Lista de Exercícios Resolvendo Sequências Numéricas e Cálculo de Limites

10 Cálculo É importante perceber que o Teorema 6 não diz que sequências convergentes são monotônicas A sequência 1n1n converge e é limitada mas não é mono tônica uma vez que ela alterna entre valores positivos e negativos à medida que tende a zero O que o teorema afirma é que uma sequência crescente converge quan do é limitada superiormente mas diverge ao infinito caso contrário exercícios 101 encontrando termos de uma sequência Cada um dos Exercícios 16 dá uma fórmula para o nésimo termo an de uma sequência an Encontre os valores de a1 a2 a3 e a4 1 an 1 n n2 2 an 1 n 3 an s1dn1 2n 1 4 an 2 1n 5 an 2n 2n1 6 an 2n 1 2n Cada um dos Exercícios 712 dá um ou dois termos iniciais de uma sequência bem como uma fórmula de recursão para os termos re manescentes Escreva os dez termos iniciais da sequência 7 a1 1 an1 an 12n 8 a1 1 an1 an n 1 9 a1 2 an1 1n1 an2 10 a1 2 an1 nann 1 11 a1 a2 1 an2 an1 an 12 a1 2 a2 1 an2 an1 an encontrando uma fórmula para a sequência Nos Exercícios 1326 encontre uma fórmula para o nésimo termo da sequência 13 A sequência 1 1 1 1 1 14 A sequência 1 1 1 1 1 15 A sequência 1 4 9 16 25 16 A sequência 1 1 4 1 9 1 16 1 25 Á 17 1 9 2 12 22 15 23 18 24 21 Á 18 3 2 1 6 1 12 3 20 5 30 Á 19 A sequência 0 3 8 15 24 20 A sequência 3 2 1 0 1 21 A sequência 1 5 9 13 17 22 A sequência 2 6 10 14 18 23 5 1 8 2 11 6 14 24 17 120 Á 24 1 25 8 125 27 625 64 3125 125 15625 Á 25 A sequência 1 0 1 0 1 26 A sequência 0 1 1 2 2 3 3 4 Convergência e divergência Quais das sequências an nos Exercícios 2790 convergem E quais divergem Encontre o limite de cada sequência convergente 27 an 2 01n 28 an n s 1dn n 29 an 1 2n 1 2n 30 an 2n 1 1 32n 31 an 1 5n4 n4 8n3 32 an n 3 n2 5n 6 33 an n2 2n 1 n 1 34 an 1 n3 70 4n2 35 an 1 1n 36 an s 1dn a1 1 n b 37 an an 1 2n b a1 1 n b 38 an a2 1 2n b a3 1 2n b 39 an s 1dn1 2n 1 40 an a 1 2 b n 41 an A 2n n 1 42 an 1 s09dn 43 an sen ap 2 1 n b 44 an np cos np 45 an sen n n 46 an sen2 n 2n 47 an n 2n 48 an 3n n3 49 an ln sn 1d 2n 50 an ln n ln 2n 51 an 81n 52 an 0031n 53 an a1 7 nb n 54 an a1 1 nb n 55 an 2 n 10n 56 an 2 n n2 57 an a3 n b 1n 58 an n 41n4 59 an ln n n1n 60 an ln n ln n 1 61 an 2 n 4nn Números l com os sinais alternados Números l com os sinais alternados Quadrados dos inteiros positivos com os sinais alternados Potências de 2 divididas por múltiplos de 3 Inteiros diferindo por 2 divididos por produtos de inteiros consecutivos Quadrados dos inteiros positivos menos 1 Inteiros começando com 3 Um inteiro positivo ímpar sim um inteiro positivo ímpar não Um inteiro positivo par sim um inteiro positivo par não Inteiros diferindo por 3 divididos por fatoriais Cubos dos inteiros positivos divididos por potências de 5 Alternando números l e números 0 Cada inteiro positivo repetido Recíprocos dos quadrados dos inteiros positivos com os sinais alternados 01 thomaz0312CAP10indd 10 9412 544 PM Resolva os exercícios 1 2 3 7 8 15 16 17 19 24 25 28 29 30 32 34 35 41 43 45 47 50 51 53 56 59 65 69 Referência THOMAS G B Cálculo 12 ed São Paulo Pearson Addison Wesley 2012 v 2 Resolver os exercícios 1 2 24 30 32 34 50 e 56 Cálculo 4 Yi JL n XR ia 1 an 1nn² Temos a₁ 111² 0 a₁ 0 a₂ 122² 14 a₂ 14 a₃ 133² 29 a₃ 29 a₄ 144² 316 a₄ 316 2 an 1n a₁ 11 1 a₁ 1 a₂ 12 121 a₂ 12 a₃ 13 1321 16 a₃ 16 a₄ 14 14321 124 a₄ 124 24 125 8125 27625 643125 12515625 Note que os numeradores são 1³ 8 2³ 27 3³ 64 4³ 125 5³ E os denominadores são 25 5² 511 625 5⁴ 531 125 5³ 521 3125 5⁵ 541 15625 5⁶ 551 Logo o termo geral pode ser posto por an n³ 5n1 30 Calculemos lim n an Com efeito temos Lim an Lim n 2n11 3n12 Aqui teremos uma indeterminação do tipo Então podemos usar LHopital que nos dá Lim an Lim n 2n11 3n12 Lim n ddn 2n1 ddn 1 3n12 Lim n 2 3 12 n12 Lim n 2 32 1 n12 Lim n 2 32n12 Lim n 2 2n123 43 Lim n n12 Logo Lim n an e a sequência diverge 32 an n 3 n2 5n 6 Calculamos Lim an Com efeito Lim n an Lim n n 3 n2 5n 6 Lim n n1 3n nn 5 6n Lim n 1 3n n 5 6n 1 Lim n 3n Lim n n 5 6n 1 5 1 0 Logo Lim n an 0 e a sequência an converge 34 an 1 n3 70 4n2 Calculamos Lim an Com efeito Lim n an Lim n 1 n3 70 4n2 Lim n n2 1n2 n n2 70n2 4 Lim n 1n2 n Lim n 70n2 4 0 0 4 Logo Lim n an e a sequência an diverge 50 an lnn ln2n Calculamos Lim an Desde já note que se n ln2n e lnn logo teremos que lnn ln2n é uma indeterminação do tipo quando n Logo podemos usar a regra de LHospital Com efeito Lim n an Lim n lnn ln2n Lim n ddn lnn ddn ln2n Lim n 1n 12n 2 Lim n 1n 1n Lim n 1 1 Logo Lim n an 1 Portanto a sequência an converge 56 an 37 n2 Aqui calcularemos Lim an No entanto faremos uma pequena mudança definamos x por x 37 n2 aplicando ln de ambos os lados temos lnx ln37 n2 lnn2n 2n lnn Logo temos lnx 2n lnn x e2n lnn Ou seja an 37 n2 e2n lnn Com isso posta calculamos o desejado isto é Lim n an Lim n e2n lnn eLim n 2n lnn Note que Lim n 2 lnn n é uma indeterminação do tipo Então podemos usar LHospital Com efeito Lim n 2 lnn n Lim n ddn 2 lnn ddn n Lim n 2 1n 1 Lim n 2n 0 Logo temos que Lim n an e0 1 Lim n an 1 Portanto a sequência an é convergente