2ª Lista de Exercícios de Cálculo IV

2ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO IV Professor Glelson Pereira Marques Email glelsonmarquesuemgbr Referência THOMAS G B Cálculo 12 ed São Paulo Pearson Addison Wesley 2012 v 2 OBS 1 Este arquivo de lista traz as páginas das seções dos exercícios e também as páginas dos gabaritos dos exercícios ímpares Seção 107 p 51 Exercícios 1 2 3 5 6 8 9 11 12 13 15 22 24 25 37 Seção 108 pp 5657 Exercícios 1 2 3 5 11 13 14 16 23 25 27 29 33 34 41 42 43 45 Bons estudos Capítulo 10 Sequências e séries infinitas 51 eXeMPlo 6 A série 1 1 t 1 t t2 t3 Á converge no intervalo aberto 1 6 t 6 1 Sendo assim x x2 2 x3 3 x4 4 Á nl s1 xd x 0 1 1 t dt t t2 2 t3 3 t4 4 Á d 0 x ou ln s1 xd a q n1 s 1dn1 xn n 1 6 x 6 1 Pode ser também demonstrado que a série converge em x 1 ao número ln 2 mas isso não é garantido pelo teorema Teorema 22 ln 2 a q n1 s1dn1 n exercícios 107 intervalos de convergência Nos Exercícios 136 a encontre o raio e o intervalo de convergên cia da série Para quais valores de x a série converge b absoluta mente E c condicionalmente 1 a q n0 x n 2 a q n0 sx 5dn 3 a q n0 s1dns4x 1dn 4 a q n1 s3x 2dn n 5 a q n0 sx 2dn 10n 6 a q n0 s2xdn 7 a q n0 nx n n 2 8 a q n1 s1dnsx 2dn n 9 a q n1 x n n2n 3n 10 a q n1 sx 1dn 2n 11 a q n0 s 1dnx n n 12 a q n0 3nx n n 13 a q n1 4nx2n n 14 a q n1 sx 1dn n3 3n 15 a q n0 x n 2n2 3 16 a q n0 s 1dnx n1 2n 3 17 a q n0 nsx 3dn 5n 18 a q n0 nx n 4nsn2 1d 19 a q n0 2nx n 3n 20 a q n1 2 n ns2x 5dn 21 a q n1 s2 s1dnd sx 1dn1 22 a q n1 s1dn 32nsx 2dn 3n 23 a q n1 a1 1 n b n x n 24 a q n1 sln ndx n 25 a q n1 nnx n 26 a q n0 nsx 4dn 27 a q n1 s 1dn1sx 2dn n2n 28 a q n0 s2dnsn 1dsx 1dn 29 a q n2 x n nsln nd2 30 a q n2 xn n ln n 31 a q n1 s4x 5d2n1 n32 32 a q n1 s3x 1dn1 2n 2 33 a q n1 1 2 4 8 Á s2nd xn 34 a q n1 3 5 7 Á s2n 1d n2 2n xn1 35 a q n1 1 2 3 Á n 12 22 32 Á n2 xn 36 a q n1 A 2n 1 2nBsx 3dn Nos Exercícios 3740 encontre o raio de convergência da série 37 a q n1 n 3 6 9 Á 3n xn 38 a q n1 a 2 4 6 Á s2nd 2 5 8 Á s3n 1d b 2 xn 39 a q n1 snd2 2ns2nd xn 40 a q n1 a n n 1b n2 xn Sugestão aplique o teste da raiz Pegue as informações necessárias sobre 1nln n2 da Seção 103 Exercício 55 Pegue as informações necessárias sobre 1n ln n da Seção 103 Exercício 54 01 thomaz0312CAP10indd 51 9412 549 PM Responder apenas a pergunta a 56 Cálculo eXeMPlo 4 Podese mostrar embora não facilmente que ƒsxd e 0 x 0 e1x2 x Z 0 Figura 1019 tem derivadas de todas as ordens em x 0 e f n0 0 para todo n Isso significa que a série de Taylor gerada por f em x 0 é 0 0 Á 0 Á 0 0 x 0 x2 Á 0 xn Á ƒs0d ƒs0dx ƒs0d 2 x2 Á ƒsnds0d n xn Á A série converge para todo x sua soma é 0 mas converge para f x somente em x 0 Isto é a série de Taylor gerada por f x neste exemplo não é igual à própria função f x Duas questões ainda permanecem 1 Para quais valores de x podemos normalmente esperar que uma série de Taylor convirja para sua função geradora 2 Com que precisão os polinômios de Taylor de uma função se aproximam da função em dado intervalo As respostas são fornecidas pelo teorema de Taylor na próxima seção 0 1 1 y 5 cos x 2 1 2 2 3 4 5 6 7 9 P0 P4 P8 P12 P16 P2 P6 P10 P14 P18 8 x y FigUra 1018 Os polinômios P2nsxd a n k0 s1dkx2k s2kd convergem a cos x conforme n S q Podemos deduzir o