Laje Maciça: Esforços Atuantes e Reações de Apoio - Cálculo Plástico NBR 6118

CON2 Concreto Armado II Aula 06 Laje maciça Esforços atuantes Profª Ellen Martins Xavier ellenxavieruemgbr Esforços atuantes 01 Esforços atuantes Reações de apoio Para determinação dos esforços nas lajes armadas nas duas direções há dois processos de cálculo o elástico e o plástico O cálculo no regime plástico permite a determinação do momento fletor último a partir da configuração de ruína da laje definida por linhas de ruptura charneiras ou rótulas plásticas de acordo com a provável distribuição das fissuras no momento da ruptura Esforços atuantes Reações de apoio Embora essa transferência aconteça com as lajes em comportamento elástico o procedimento de cálculo proposto pela NBR 61182023 se baseia no comportamento em regime plástico Esforços atuantes Reações de apoio As linhas de ruptura dividem a laje em triângulos e trapézios ou seja painéis rígidos que giram em torno das rótulas plásticas A carga última pode ser obtida por meio do princípio dos trabalhos virtuais ou equações de equilíbrio Esforços atuantes Reações de apoio Processo das áreas Conforme o item 14761 da NBR 61182023 permitese calcular as reações de apoio sob carregamento uniformemente distribuído considerandose para cada apoio carga correspondente aos triângulos ou trapézios obtidos traçandose a partir dos vértices na planta da laje retas inclinadas de 45 entre dois apoios do mesmo tipo 60 a partir do apoio engastado se o outro for simplesmente apoiado 90 a partir do apoio vinculado apoiado ou engastado quando a borda vizinha for livre Esforços atuantes Reações de apoio Processo das áreas Obs note que as reações de apoio Vx ou Vx distribuemse em uma borda de comprimento ly e viceversa p carga total uniformemente distribuída lx ly menor e maior vão respectivamente Vx Vx reações de apoio na direção do vão lx VyVy reações de apoio na direção do vão ly AxAx etc áreas de influência dos apoios indicação das bordas engastadas Esforços atuantes Reações de apoio Para simplificar os cálculos a determinação das reações pode ser feito mediante o uso de tabelas Para tanto basta definir o valor de λ e o tipo de vinculação da laje As tabelas fornecem valores adimensionais v com os quais se calculam as reações por Note que o fator multiplicador f plx10 é o mesmo para todos os casos só bastando multiplicálo pelo parâmetro dado na tabela para se encontrar o valor da reação Tabela 22a REAÇÕES DE APOIO EM LAJES COM CARGA UNIFORME Elaborada por LM Pinheiro conforme o processo das áreas da NBR 6118 vv plx10 p carga uniforme lx menor vão Alívios considerados pela metade prevendo a possibilidade de engastes parciais Esforços atuantes Reações de apoio Para as lajes armadas em uma direção as reações de apoio são calculadas a partir dos coeficientes adimensionais correspondentes à condição 2 Esforços atuantes Reações de apoio Lajes em balanço A laje fica engastada em apenas um lado considerase como uma viga em balanço Esforços atuantes Momentos fletores Lajes armadas em uma direção Apoiadas nos quatro lados O cálculo é análogo ao de uma viga de base igual a 1 m e altura correspondente à espessura da laje Os seguintes casos podem ser encontrados Esforços atuantes Momentos fletores Lajes armadas em uma direção Apoiadas nos quatro lados Os momentos fletores para lajes armadas em uma direção pode ser determinado também pelo método tabelar que será apresentado a seguir considerando 20 Esforços atuantes Momentos fletores Lajes armadas em uma direção Em balanço A laje fica engastada em apenas um lado considerase como uma viga em balanço Esforços atuantes Momentos fletores Lajes armadas em duas direções Cálculo elástico O cálculo dos esforços solicitantes pode ser feito pela teoria clássica de placas delgadas Teoria de Kirchhoff supondo