Calculo Vetorial - Teorema da Divergencia Stokes e Integrais Triplas

1 Encontre o fluxo de F que atravessa S S Fnds onde n é a normal apontando para cima Fxyz 3zi 4j yk e S é xyz1 1 octante 2 Seja Q o sólido entre o paraboloide z4x²y² e o plano xy verifique o teorema da divergência para Fxyz 2zj xj yk 3 Use o teorema de stokes para calcular c Fdr onde Fxyz 2yi 3zk xk e c é o triângulo de vértice 000 111 e 002 4 Resolva a x dzdy dx b 5 Encontre o volume do sólido limitado inferiormente pela parte superior do cone z x²y² e superiormente pela esfera x² y² z² 16 OBS usar coordenadas esféricas Questão 3 Pelo teorema de Stokes temos 𝐹 𝑑𝑟 𝑟𝑜𝑡𝐹 𝑛𝑑𝑆 𝑟𝑜𝑡𝐹 𝑁𝑑𝐴 Neste caso temse 𝐹 2𝑦 3𝑧 𝑥 Logo o rotacional é dado por 𝑟𝑜𝑡𝐹 𝐹𝑧 𝑦 𝐹𝑦 𝑧 𝐹𝑥 𝑧 𝐹𝑧 𝑥 𝐹𝑦 𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 3𝑧 𝑧 2𝑦 𝑧 𝑥 𝑥 3𝑧 𝑥 2𝑦 𝑦 0 3 0 10 2 𝑟𝑜𝑡𝐹 3 1 2 Para parametrizar a superfície definimos 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 𝑧 𝑧 Logo temos a seguinte parametrização 𝜓𝑡 𝑧 𝑡 𝑡 𝑧 Logo temos 𝜓 𝑡 110 𝜓 𝑧 001 Assim o vetor normal é dado por 𝑁 𝜓 𝑡 𝑋 𝜓 𝑧 𝑖 𝑗 𝑘 1 1 0 0 0 1 1 10 Logo temos 𝐹 𝑑𝑟 𝑟𝑜𝑡𝐹 𝑁𝑑𝐴 3 1 2 1 10𝑑𝐴 3 1 0𝑑𝐴 2𝐴𝑡𝑟𝑖 2 2 2 2 𝟐𝟐 Questão 4 Temos 𝐼 𝑥𝑑𝑧 𝑥𝑦 0 𝑑𝑦 𝑥 0 𝑑𝑥 1 0 Resolvendo obtemos 𝐼 𝑥 𝑑𝑧 𝑥𝑦 0 𝑑𝑦 𝑥 0 𝑑𝑥 1 0 𝐼 𝑥 𝑥𝑦𝑑𝑦 𝑥 0 𝑑𝑥 1 0 𝐼 𝑥2 𝑦𝑑𝑦 𝑥 0 𝑑𝑥 1 0 𝐼 𝑥2 𝑦2 2 0 𝑥 𝑑𝑥 1 0 𝐼 𝑥2 𝑥2 2 𝑑𝑥 1 0 𝐼 𝑥4 2 𝑑𝑥 1 0 𝐼 𝑥5 10 0 1 𝑰 𝟏 𝟏𝟎 Questão 5 Usando coordenadas esféricas temos 𝑥 𝑟 sin𝜓 cos 𝜃 𝑦 𝑟 sin 𝜓 sin 𝜃 𝑧 𝑟 cos 𝜓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑟2 sin 𝜓 𝑑𝑟𝑑𝜓𝑑𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑟2 Assim os limites de integração são tais que 0 𝑟 4 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑟 cos 𝜓 𝑟2 sin2 𝜓 cos2 𝜃 𝑟2 sin2 𝜓 sin2 𝜃 cos 𝜓 sin2 𝜓 cos2 𝜃 sin2 𝜓 sin2 𝜃 cos 𝜓 sin2 𝜓 cos 𝜓 sin 𝜓 tan 𝜓 1 𝜓 𝜋 4 Logo este volume é dado pela seguinte integral 𝐼 𝑟2 sin 𝜓 𝑑𝑟 4 0 𝑑𝜓 𝜋 4 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝐼 2𝜋 𝑟2 sin 𝜓 𝑑𝑟 4 0 𝑑𝜓 𝜋 4 0 𝐼 2𝜋 sin 𝜓 𝑟2𝑑𝑟 4 0 𝑑𝜓 𝜋 4 0 𝐼 2𝜋 sin 𝜓 𝑟3 3 0 4 𝑑𝜓 𝜋 4 0 𝐼 2𝜋 43 3 sin 𝜓 𝑑𝜓 𝜋 4 0 𝐼 2𝜋 64 3 cos 𝜓0 𝜋 4 𝑰 𝝅 𝟏𝟐𝟖 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 Questão 3 Pelo teorema de Stokes temos F d rrot F n dSrot F N dA Neste caso temse F2 y 3 z x Logo o rotacional é dado por rot F F z y F y z Fx z F z x F y x F x y x y 3 z z 2 y z x x 3 z x 2 y y 030102 rot F 312 Para parametrizar a superfície definimos xt yt zz Logo temos a seguinte parametrização ψ t z t t z Logo temos ψ t 110 ψ z 00 1 Assim o vetor normal é dado por Nψ t X ψ z i j k 1 1 0 0 0 1 110 Logo temos F d rrot F N dA 312110dA 310dA 2 Atri 2 22 2 22 Questão 4 Temos I 0 1 0 x 0 xy x dzdydx Resolvendo obtemos I 0 1 x 0 x 0 xy dzdydx I 0 1 x 0 x xy dydx I 0 1 x 2 0 x y dydx I 0 1 x 2 y 2 2 0 x dx I 0 1 x 2 x 2 2 dx I 0 1 x 4 2 dx I x 5 100 1 I 1 10 Questão 5 Usando coordenadas esféricas temos xr sinψ cosθ yrsinψ sinθ zr cosψ dxdydzr 2sinψ drdψdθ x 2 y 2z 2r 2 Assim os limites de integração são tais que 0r 4 z x 2 y 2 r cosψr 2sin 2ψ cos 2θr 2sin 2ψ sin 2θ cosψsin 2ψ cos 2θsin 2ψ sin 2θ cosψsin 2ψ cosψsinψ tanψ1 ψ π 4 Logo este volume é dado pela seguinte integral I 0 2π 0 π 4 0 4 r 2sinψ drdψdθ I2π 0 π 4 0 4 r 2sinψ drdψ I2π 0 π 4 sinψ 0 4 r 2drdψ I2π 0 π 4 sinψ r 3 3 0 4 dψ I2π 4 3 3 0 π 4 sinψ dψ I2π 64 3 cosψ 0 π 4 Iπ 128 3 2 2 1