Sequências Numéricas Cálculo IV - Definições, Limites e Proposições

Cálculo IV Sequências Numéricas Sequências Podemos pensar como uma lista de números reais a1 a2 a3 an a1 Primeiro termo an nésimo termo ou termo geral Formalmente uma sequência ou sucessão é uma função a N R n an Notação an an Exemplo 2n n N 21 22 23 2n Notação Geralmente as sequências se representam an ou an N N ou an n 1 onde an termo geral Exemplo 2 1n n N an 1n 11 12 13 14 1h Exemplo 3 1n n N an 1n 11 12 13 1n 1 1 1 1n Exemplo 4 nn1 n N an nn1 a1 11 a2 22 1 a3 331 an nn1 a1 12 a2 23 a3 34 an nn1 Exemplo 5 n3 n3 an n3 a3 33 a4 43 a5 53 an n3 a3 0 a4 1 a5 2 an n3 Exemplo 6 a1 1 a2 1 an an1 an2 3 a1 1 a2 1 a3 a2 a1 112 Fibonacci a4 a3 a2 213 a5 a4 a3 325 a6 a5 a4 538 Exemplo 6 c n N c R an c a1 c a2 c a3 c an c sequência constante Obs As vezes por abuso de notação escrevemos an no lugar de an n N para representar a sequência an n N Exemplo 1n n N 11 12 13 14 15 Definição Seja an n N l R definimos lim n an l Para toda ε0 existe um N N tais que se n N L ε an L ε N N Tq se n N Lembrete propriedade arquimediana Para cada ε 0 existe N N tais que 1n ε Proposição lim n 1n 0 Prova Seja ε0 pela propriedade arquimediana existe N N tais que 1n ε 1 n N 1n 1N ε ε 1N ε 0 ε 1n 0 ε Proposição 2 lim n 1n2 0 Prova Seja ε 0 pela propriedade arquimediana existe N N t q 1N ε n N 1n 1n 1n2 1n 1n ε 1 De ε 0 ε 0 ε 0 1n2 2 Do 1 e 2 ε 1n2 ε 0 ε 1n2 0 ε lim n 1n2 0 Proposição 3 lim n c Prova Seja ε0 tome N N se n N logo c ε c c ε an lim n c c Se lim n an l se l R ou l Em esse caso dizemos que an n N é divergente Caso contrário convergente Exemplo lim n n divergente an n a1 1 a2 2 a3 3 Exemplo lim 1n 1 2 R não existe limite an 1n a1 1 a2 1 a3 1 Proposição 4 lim n an bn lim n an lim n bn lim n an bn lim n an lim n bn lim n an bn lim n an lim n bn bn 0 n N lim n α an α lim n an α R Exercício lim n n n1 lim n n n1 lim n 1 n 1n lim n 1 1 1n lim n 1 lim n 1 1n lim n 1 lim n 1n 1 1 0 1 1 1 Lembrete Máximo de um conjunto de números reais Seja S R conjunto M é máximo de S M x x S m é mínimo de S m x x S Exemplo S 12 13 15 16 110 M 12 m 110 Teorema de Sanduíche confronto Sejam an bn e cn sequências de números reais tais que an bn cn n N Se lim n an lim n cn l Então lim n bn l Prova lim n an l ε 0 N1 N tq n N1 l ε an l ε lim n cn l ε 0 N2 N tq n N2 l ε cn l ε Queremos provar lim n bn l Seja ε 0 N1 N tq n N1 l ε an N2 N tq n N2 cn l ε Tome N max N1 N2 N N1 N N2 Se n N N l ε an n N N2 cn l ε l ε an bn cn l ε Hipótese Resumo ε 0 N N tq n N l ε bn l ε lim n bn l Exercício 1 determine lim n cos n n se existir Solução 1n cos n n 1n lim n cos n n 0 Exercício Determine lim n n nn Solução n nn n n1 n2 2 1 n n n n n n vezes n n1 n n 2 n 2 n 1 n 0 n n1 n n2 n 2 n 1 n 1 1 1 1 1 0 n nn lim n n nn 0 Exercício lim n 4n 2n 1 4n 1n 2n 1 1n 4 2 1n 4 2 1n lim n 4n 2n 1 lim n 4 2 1n lim n 4 lim n 2 1n 4 2 0 2 Sequências Limites Def Uma sequência an se N é limitada se existe M m R tais que m an M n N Teorema se an n N é convergente então é limitada Prova Seja ann N uma sequência convergente existe l R tq lim an l lim an l ε 0 N N tq n N l ε an l ε Tome M max a₁ a₂ a₃ aN l ε m min a₁ a₂ a₃ an l ε m an M n N an é limitada Exemplo 1ⁿn N 1 1 1 1 1 Note que 1ⁿn N é limitada mas não convergente Exercícios 1 lim n n³ 3n 1 4n³ 2 2 lim n 2n² 1 3n² n 3 lim n 3 2n² n² 1 4 lim n 3n² 1 2n² n This image is blank no text available 03102021 P₁ 7 11 P₂ 19 12 P₃ 20 02 Cota superior e inferior de uma sequência Def Um número real C₁ é chamado cota superior de uma sequência an se an C₁ n N Exemplo 1 2 3 32 são cotas superiores de 1 n 0 13 12 1 32 2 3 a₃ a₂ a₁ Def Um número real c é chamado cota inferior da sequência an se c an n N Exemplo 0 12 1 2 são cotas inferiores da sequência 1n 2 1 12 0 13 12 a₃ a₂ a₁ Def O supremo de uma sequência é o menor de todas as cotas superiores e é denotado por Superior Lans Exemplo O supremo de 1n é 1 Def O inferior de uma sequência an é o maior de todas as cotas