0 1 3 𝑐2 𝑐2 4 Assim temos 𝑦 2𝑒15𝑥 4𝑥𝑒15𝑥 Logo 𝑦1 2𝑒15 4𝑒15 2𝑒15 896 𝟗 Salvar esta questão