material homogêneo isótropo elástico e linear A partir das equações de equilíbrio das leis constitutivas do material Lei de Hooke e das relações entre deslocamentos e deformações fazendo se as operações matemáticas necessárias obtémse a equação fundamental que rege o problema de placas equação de Lagrange Esforços atuantes Momentos fletores Lajes armadas em duas direções Cálculo elástico Esforços atuantes Momentos fletores Lajes armadas em duas direções Cálculo elástico Na maioria dos casos não é possível determinar de forma exata uma solução para a equação diferencial que ainda satisfaça às condições de contorno Em geral recorrese a processos numéricos para a resolução dessa equação utilizando por exemplo diferenças finitas elementos finitos elementos de contorno ou analogia de grelha Esforços atuantes Momentos fletores Lajes armadas em duas direções Cálculo por meio de tabelas Bares 1972 por meio de equações diferenciais finitas confeccionou tabelas práticas através da equação de Lagrange para os casos comuns e correntes de condições de apoio e relações de Pinheiro 1993 atualizou a tabelas de Bares 1972 considerando um coeficiente de Poisson igual a 015 Esforços atuantes Momentos fletores Lajes armadas em duas direções λ 20 Cálculo por meio de tabelas O emprego dessas tabelas é semelhante ao apresentado para as reações de apoio Os coeficientes tabelados μ são adimensionais sendo os momentos fletores por unidade de largura dados pelas expressões mx μx p l²x100 mx μx p l²x100 my μy p l²x100 my μy p l²x100 Note que o fator multiplicador f p l²x100 é o mesmo para todos os casos só bastando multiplicálo pelo parâmetro dado na tabela para se encontrar o valor do momento Esforços atuantes Momentos fletores Lajes armadas em duas direções λ 20 Cálculo por meio de tabelas mx my momentos positivos máximos nos vãos armaduras positivas na base da laje mx my momentos negativos nos engastes armaduras negativas no topo da laje Esforços atuantes Compatibilização de momentos fletores Em um pavimento em geral os valores de momento negativo para lajes adjacentes no apoio comum são diferentes sendo necessário promover a sua compatibilização Na compatibilização dos momentos negativos o critério usual consiste em adotar o maior valor entre a média dos dois momentos e 80 do maior Devese considerar o maior valor entre 08 mmaior mFinal mmed m12 m21 2 Esforços atuantes Compatibilização de momentos fletores Em decorrência da compatibilização dos momentos negativos os momentos positivos na mesma direção devem ser analisados Se essa correção tende a diminuir o valor do momento positivo como ocorre nas lajes L1 e L4 da Figura ignorase a redução a favor da segurança Caso contrário se houver acréscimo no valor do momento positivo a correção deverá ser feita somandose ao valor deste momento fletor a média das variações ocorridas nos momentos fletores negativos sobre os respectivos apoios como no caso da laje L2 da Figura Esforços atuantes Compatibilização de momentos fletores Pode acontecer da compatibilização acarretar diminuição do momento positivo de um lado e acréscimo do outro Neste caso ignorase a diminuição e considerase somente o acréscimo como no caso da laje L3 da Figura Se um dos momentos negativos for muito menor do que o outro por exemplo m12 05m21 um critério melhor consiste em considerar L1 engastada e armar o apoio para o momento m12 admitindo no cálculo da L2 que ela esteja simplesmente apoiada nessa borda Esforços atuantes Exemplo 5 Considerando as classificações realizadas para as lajes abaixo determinadas no Exemplo 1 faça a determinação dos esforços atuantes considerando um sistema de piso de um edifício de múltiplos pavimentos com uso residencial Esforços atuantes Exemplo 6 Determinar os esforços atuantes momentos fletores e reações de apoio de cálculo