inferiores denotado por Inf Lans Exemplo Inf 1n 0 Sequências Monótonas Propriedades do Inf e Sup Decrescente Sup Xn a4 a3 a2 a1 S Inf Xn a1 a2 a3 a4 Crescente ε 0 N N tq ε an ε 0 N N tq an ε Def Uma sequência an é i Crescente an an1 nN ii Decrescente an1 an n N Dizemos que uma sequência é monótona se é crescente ou decrescente Exemplo Verifique se 3n 1 4n 5 é crescente ou decrescente Solução Anan1 1 An An1 Anan1 1 An An1 Teorema Toda sequência monótona e limitada é convergente 1n é limitada e monótona converge lim 1n 0 Inf 1n Prova Seja an monótona e limitada Podemos supor que an é crescente Como an é limitada m M R tq m an M Seja Supan Tome ε 0 N N tq ε an Se n N an an pois an é crescente Logo ε an an ε ε an ε lim an n 2 Verifique se 2n 1 4n 1 é crescente ou decrescente Anan1 1 ou 1 3 n 1 2n 1 Subsequências Uma subsequência é a restrição de uma sequência a um subconjunto crescente de números naturais An NN R N n1 n2 n3 N Exemplo A1 21 A2 22 A3 23 A4 24 An 2n sequência A1 A3 A5 A2k1 22k1 subsequência Exemplo 1n Diverge A1 1 A2 12 1 A3 13 1 A4 1 A5 1 Convergente A2 1 A4 1 A6 1 A8 1 A10 1 Teorema BolzanoWeierstrass Toda sequência limitada tem uma subsequência convergente m An M Sequência de Cauchy Def Uma sequência An é de cauchy se todo ε0 existe no N tais que m n no temos ε An Am ε n m no Exemplo A sequência 1n é de cauchy Teorema Uma sequência é convergente se e somente se é de cauchy Exercícios 1 Determine uma subsequência de 1n 2 Determine uma subsequência de n2n1 3 Determine uma subsequência de 2n3n6 To the honorable the mayor and aldermen of the city of Philadelphia you are respectfully informed that at a meeting of the colored inhabitants of Philadelphia held at Pennsylvania Hall on Monday evening the 17th inst the following resolutions were unanimously adopted Resolved that we feel ourselves under great obligations to you for the liberal aid which you have manifested in the cause of our sufferings brethren in the south Resolved that we feel ourselves under greater obligations to you for your zealous and intelligent exertions in their behalf in the legislature of this state Resolved that we would express our gratitude and respect to those gentlemen who boldly and nobly appear in the cause of African Americans and manifest a spirit worthy of the enlightened jnation which they live by their uplifting efforts in assemblies and public places Resolved that we deem it a duty we owe to ourselves to manifest our gratitude for the expulsion of the students from the manual labor college at Harrisburg The manual labor College was established by the efforts of colored men and in support of the same we would rely with confidence and hope for the character and happiness of our race We deem it a duty to declare our thanks that you have always kept an eye of vigilance on the rights and interests of the colored population of Philadelphia and recommend you to the ever watchful and beneficial protection of Providence Hon Charles Gilpin S H Turner Wm Chaplin junr William Casey James A Smith James Miller William Steward James F Jamison J M Perry Ed Hopkins Robert Jamison Allen Burrell David W Turner William Garretson Jno C Smith John F Cook Esq G W Chisholm Thomas Stowell William P Farratt Simon Coveney Wm Scott Jno Reynolds John Mitchell John Crain Frederick Bowman Jno Jones R L Crump Richard Young Peter Houghtaling Daniel Woods William Lissens Wm Price R J Grant William Green Robert Everett Thomas Davis Cornelius Smith G F Johnson Thomas Owens Joseph Huckam William Hundsett Junr John S Smith William Marshall Saml Miller John Bowers George Price Alexander Peo J G Bruce Fred M Brown Wesley Jones James Watson Edward Stewart Simon Mitchell Emory Miller Jr J G Carter John H Williams Samuel Nunnelly J H Warwick Stewart Campbell George Washington Wesley Jenings J S Johnson James Parker James F Dantzler Oscar Duffy John Russell Samuel Douglass Henry Perkins James Parker Junr Tucker Ford John Wright Cyrus Lilburn