comportamento de cos x arbitrariamente longe somente a partir do conhecimento dos valores do cosseno e suas derivadas em x 0 Exemplo 3 0 1 2 1 1 2 e1x2 x Þ 0 0 x 5 0 x y FigUra 1019 O gráfico da extensão contínua de y e1x² é tão plano na origem que todas as suas derivadas nesse ponto são zero Exemplo 4 Sendo assim sua série de Taylor não é a própria função exercícios 108 encontrando polinômios de Taylor Nos Exercícios 110 encontre os polinômios de Taylor de ordens 0 1 2 e 3 gerados por f em a 1 f x e2x a 0 2 f x sen x a 0 3 f x ln x a 1 4 f x ln 1 x a 0 5 f x 1x a 2 6 f x 1x 2 a 0 7 f x sen x a p4 8 f x tg x a p4 9 f x 2x a 4 10 fx 21 x a 0 encontrando séries de Taylor em x 0 séries de Maclaurin Encontre a série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 1122 11 ex 12 xex 13 1 1 x 14 2 x 1 x 15 sen 3x 16 sen x 2 17 7 cos x 18 5 cos px 01 thomaz0312CAP10indd 56 9412 549 PM Capítulo 10 Sequências e séries infinitas 57 19 cosh x ex ex 2 20 senh x ex ex 2 21 x4 2x3 5x 4 22 x2 x 1 encontrando séries de Taylor e de Maclaurin Nos Exercícios 2332 encontre a série de Taylor gerada por f em x a 23 f x x3 2x 4 a 2 24 f x 2x3 x2 3x 8 a 1 25 f x x4 x2 1 a 2 26 f x 3x5 x4 2x3 x2 2 a 1 27 f x 1x2 a 1 28 f x 11 x3 a 0 29 f x ex a 2 30 f x 2x a 1 31 f x cos 2x p2 a p4 32 f x 2x 1 a 0 Nos Exercícios 3336 encontre os três primeiros termos diferentes de zero da série de Maclaurin para cada função e os valores de x para os quais a série converge absolutamente 33 f x cos x 21 x 34 f x 1 x x2ex 35 f x sen x ln 1 x 36 f x x sen2 x Teoria e exemplos 37 Utilize a série de Taylor gerada por ex em x a para mostrar que ex ea c1 sx ad sx ad2 2 Á d 38 Continuação do Exercício 37 Encontre a série de Taylor ge rada por ex em x 1 Compare sua resposta com a fórmula no Exercício 37 39 Suponha que f x tenha derivadas até ordem n em x a Mos tre que o polinômio de Taylor de ordem n e suas n primeiras derivadas têm os mesmos valores que f e suas n primeiras de rivadas têm em x a 40 Propriedades de aproximação dos polinômios de Taylor Suponha que f x seja derivável em um intervalo centrado em x a e que gx b0 b1x a bnx an seja um polinômio de grau n com coeficientes constantes b0 bn Seja Ex f x gx Mostre que se impusermos em g as condições i Ea 0 ii lim xSa Esxd sx adn 0 então ƒsndsad n sx adn gsxd ƒsad ƒsadsx ad ƒsad 2 sx ad2 Á Dessa forma o polinômio de Taylor Pnx é o único polinômio de grau menor ou igual a n cujo erro é zero em x a e insigni ficante quando comparado com x an Aproximações quadráticas O polinômio de Taylor de ordem 2 gerado por uma função duas vezes derivável fx em x a é chama do de aproximação quadrática de f em x a Nos Exercícios 4146 encontre a a linearização polinômio de Taylor de ordem 1 e b a aproximação quadrática de f em x 0 41 f x ln cos x 42 f x esen x 43 f x 1 21 x2 44 f x cosh x 45 f x sen x 46 f x tg x O erro de aproximação é zero em x a O erro é insignificante quando comparado a x an 109 Convergência de séries de Taylor Na última seção perguntamos quando podemos esperar que uma série de Taylor para uma função convirja para aquela função geradora Responderemos a essa questão nesta seção com o seguinte teorema TeoreMa 23 Teorema de Taylor Se f e suas primeiras n derivadas f f f n forem contínuas no intervalo fechado entre a