no estado limite último ELU de perda da capacidade resistente para a Laje 3 Todos os dados necessários devem ser criteriosamente estipulados e destacados Pavimento Tipo 1 Pavimento de um piso de 3º andar edifício comercial galeria de lojas Adotar um parapeito nas bordas livres das lajes Linhas tracejadas além de seu peso próprio deve ser considerada uma força horizontal e vertical por unidade de comprimento atuando na altura do corrimão de acordo com a NBR 61202019 As Lajes em balanço devem ser consideradas como corredores com acesso ao público Ao definir a espessura da laje h adote uma mesma espessura para todas as lajes do Pavimento Tipo 1 respeitando as espessuras mínimas definidas na NBR 61182023 Todas as dimensões são dadas em centímetros Exemplo 6 As seguintes considerações devem ser feitas por você antes de iniciar o dimensionamento Espessura das Lajes h estimar as alturas da laje e adotar uma única espessura para todas as lajes NBR 61182023 CAA de acordo do local de implementação da obra Tipo de revestimentos Laje 3º andar de piso e teto Obra em zona urbana Inicialmente irei adotar 𝜙 63 𝑚𝑚 Considerações sobre o carregamento Laje revestida na parte inferior com argamassa 15 cm de espessura e na parte superior 2 cm de argamassa de assentamento de piso porcelanato extra fino 06 cm de espessura Parapeito com altura de 110 m construído com bloco de concreto celular autoclavado espessura 20 cm com revestimento de 1 cm de espessura por face Esforços atuantes Exemplo 6 Determinar os esforços atuantes momentos fletores e reações de apoio de cálculo no estado limite último ELU de perda da capacidade resistente para a Laje 3 Passo a passo a Condições de contorno e classificação das lajes b Estimar a altura das lajes h c Calcular o vão efetivo lx e ly d Calcular o carregamento sobre as lajes e Determinar os momentos e reações de cálculo Todas as dimensões são dadas em centímetros a Condições de contorno e classificação das lajes Exemplo 6 Observando a tabela podese notar três tipos de vinculações que são engastes apoio e borda livre Porém na prática outros tipos de vinculações podem ocorrer devendo assim utilizar critérios específicos para cada caso para definir sua vinculação e assim determinar os seus esforços atuantes e reações de apoio a Condições de contorno e classificação das lajes Ao analisar incialmente poderíamos vincular as lajes da seguinte forma Exemplo 6 Porém não podemos engastar uma laje apoiada em uma laje em balanço mas necessariamente a laje em balanço deve estar engastada nas demais lajes a Condições de contorno e classificação das lajes Ao analisar incialmente poderíamos vincular as lajes da seguinte forma Exemplo 6 a Condições de contorno e classificação das lajes Devemos ainda verificar 2 casos 1º Caso Diferença significativa entre os momentos negativos de duas lajes adjacentes 2º Caso Borda com parte engastada e parte apoiada Exemplo 6 Exemplo 6 a Condições de contorno e classificação das lajes 1º Caso Diferença significativa entre os momentos negativos de duas lajes adjacentes Como não sabemos os valores dos momentos ainda iremos calcular podemos fazer inicialmente essa verificação pela relação entre as áreas de duas lajes vinculadas Exemplo 6 Determinação dos vãos teóricos da laje Para determinação dos vãos da laje a ABNT NBR 61182023 prescreve Ainda não calculamos o valor da espessura da laje h portanto vamos calcular o vão efetivo inicialmente considerando apenas a base da viga t1 e t2 Exemplo 6 a Condições de contorno e classificação das lajes 1º Caso Diferença significativa entre os momentos negativos de duas lajes adjacentes Relação entre as áreas L1 para L2 262221311 23 A2 A12 Amenor Amaior2 lx38m ly69m A1 2622 m² A2 23 m² A3 115 m² Exemplo 6 a Condições de contorno e classificação das lajes 1º Caso Diferença significativa