Cálculo Vetorial - Integrais de Linha e Superfície, Teorema de Green

03 02π u3 9u dv du 2π u44 9u22 03 243π2 1 S F ds A Fruvru rv dA ruv ucosv usenv 9 u2 ru cosv senv 2u rv usenv ucosv 0 ru rv 2u2 cosv 2u2 senv u Fruv ru rv 2u3 cos2 v 2u3 sen2 v 9u u3 u3 9u 1 Calcule a taxa do fluxo de massa que atravessa a superficie S de um fluido com densidade constante p de acordo com o campo de velocidade Fxyz xi yj zk S é dado por Z 9 x2 y2 orientado por um vetor normal anotado para cima 2 Utilize o teorema de green para calcular a integral de linha c y2dx x2dy onde c é o triângulo de vértices 00 40 e 44 3 Uma lâmina em forma de um cone tem como equação z 4 2 x2 y2 onde 0 z 4 Em cada ponto de S a densidade é proporcional à distância entre o ponto e o eixo dos z Encontre a massa da lâmina 4 Calcule a área da superfície do toro dado por ruv 2cosucosv i 2cosusenv j senu k onde o domínio D é dado por 0 u 2π e 0 v 2π 5 Encontre a área de superfície do parabolóide z 1 x2 y2 acima do círculo unitário 2 usando o teorema de green F2x F1y 2x 2y D 00 40 44 D 2x 2y dx dy 04 0x 2x 2y dy dx 04 2xy y² 0x dx 04 2x² x² dx x³3 04 643 3 integral de superfície m s ρ ds s kx²y² ds x rcosθ y rsenθ z 42r p rcosθ rsenθ 42r pr cosθ senθ 2 pθ rsenθ rcosθ 0 pr x pθ i j k cosθ senθ 2 rsenθ rcosθ 0 2rsenθ 2rcosθ r s F ds s Fn ds D Fprθφ pθ pφ dA D K r 2r cosθ2 2r senθ2 r2 du dv K 02π 02 r r 5 dr dθ K 2π 5 r3 302 2π K 5 83 16 π K 5 3 m 4 A D ru rv du dv ru drdu sen u cos v sen u sen v cos u rv drdv 2 cos u sen v 2 cos u cos v 0 ru rv cos u cos v 2 cos u cos u sen v 2 cos u 2 cos u sen ucos2 v 2 cos u sen usen2 v ru rv cos u cos v 2 cos u cos u sen v 2 cos u sen u2 cos u ru rv cos2 u 2 cos u2 cos2 v sen2 v sen2 u 2 cos u212 2 cos u2 cos2 u sen2 u12 2 cosu A 02π 02π 2 cosu du dv 02π 2u senu02π dv 02π 4π dv 4π v02π 8π2 uA 5 formula A D 1 Fx2 Fy2 dx dy Fx 2x Fy 2y D 1 4x2 4y212 dx dy coordenadas polares x r cosθ e y r senθ 0 r 1 e 0 θ 2π A 02π 01 1 4r212 r dr dθ 02π 1 4r232 8 2301 dθ 112 02π 5 5 1 dθ 112 55 1 θ₀²π 2π 55 1 12 π 55 1 6 uA