Avaliacao Final Matematica Aplicada a Engenharia - Calculo Integral Triplo e Coordenadas Esfericas

Questão 1 Seja uma esfera de raio r Em coordenadas esféricas e integral que descreve o volume da esfera é dada por I 0 2π 0 π 0 r ρ 2sinψ dρdψdθ Calculando temos I 0 2π 0 π sinψ 0 r ρ 2dρdψdθ I 0 2π 0 π sinψ ρ 3 3 0 r dψdθ Ir 3 3 0 2π 0 π sinψ dψdθ Ir 3 3 0 2π cosψ 0 π dθ Ir 3 3 0 2π cos πcos 0dθ Ir 3 3 0 2π 11 dθ I2 3 r 3 0 2π dθ I2 3 r 32π I4 π 3 r 3 Questão 2 Vamos considerar o seguinte domínio de integração 0 x1 0 y1 x z x y Assim Temos a seguinte integral I 0 1 0 1 x xy x d zdyd x I 0 1 x 0 1 x x y dzdydx I 0 1 x 0 1 x y x dydx I 0 1 x 0 1 y dydx I 0 1 x y 2 2 0 1 dx I1 2 0 1 xdx I1 2 x 2 2 0 1 I1 2 1 2 2 I1 4 Universidade do Estado do Amazonas Professor Jander Pinheiro Questão Avaliação Final de Matemática Aplicada à Engenharia Turma EVAN Data de entrega 07022023 1 5 pontos Calcule o volume da esfera limitada pelos planos X Y Z 1 e x y z 0 exercício 4 do livro do ProfHoja 2 5 pontos Calcule a integral tripla em coordenadas esféricas I 0rX ry 1 e x 3 5 pontos O sólido geométrico limitado pela esfera x2 y2 z2 4 Encontre o 2y sobre o eixo x para z 0 volume do tetraedro contido no Plano 2x 2y z 6 Utilizando 4 5 pontos Seja V o conjunto saeco contido no plano z 0 transformado atraves da transformação T de variaveis x u v y v u Tornaod e sobre Calulet J f rt df 15 ponto Um arero de lenqua deve ser construído no formato de uma semielu abertura deve ter 60cm de altura e ter conecct com uma base de 15 metros Para esboçar semicispa o construtor vai utilizar um banner de 15 metros de comprimento pr dois preguintos onde ele deve fixar os pregos 30 60 60 30 30 60 30 60 Escolha 4 questões Questão 1 Seja uma esfera de raio 𝑟 Em coordenadas esféricas e integral que descreve o volume da esfera é dada por 𝐼 𝜌2 sin 𝜓 𝑑𝜌 𝑟 0 𝑑𝜓 𝜋 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 Calculando temos 𝐼 sin 𝜓 𝜌2𝑑𝜌 𝑟 0 𝑑𝜓 𝜋 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝐼 sin 𝜓 𝜌3 3 0 𝑟 𝑑𝜓 𝜋 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝐼 𝑟3 3 sin𝜓 𝑑𝜓 𝜋 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝐼 𝑟3 3 cos 𝜓0 𝜋𝑑𝜃 2𝜋 0 𝐼 𝑟3 3 cos 𝜋 cos 0𝑑𝜃 2𝜋 0 𝐼 𝑟3 3 1 1𝑑𝜃 2𝜋 0 𝐼 2 3 𝑟3 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝐼 2 3 𝑟3 2𝜋 𝑰 𝟒𝝅 𝟑 𝒓𝟑 Questão 2 Vamos considerar o seguinte domínio de integração 0 𝑥 1 0 𝑦 1 𝑥 𝑧 𝑥 𝑦 Assim Temos a seguinte integral 𝐼 𝑥𝑑𝑧 𝑥𝑦 𝑥 𝑑𝑦 1 0 𝑑𝑥 1 0 𝐼 𝑥 𝑑𝑧 𝑥𝑦 𝑥 𝑑𝑦 1 0 𝑑𝑥 1 0 𝐼 𝑥 𝑥 𝑦 𝑥𝑑𝑦 1 0 𝑑𝑥 1 0 𝐼 𝑥 𝑦𝑑𝑦 1 0 𝑑𝑥 1 0 𝐼 𝑥 𝑦2 2 0 1 𝑑𝑥 1 0 𝐼 1 2 𝑥𝑑𝑥 1 0 𝐼 1 2 𝑥2 2 0 1 𝐼 1 2 12 2 𝐼 1 4