entre os momentos negativos de duas lajes adjacentes Relação entre as áreas L1 para L3 262221311 115 A3 A12 Amenor Amaior2 lx38m ly69m A1 2622 m² A2 23 m² A3 115 m² Exemplo 6 a Condições de contorno e classificação das lajes 1º Caso Diferença significativa entre os momentos negativos de duas lajes adjacentes Relação entre as áreas L2 para L3 232115 115 A3 A22 Amenor Amaior2 lx38m ly69m A1 2622 m² A2 23 m² A3 115 m² a Condições de contorno e classificação das lajes 2º Caso Borda com parte engastada e parte apoiada Exemplo 6 Exemplo 6 a Condições de contorno e classificação das lajes 2 Caso Borda com parte engastada e parte apoiada L1 ly 69 m ly1 46 m ly1 2 ly 3 2 69 3 46 m lx 38 m ly 69 m ly1 46 m a Condições de contorno e classificação das lajes Configuração final Exemplo 6 2B 2A 3 Exemplo 6 b Altura estimada das lajes h Para o cálculo das lajes é necessário estimar inicialmente sua altura Podese utilizar a seguinte equação para estimar a altura útil d onde n é o número de bordas engastas L1 n 1 l lx 07 ly 38 0769 l 38 m 380 cm Logo d 2 5 01 nl 100 2 5 0 11 380 100 d 91 cm lx 38 m ly 69 m Exemplo 6 b Altura estimada das lajes h L1 n 1 l 3 8 0 7 6 9 l 3 8 m 380 cm d 2 5 0 1 1 380 100 d 9 1 cm L2 n 1 l 4 6 0 7 5 0 l 3 5 m 350 cm d 2 5 0 1 1 350 100 d 8 4 cm L3 n 2 l 2 3 0 7 5 0 l 2 3 m 230 cm d 2 5 0 1 2 230 100 d 5 3 cm dmed 9 1 8 4 5 3 3 dmed 7 6 cm A altura então poderá ser calculada h d ϕ 2 c Inicialmente irei adotar Φ 6 3 mm Obra em zona urbana Exemplo 6 Tabela 61 Classes de agressividade ambiental CAA Classe de agressividade ambiental Agressividade Classificação geral do tipo de ambiente para efeito de projeto Risco de deterioração da estrutura I Fraca Rural Submerso Insignificante II Moderada Urbano a b Pequeno III Forte Marinho a Industrial a b Grande IV Muito forte Industrial a c Elevado Respingos de maré a Podese admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda uma classe acima para ambientes internos salas dormitórios banheiros cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura b Podese admitir uma classe de agressividade mais branda uma classe acima em obras em regiões de clima seco com umidade média relativa do ar menor ou igual a 65 partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos ou regiões onde raramente chove c Ambientes quimicamente agressivos tanques industriais galvanoplastia branqueamento em indústrias de celulose e papel armazéns de fertilizantes indústrias químicas elementos em contato com solo contaminado ou água subterrânea contaminada 643 O responsável pelo projeto estrutural de posse de dados relativos ao ambiente em que será construída a estrutura pode considerar classificação mais agressiva que a estabelecida na Tabela 61 Exemplo 6 Tabela 72 Correspondência entre a classe de agressividade ambiental e o cobrimento nominal para Δc 10 mm Tipo de estrutura Componente ou elemento Classe de agressividade ambiental Tabela 61 I II III IV c Cobrirmento nominal mm Concreto armado Laje b 20 25 35 45 Viga bpilar 25 30 40 50 Elementos estruturais em contato com o solo d 30 40 50 Concreto protendido a Laje 25 30 40 50 Vigapilar 30 35 45 55 a Cobrimento nominal da bainha ou dos fios cabos e cordoalhas O cobrimento da armadura passiva deve respeitar os cobrimentos para concreto armado b Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira com argamassa de revestimento e acabamento como pisos de elevado desempenho pisos cerâmicos pisos asfálticos e outros as exigências desta Tabela podem ser substituídas pelas de 7475 respeitado um cobrimento nominal 15 mm c Nas superfícies expostas a ambientes agressivos como reservatórios estações de tratamento de água e esgoto condutos de esgoto canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos devem ser atendidos os cobrimentos da classe de agressividade