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Ex Pesquise um contraexemplo para as situação abaixo f A ℝ² ℝ f é de classe C¹ derivadas parciais contínuas Júlia Dê um contraexemplo f é diferenciável em A Bárbara Dê um contraexemplo f é contínua em A Solução Escolha A ℝ² e f ℝ² ℝ dada por fxy x Como f não depende da variável y a continuidade de f depende apenas da variável x Mas do cálculo de uma variável sabemos que a função x é contínua Portanto fxy x é continua Agora suponha que f é diferenciável em ℝ² Dati as derivadas parciais de f existem para todo xy ℝ² Por definição sabemos que fx 00 lim h0 f0h0 f00 h desde que o limite exista Calculando os limites laterais lim h0 f0h0 f00h lim h0 hh lim h0 hh 1 e lim h0 f0h0f00h lim h0 hh lim h0 hh 1 Como os limites são distintos segue que fx 00 não existe Logo f não é diferenciável em ℝ² como queríamos
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Ex Pesquise um contraexemplo para as situação abaixo f A ℝ² ℝ f é de classe C¹ derivadas parciais contínuas Júlia Dê um contraexemplo f é diferenciável em A Bárbara Dê um contraexemplo f é contínua em A Solução Escolha A ℝ² e f ℝ² ℝ dada por fxy x Como f não depende da variável y a continuidade de f depende apenas da variável x Mas do cálculo de uma variável sabemos que a função x é contínua Portanto fxy x é continua Agora suponha que f é diferenciável em ℝ² Dati as derivadas parciais de f existem para todo xy ℝ² Por definição sabemos que fx 00 lim h0 f0h0 f00 h desde que o limite exista Calculando os limites laterais lim h0 f0h0 f00h lim h0 hh lim h0 hh 1 e lim h0 f0h0f00h lim h0 hh lim h0 hh 1 Como os limites são distintos segue que fx 00 não existe Logo f não é diferenciável em ℝ² como queríamos