e b e f n for derivá vel no intervalo aberto entre a e b então existe um número c entre a e b tal que ƒsndsad n sb adn ƒsn1dscd sn 1d sb adn1 ƒsbd ƒsad ƒsadsb ad ƒsad 2 sb ad2 Á O teorema de Taylor é uma generalização do teorema do valor médio Exercí cio 45 Há uma prova para o teorema de Taylor ao término desta seção Quando aplicamos esse teorema geralmente desejamos manter o valor de a fixo e tratar b como uma variável independente A fórmula de Taylor é mais fácil de ser utilizada em circunstâncias como essa se substituirmos b por x Aqui está uma versão do teorema com essa alteração 01 thomaz0312CAP10indd 57 9412 549 PM Respostas selecionadas 493 31 Diverge an 0 33 Converge absolutamente teste da razão 35 Converge absolutamente pois cos np n2n s1d n1 n32 1 n32 psé rie convergente 37 Converge absolutamente teste da raiz 39 Diverge an S q 41 Converge condicionalmente 2n 1 2n 1s2n 2n 1d S 0 mas a série de valores absolutos diverge comparar com d s12nd 43 Diverge an S 12 Z 0 45 Converge absolutamente sech n 2 en en 2en e2n 1 6 2en e2n 2 en um termo de uma série geométrica convergente 47 Converge condicionalmente g 1 1 2n 1 converge pelo teste da série alternada g 1 2n 1 diverge pela comparação de limite com 1n 49 Erro 02 51 Erro 2 1011 53 n 31 55 n 4 57 054030 59 a an an 1 b 12 Seção 107 1 a 1 1 x 1 b 1 x 1 c Nenhum 3 a 14 12 x 0 b 12 x 0 c Nenhum 5 a 10 8 x 12 b 8 x 12 c Nenhum 7 a 1 1 x 1 b 1 x 1 c Nenhum 9 a 3 3 x 3 b 3 x 3 c Nenhum 11 a q para todo x b Para todo x c Nenhum 13 a 12 12 x 12 b 12 x 12 c 12 15 a 1 1 x 1 b 1 x 1 c x 1 17 a 5 8 x 2 b 8 x 2 c Nenhum 19 a 3 3 x 3 b 3 x 3 c Nenhum 21 a 1 2 x 0 b 2 x 0 c Nenhum 23 a 1 1 x 1 b 1 x 1 c Nenhum 25 a 0 x 0 b x 0 c Nenhum 27 a 2 4 x 0 b 4 x 0 c x 0 29 a 1 1 x 1 b 1 x 1 c Nenhum 31 a 14 1 x 32 b 1 x 32 c Nenhum 33 a q para todo x b Para todo x c Nenhum 35 a 1 1 x 1 b 1 x 1 c 1 37 3 39 8 41 13 x 13 11 3x 43 1 x 3 43 2x x2 45 0 x 16 24 2x 47 22 x 22 32 x2 49 1 x 5 2x 1 1 x 5 2x 12 51 a x8 8 x10 10 Á cos x 1 x2 2 x4 4 x6 6 converge para todo x b Mesma resposta do item c c 2x 23x3 3 25x5 5 27x7 7 29x9 9 211x11 11 Á 53 a b 1 x2 2x4 3 17x6 45 62x8 315 Á p 2 6 x 6 p 2 x2 2 x4 12 x6 45 17x8 2520 31x10 14175 p 2 6 x 6 p 2 Seção 108 1 P3sxd 1 2x 2x2 4 3 x3 P0sxd 1 P1sxd 1 2x P2sxd 1 2x 2x2 3 P3sxd sx 1d 1 2 sx 1d2 1 3 sx 1d3 P0sxd 0 P1sxd x 1 P2sxd sx 1d 1 2 sx 1d2 5 P3sxd 1 2 1 4 sx 2d 1 8 sx 2d2 1 16 sx 2d3 P2sxd 1 2 1 4 sx 2d 1 8 sx 2d2 P0sxd 1 2 P1sxd 1 2 1 4 sx 2d 7 22 12 ax p 4 b 3 P3sxd 22 2 22 2 ax p 4 b 22 4 ax p 4 b 2 P2sxd 22 2 22 2 ax p 4 b 22 4 ax p 4 b 2 P0sxd 22 2 P1 sxd 22 2 22 2 ax p 4 b 9 P3sxd 2 1 4 sx 4d 1 64 sx 4d2 1 512 sx 4d3 P2sxd 2 1 4 sx 4d 1 64 sx 4d2 P0sxd 2 P1sxd 2 1 4 sx 4d 11 a q n0 sxdn n 1 x x2 2 x3 3 x4 4 Á 13 a q n 0 s 1dnxn 1 x x2 x3 Á 1 5 a q n0 s1dn32n1x2n1 s2n 1d 1 7 7 a q n0 s1dnx2n s2nd 1 9 a q n0 x2n s2nd 21 x4 2x3 5x 4 23 8 10x 2 6x 22 x 23 25 21 36x 2 25x 22 8x 23 x 24 2 7 a q n0 s 1dnsn 1dsx 1dn 2 9 a q n0 e2 n sx 2dn 31 5 a q n0 s 1dn1 22n 2n ax p 4 b 2n 33 35 x2 1 2 x3 1 6 x4 Á 1 6 x 6 1 1 2x 5 2 x2 Á 1 6 x 6 1 41 Lx 0 Qx x22 43 Lx 1 Qx 1 x22 45 Lx x Qx x Seção 109 1 a q n0 s 5xdn n 1 5x 52x2 2 53x3 3 Á 3 5x3 3 5x5 5 5x7 7 Á 5x a q n0 5s1dnsxd2n1 s2n 1d a q n0 5s 1d n1x 2n1 s2n 1d 08 thomaz0312RespostasParte 2indd 493 9412 526 PM