IV d No trecho dos pilares em contato com o solo junto aos elementos de fundação a armadura deve ter cobrimento nominal 45 mm c 25 cm Para concretos de classe de resistência superior à mínima exigida os cobrimentos definidos na Tabela 72 podem ser reduzidos em até 5 mm Exemplo 6 b Altura estimada das lajes h L1 n 1 l 38 0769 l 38 m 380 cm d 25 011380cm100 d 91 cm L2 n 1 l 46 0750 l 35 m 350 cm d 25 011350 cm100 d 84 cm L3 n 2 l 23 0750 l 23 m 230 cm d 25 012230 cm100 d 53 cm dméd 91 84 533 dméd 76 cm h d φ2 c Inicialmente irei adotar Φ 63mm Obra em zona urbana CAA II c 25 cm h d φ2 c h 76 cm 063cm2 25 h 104 cm A laje L4 está em balanço então não posso fazer esses cálculos Para ela nós devemos adotar a altura mínima determinada por norma Prédimensionamento Espessuras mínimas A NBR 61182023 ainda prescreve que devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a espessura de lajes maciças 7 cm para cobertura não em balanço 8 cm para lajes de piso não em balanço 10 cm para lajes em balanço 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN No enunciado diz Ao definir a espessura da laje h adote uma mesma espessura para todas as lajes do Pavimento Tipo 1 respeitando as espessuras mínimas definidas na NBR 61182023 Exemplo 6 b Altura estimada das lajes h L1 n 1 l 38 0769 l 38 m d 25 01 1 38 d 91 cm L2 n 1 l 46 0750 l 35 m d 25 01 1 35 d 84 cm L3 n 2 l 23 0750 l 23 m d 25 01 2 23 d 53 cm dmed 91 84 53 3 dmed 76 cm Inicialmente irei adotar φ 63 mm Obra em zona urbana CAA II c 25 cm h d φ2 c h 76 cm 063 cm2 25 h 104 cm hmin 10 cm h hmin Adotaremos inicialmente em todas as lajes a espessura igual a h 10 cm Agora sim com a altura estimada podemos partir para o cálculo dos vãos efetivos das lajes de forma adequada Exemplo 6 c Vão efetivo L1 lx 360 3 3 366 cm ly 670 3 3 676 cm λ ly lx 676 366 185 λ 2 laje armada em 2 direções L2 lx 446 cm ly 486 cm λ 486 446 109 λ 2 laje armada em 2 direções L3 lx 216 cm ly 486 cm λ 486 216 225 λ 2 laje armada em 1 direção lx L4 lx 103 cm ly 470 cm λ 470 103 456 λ 2 laje armada em 1 direção lx Vãos teóricos lx menor vão ly maior vão Se λ 2 laje armada em 1 direção lx Se λ 2 laje armada nas 2 direção lx e ly a1 a2 min 05 20 03 10 min 10 3 a1 a2 3 cm d Carregamento sobre a laje Exemplo 6 Considerações sobre o carregamento Laje revestida na parte inferior com argamassa 15 cm de espessura e na parte superior 2 cm de argamassa de assentamento de piso porcelanato extra fino 06 cm de espessura Carga distribuída devido ao peso próprio laje revestimento piso 𝒒𝒈𝒌 Exemplo 6 d Carregamento sobre a laje Carga distribuída devido ao peso próprio laje revestimento piso qgk qgk γCA hlaje γrt ert γpiso episo qgk 25 kNm3 01 m 21 kNm3 002 0015 23 kNm3 0006 m qgk 337 kNm2 Exemplo 6 d Carregamento sobre a laje Carga distribuída devido ao peso próprio laje revestimento piso qgk qgk γCA hlaje γrt ert γpiso episo qgk 25 kNm3 01 m 21 kNm3 002 0015 23 kNm3 0006 m qgk 337 kNm2 Carga distribuída devido ao uso e ocupação qqk Lajes L1 L2 e L3 Edifício comercial Galeria de lojas NBR 61202019 Pavimento Tipo 1 Pavimento de um piso de 3º andar edifício comercial galeria de lojas Adotar um parapeito nas bordas livres das lajes Linhas tracejadas além de seu peso próprio deve ser considerada uma força horizontal e vertical por unidade de comprimento atuando na altura do corrimão de acordo com a NBR 61202019 As Lajes em balanço devem ser consideradas como corredores com acesso ao público Ao definir a espessura da laje h adote uma mesma espessura para todas as lajes do Pavimento Tipo 1 respeitando as espessuras mínimas definidas na NBR 61182023 Ações atuantes 2 Ações variáveis Valores característicos nominais das cargas variáveis NBR 61202019 Exemplo 6 d Carregamento sobre a laje Carga distribuída devido ao peso próprio laje revestimento piso qgk qgk γCA