Cálculo Diferencial e Integral IV - Resolução de Equações Diferenciais e Problemas de Decaimento Radioativo

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV Aqui só marcar a resposta certa Questão 1 a temos 𝑥𝑦 3𝑦 𝑥4 sin 𝑥 Manipulando obtemos 𝑦 3 𝑥 𝑦 𝑥3 sin 𝑥 Note que esta equação está no seguinte formato linear 𝑦 𝑝𝑥𝑦 𝑞𝑥 Logo a sua solução é 𝑦 𝑞𝑒 𝑃𝑑𝑥𝑑𝑥 𝐶 𝑒 𝑃𝑑𝑥 𝑦 𝑥3 sin 𝑥𝑒 3 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑥 𝐶 𝑒 3 𝑥𝑑𝑥 𝑦 𝑥3 sin𝑥𝑒3 ln 𝑥𝑑𝑥 𝐶 𝑒3 ln 𝑥 𝑦 𝑥3 sin 𝑥𝑒ln 𝑥3𝑑𝑥 𝐶 𝑒ln 𝑥3 𝑦 𝑥3 sin 𝑥𝑥3𝑑𝑥 𝐶 𝑥3 𝑦 sin𝑥 𝑑𝑥 𝐶 𝑥3 𝑦 cos 𝑥 𝐶 𝑥3 𝒚 𝒙𝟑𝐜𝐨𝐬𝒙 𝑪 b temos 𝑦 𝑦 𝑒4𝑥 Note que esta equação está no seguinte formato linear 𝑦 𝑝𝑥𝑦 𝑞𝑥 Logo a sua solução é 𝑦 𝑞𝑒 𝑃𝑑𝑥𝑑𝑥 𝐶 𝑒 𝑃𝑑𝑥 𝑦 𝑒4𝑥𝑒 𝑑𝑥𝑑𝑥 𝐶 𝑒 𝑑𝑥 𝑦 𝑒5𝑥𝑑𝑥 𝐶 𝑒𝑥 𝑦 𝑒5𝑥 5 𝐶 𝑒𝑥 𝑦 𝑒5𝑥 5 𝑒𝑥 𝐶𝑒𝑥 𝒚 𝒆𝟒𝒙 𝟓 𝑪𝒆𝒙 c temos 𝑑𝑦 𝑑𝑡 4𝑡 𝑒𝑦 Separando variáveis e integrando temos 𝑒𝑦𝑑𝑦 4𝑡𝑑𝑡 𝑒𝑦𝑑𝑦 2 2𝑡𝑑𝑡 𝐶 𝑒𝑦 2𝑡2 𝐶 Mas 𝑦0 2 logo 𝑒2 0 𝐶 𝐶 𝑒2 Logo a solução fica 𝑒𝑦 2𝑡2 𝑒2 𝒚 𝐥𝐧𝟐𝒕𝟐 𝒆𝟐 Questão 2 Aqui só marcar a resposta certa Em atomística a taxa de decaimento de um isótopo radioativo é proporcional à quantidade remanescente do elemento Ou seja dQdt k Q onde Q é a quantidade remanescente do isótopo num instante qualquer t é o tempo e k é a constante de proporcionalidade A partir da lei descrita acima considere a situação Em 13091987 Goiânia GO catadores de sucata encontraram nas instalações do extinto Instituto Goiano de Radioterapia um aparelho destinado a tratamentos médicos do qual retiraram a cápsula de césio137 Cs137 provocando o mais grave acidente radioativo da história do Brasil com 60 mortos e 16 mil pessoas afetadas de alguma forma Sabendo que a meiavida do Cs137 é de aproximadamente 3017 anos considere que no momento do acidente tenha sido liberado no ambiente 19 gramas deste elemento Utilize aproximação de centésimos por arredondamento para todos os valores obtidos no desenvolvimento da questão e marque a alternativa que indica em anos o tempo necessário para que 80 do Cs137 desapareça Observação meiavida é o tempo necessário para que metade da substância se desintegre 545 48 64 80 72 Questão 1 a temos x y 3 yx 4sin x Manipulando obtemos y 3 x yx 3sinx Note que esta equação está no seguinte formato linear y p x yq x Logo a sua solução é y qe Pdx dxC e Pdx y x 3sin xe 3 x dx dxC e 3 x dx y x 3sin xe 3ln x dxC e 3 ln x y x 3sin xe ln x 3 dxC e ln x 3 y x 3sin xx 3dxC x 3 y sinx dxC x 3 ycos xC x 3 yx 3 cos xC b temos y ye 4 x Note que esta equação está no seguinte formato linear y p x yq x Logo a sua solução é y qe Pdx dxC e Pdx y e 4 x e dxdxC e dx y e 5 xdxC e x y e 5 x 5 C e x ye 5x 5 e xCe x ye 4 x 5 C e x c temos dy dt 4t e y Separando variáveis e integrando temos e y dy4tdt e y dy22tdtC e y2t 2C Mas y 02 logo e 20C Ce 2 Logo a solução fica e y2t 2e 2 yln 2t 2e 2 Questão 2