Transformada de Laplace - Analise do Sinal e Regiao de Convergencia

Para cada caso apresente o estudo do sinal perturbação Gráfico e expressão da função indique graficamente a região de convergência RC e defina se a variável de frequencia de Laplace s s σ j ω pertence a essa região 30 pontos s1 2 2 j s2 2 j s3 1 s4 1 j s5 1 2j e 04 ponto ft 4ut 4 ut 3 f 04 ponto ft 0 t 3 1 3 t 4 3 t 4 g 05 ponto i 05 ponto Função Degrau resultante Sinal Degrau 4 θt 1 Sinal Degrau 3 θt 4 tempo import numpy as np import matplotlibpyplot as plt Definição do sinal ft def ft if t 3 return 0 elif 3 t 4 return 1 else return 3 Definição da transformada de Laplace Fs def Fs return 1npexp3s 1s 3npexp4s 1s Plot do sinal ft t nplinspace0 6 1000 y fi for i in t pltplott y pltxlabelt pltylabelft plttitleSinal ft pltshow Plot da transformada de Laplace Fs s nplinspace5 10 1000 4j y nprealFs z npimagFs pltploty z pltaxvlinex4 colorr linestyle pltxlabelRes pltylabelIms plttitleTransformada de Laplace Fs e RC pltshow Plot da região de convergência de Fs s nplinspace10 10 1000 4j y nprealFs z npimagFs pltploty z pltfillbetweenxminz maxz 4 npinf coloryellow alpha02 pltaxvlinex4 colorr linestyle pltxlabelRes pltylabelIms plttitleRegião de convergência de Fs pltshow Sinal ft ft t Transformada de Laplace Fs e RC Ims Res import numpy as np import matplotlibpyplot as plt def ft if t 3 return 0 elif 3 t 4 return 1 else return 3 def Fs return 1npexp3s 1s 3npexp4s 1s Plot do sinal ft t nplinspace0 6 1000 y fi for i in t pltplott y pltxlabelt pltylabelft plttitleSinal ft pltshow Plot da transformada de Laplace Fs s nplinspace0 10 1000 4j y nprealFs z npimagFs pltploty z pltxlabelRes pltylabelIms plttitleTransformada de Laplace Fs pltshow Plot da região de convergência de Fs s nplinspace10 10 1000 4j y nprealFs z npimagFs pltploty z pltfillbetween4 10 10 10 10 10 coloryellow alpha02 pltxlabelRes pltylabelIms plttitleRegião de convergência de Fs pltshow Sinal ft ft t Transformada de Laplace Fs Ims Res Transformada de Laplace Fs e RC Ims Res Região de convergência de Fs Ims Res import numpy as np import matplotlibpyplot as plt def stepfunctiont if t 1 return 0 elif 1 t 4 return 7 else return 3 Criando um array de tempo de 0 a 10 segundos com passo de 01 segundos t nparange0 10 01 Aplicando a função degrau resultante ao array de tempo f nparraystepfunctionti for ti in t Plotando a função ft pltplott f pltxlabelTempo s pltylabelft plttitleFunção degrau resultante pltgrid pltshow Para o sinal dado ft 4ut4 ut3 temos a seguinte representação em Laplace 𝐹𝑠 4 𝑒4𝑠 1 𝑠 1 𝑒3𝑠 1 𝑠 Onde ut é a função degrau unitário A região de convergência RC é dada pela seguinte expressão s 0 A variável de frequência de Laplace s σ ωj pertence a essa região para todos os valores de σ e ω O gráfico da função ft é mostrado abaixo O sinal ft é zero para t 3 para 3 t 4 o sinal tem um degrau de amplitude 1 e para t 4 o sinal tem um degrau negativo de amplitude 3 Note que a amplitude do sinal é limitada e não cresce com o tempo Isso é consistente com a RC definida onde todos os valores de s com parte real menor ou igual a 4 estão fora da RC Para o sinal dado ft 0 se t 3 ft 1 se 3 t 4 e ft 3 se t 4 temos a seguinte representação em Laplace 𝐹𝑠 1 𝑒3𝑠 1 𝑠 3 𝑒4𝑠 1 𝑠 Onde ut é a função degrau unitário A região de convergência RC é dada pela seguinte expressão Res 4 A variável de frequência de Laplace s σ ωj pertence a essa região para valores de σ 4 O gráfico da função ft é mostrado abaixo O sinal ft é zero para t 3 para 3 t 4 o sinal tem um degrau de amplitude 1 e para t 4 o sinal tem um degrau negativo de amplitude 3 Note que a amplitude do sinal é limitada e não cresce com o tempo Isso é consistente com a RC definida onde todos os valores de s com parte real menor ou igual a 4 estão fora da RC No plano cartesiano com ordenada ft e abcissa t o ponto s em 24 corresponde ao ponto 24j no plano complexo da variável de frequência de Laplace s σ ωj Isso significa que s 2 4j é um ponto localizado a 2 unidades para a direita do eixo imaginário parte real σ 2 e 4 unidades acima do eixo real parte imaginária ω 4 Esse ponto está localizado dentro da RC para a maioria dos sinais A RC é definida como a região do plano complexo onde a transformada de Laplace converge Para a maioria dos sinais a RC é o semiplano à direita da linha vertical σ a onde a é a abscissa do ponto mais à esquerda do sinal Nesse caso a 0 então a linha vertical correspondente é σ 0 O ponto s 2 4j está à direita dessa linha vertical e portanto dentro da RC para a maioria dos sinais No entanto a RC pode variar dependendo do sinal específico que está sendo analisado pois a RC depende da localização dos polos da função de transferência Para obter a função degrau resultante precisamos somar as contribuições de cada sinal degrau dado O sinal degrau 4 θt1 é um degrau de amplitude 4 que começa em t 1 O sinal degrau 3 θt4 é um degrau de amplitude 3 que começa em t 4 A função ft é zero para t 1 então antes de t 1 a função degrau resultante é zero Entre t 1 e t 4 a função degrau resultante é a soma dos dois sinais degrau resultando em um degrau de amplitude 43 7 Após t 4 a função ft é 8 Como o sinal degrau 4 θt1 não contribui para t 4 e o sinal degrau 3 θt4 tem amplitude constante 3 para t 4 a função degrau resultante também tem amplitude constante 3 a partir de t 4 Portanto a função degrau resultante ft é ft 0 se t 1 ft 7 se 1 t 4 ft 3 se t 4 Podemos visualizar a função degrau resultante no seguinte gráfico Podemos verificar graficamente que a função degrau resultante é consistente com os sinais degrau dados O sinal degrau 4 θt1 começa em t 1 e tem amplitude 4 enquanto o sinal degrau 3 θt4 começa em t 4 e tem amplitude 3 A soma desses sinais degrau resulta em um degrau de amplitude 7 entre t 1 e t 4 seguido por um degrau de amplitude 3 a partir de t 4 conforme indicado no gráfico acima Quanto à região de convergência RC ela não é relevante para a análise da função degrau resultante pois a transformada de Laplace da função degrau é uma função simples sem polos no plano complexo Além disso a função degrau é causal e portanto a RC sempre inclui o semiplano à direita do eixo imaginário