hlaje γrt ert γpiso episo qgk 25 kNm3 01 m 21 kNm3 002 0015 23 kNm3 0006 m qgk 337 kNm2 Carga distribuída devido ao uso e ocupação qqk Lajes L1 L2 e L3 Edifício comercial Galeria de lojas NBR 61202019 qqk 25 kNm2 Laje L4 Corredor de acesso ao público NBR 61202019 Pavimento Tipo 1 Pavimento de um piso de 3º andar edifício comercial galeria de lojas Adotar um parapeito nas bordas livres das lajes Linhas tracejadas além de seu peso próprio deve ser considerada uma força horizontal e vertical por unidade de comprimento atuando na altura do corrimão de acordo com a NBR 61202019 As Lajes em balanço devem ser consideradas como corredores com acesso ao público Ao definir a espessura da laje h adote uma mesma espessura para todas as lajes do Pavimento Tipo 1 respeitando as espessuras mínimas definidas na NBR 61182023 Ações atuantes 2 Ações variáveis Valores característicos nominais das cargas variáveis NBR 61202019 Exemplo 6 d Carregamento sobre a laje Carga distribuída devido ao peso próprio laje revestimento piso qgk qgk γCA hlaje γrt ert γpiso episo qgk 25 kNm3 01m 21 kNm3 002 0015 23 kNm3 0006m qgk 337 kNm2 Carga distribuída devido ao uso e ocupação qqk Lajes L1 L2 e L3 Edifício comercial Galeria de lojas NBR 61202019 qqk 25 kNm2 Laje L4 Corredor de acesso ao público NBR 61202019 qqk 30 kNm2 Carregamento de cálculo para combinação última normal qd Lajes L1 L2 e L3 qd 14 qgk 14 qqk 14 337 14 25 qd 822 kNm2 Exemplo 6 d Carregamento sobre a laje Para o dimensionamento de lajes em balanço os esforços solicitantes de cálculo devem ser multiplicados por um coeficiente adicional γn de acordo com o indicado na Tabela 132 da NBR 61182023 Tabela 132 Valores do coeficiente adicional γn para lajes em balanço h cm 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 γn 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 onde γn 195 005 h h é a altura da laje expressa em centímetros cm NOTA O coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nas lajes em balanço quando de seu dimensionamento Carregamento de cálculo para combinação última normal qd Laje L4 qd γn 14 qgk 14 qqk qd 145 14 qgk 14 qqk qd 145 14 337 14 30 qd 1293 kNm2 Exemplo 2 d Carregamento sobre a laje Carga linear devido ao parapeito na borda em balanço palv 11 m parapeito guardacorpo Cargas nas Lajes Maciças Carga permanente Cargas de paredes sobre lajes Peso de paredes em lajes armadas em uma direção Há duas situações quanto à distribuição do peso das paredes visto que essas lajes são admitidas como faixas sucessivas de 1 m de largura como vigas segundo o menor vão elas são Parede paralela à menor direção Parede paralela à maior direção Cargas nas Lajes Maciças Carga permanente Cargas de paredes sobre lajes Peso de paredes em lajes armadas em uma direção Parede paralela à maior direção A parede é considerada como uma carga concentrada na laje Exemplo 6 d Carregamento sobre a laje Carga linear devido ao parapeito na borda em balanço 𝑝𝑎𝑙𝑣 Considerações sobre o carregamento Parapeito com altura de 110 m construído com bloco de concreto celular autoclavado espessura 20 cm com revestimento de 1 cm de espessura por face Exemplo 6 d Carregamento sobre a laje Carga variável sobre o parapeito na borda em balanço ao longo dos parapeitos e balcões devem ser consideradas aplicadas uma carga horizontal de 10 kNm na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 kNm Exemplo 6 d Carregamento sobre a laje Carregamento de cálculo da laje L4 em balanço para combinação última normal Exemplo 6 No enunciado pedese para dimensionar e detalhar as armaduras longitudinais no estado limite último ELU de perda da capacidade resistente para a Laje 3 e Momentos e reações de cálculo L3 λ 225 tipo 3 lx 216 cm 216m p 822 kNm² V v p lx 10 f p lx 10 822 x 216 10 1776 kNm Reações L3 vx 438 Vx 438 x 1776 778 kNm vx 625 Vx 625 x 1776 111 kNm vy 217 Vy 217 x 1776 385 kNm vy 317 Vy 317 x 1776 563 kNm Exemplo 6 e Momentos e reações de cálculo L3 λ 225 tipo 3 lx 216 cm 216m p 822 kNm² m μ p lx² 100 f p lx² 100 822 x 216² 100 0384 kNmm Momentos L3 μx 703 mx 703 x 0384 270 kNmm μx 1250 mx 1250 x 0384 480 kNmm μy 160 my 160 x 0384 061 kNmm μy 820 my 820 x 0384 315 kNmm e Momentos e reações de cálculo Exemplo 6 Diagrama de reações nas vigas laje L3 L1 V3a V1a L2 V4 V5 V6 V1b V3b 778 Reações nas vigas kNm 111 L3 563 385 V2 L4 3 𝑥 𝑦 778 111 385 563 270 061 315 480 e Momentos e reações de cálculo Exemplo 6 Diagrama de momento fletor laje L3 Momentos fletores kNmm L1 V3a V1a L2 V4 V5 V6 V1b V3b L3 V2 L4 0 270 315 480 Os momentos negativos devem ser compatibilizados para isso devese conhecer os momentos negativos das lajes adjacentes a laje L3 3 𝑥 𝑦 778 111 385 563 270 061 315 480 0 Valor muito pequeno laje é armada em uma direção considerar esse momento igual a zero Esforços atuantes Compatibilização de momentos fletores Em um pavimento em geral os valores de momento negativo para lajes adjacentes no apoio comum são diferentes sendo necessário promover a sua compatibilização Na compatibilização dos momentos negativos o critério usual consiste em adotar o maior valor entre a média dos dois momentos e 80 do maior Devese considerar o maior valor entre 08 mmaior mFinal mmed m12 m21 2 Esforços atuantes Compatibilização de momentos fletores Em decorrência da compatibilização dos momentos negativos os momentos positivos na mesma direção devem ser analisados Se essa correção tende a diminuir o valor do momento positivo como ocorre nas lajes L1 e L4 da Figura ignorase a redução a favor da segurança Caso contrário se houver acréscimo no valor do momento positivo a correção deverá ser feita somandose ao valor deste momento fletor a média das variações ocorridas nos momentos fletores negativos sobre os respectivos apoios como no caso da laje L2 da Figura Esforços atuantes Compatibilização de momentos fletores Pode acontecer da compatibilização acarretar diminuição do momento positivo de um lado e acréscimo do outro Neste caso ignorase a diminuição e considerase somente o acréscimo como no caso da laje L3 da Figura Se um dos momentos negativos for muito menor do que o outro por exemplo m₁₂ 05m₂₁ um critério melhor consiste em considerar L1 engastada e armar o apoio para o momento m₁₂ admitindo no cálculo da L2 que ela esteja simplesmente apoiada nessa borda Exemplo 6 e Momentos e reações de cálculo L1 λ 185 tipo 2B lx 366 cm 366m p 822 kNm² m μ p lx² 100 f p lx² 100 822 366² 100 1101 kNmm Momento negativo na laje L1 na direção x Exemplo 6 e Momentos e reações de cálculo L1 λ 185 tipo 2B lx 366 cm 366m p 822 kNm² m μ p lx² 100 f p lx² 100 822 366² 100 1101 kNmm Momento negativo na laje L1 na direção x μx 1194 mx 1194 1101 1315 kNmm Exemplo 6 e Momentos e reações de cálculo L1 λ 185 tipo 2B lx 366 cm 366m p 822 kNm² m μ p lx² 100 f p lx² 100 822 366² 100 1101 kNmm Momento negativo na laje L1 na direção x μx 1194 mx 1194 1101 1315 kNmm Porém a real configuração da laje L1 é a seguinte Portanto não podemos considerar que a laje L1 está engastada na região de contato com L3 e por isso L1 não transmite momento para L3 Exemplo 6 e Momentos e reações de cálculo L2 Momento negativo na laje L2 na direção x mx0 Exemplo 6 e Momentos e reações de cálculo L4 λ456 lx103 cm103 m Analisar como uma viga engastada e livre Momento negativo na laje L4 no engaste mx223 kNm763 kN103 m1293 kNm103 m2 2 mx1695 kNmm Exemplo 6 e Momentos e reações de cálculo Compatibilização dos momentos negativos Entre L1 L3 m10 m3315 Entre L2 L3 m20 m3480 Entre L4 L3 m41695 m30 Como um dos momentos é nulo não se faz a compatibilização apenas adotase o maior valor entre os momentos negativos para dimensionar a armadura negativa