Lista de Exercicios Resolvidos Calculo Diferencial e Integral - Limites Derivadas e Areas

Questão 01 30 pts Determine os seguintes limites caso existam a lim h 1 h23 2h1 b lim x 0 tg5x2 sen11x2x sen3x Questão 02 20 pts Determine b R se possível de modo que a função f seja contínua em toda parte fx x2 2 se x 0 b se x 0 x 4 se x 0 Questão 03 30 pts a Seja hx fgx2 onde f e g são funções deriváveis tais que f2 1 f2 3 g1 2 g1 6 determine o número h2 b Determine as dimensões do retângulo de maior área que tem sua base sobre o eixo x e seus dois outros vértices acima do eixo x e sobre a parábola y 27 x2 Questão 04 20 pts Considere a região R limitada inferiormente por y x superiormente por y 1 e lateralmente por x 0 a Esboce a região R b Calcule a área de R 1 a Como lim h1 h23 2h1 00 podemos aplicar a Regra de LHospital Assim lim h1 h23 2h1 lim h1 12 1h23 2h1 Derivada usando regra da cadeia lim h1 hh23 113 12 b Podemos perceber que este limite também tende a 00 Assim aplicaremos LHospital analisando cada derivada com calma Sendo fx tg5x2 sen11x2 e gx xsen3x Temos fx 2 tg5x sec25x 5 cos11x2 22x Usando regra da cadeia gx sen3x x 3 cos3x Usando regra do produto Repare que g0 0 e f0 0 ou seja lim x0 fxgx 00 Assim teremos de aplicar LHospital pela segunda vez Onde fx 10 5 sec25x sec25x tg25x 2 sec25x 22sen11x2 22x2 cos11x2 e f0 10511 021 2200 1 50 22 72 1 b Continuação gx 3 cos3x 3cos3x 3x sen3x e g0 31 31 0 3 3 6 Ou seja lim x0 fxgx lim x0 fxgx lim x0 fxgx f0g0 726 12 2 Para que fx seja contínua em x 0 temos que lim x0 fx f0 b E este valor deve coincidir com lim x0 fx e lim x0 fx caso contrário o limite não existirá Verificando I lim x0 fx lim x0 x 4 4 2 t pois x 0 II lim x0 fx lim x0 x² 2 0 2 2 Por I e II temos que lim x0 fx existirá se tender a 2 lim x0 fx 2 e será contínua se lim x0 fx f0 Assim f0 2 portanto b 2 Sendo b 2 e com x² 2 é contínua para x 0 e x 4 é contínua para x 0 temos que fx será contínua em toda parte 3 a Sendo hx fgx2 temos que hx fgx2gx212 pela Regra da Cadeia Assim hx fgx2gx212 fg1g112 fz612 13 3 Portanto hx 3 fx b A área do retângulo é xy mas y 27 x² sendo assim Ax x27 x² 27x x³ Queremos os valores de x para que Ax seja o maior possível então vamos encontrar os pontos críticos Ax 27 3x² Quando Ax 0 27 3x² 0 3x² 27 x² 9 x 3 Assim y3 27 3² 27 9 18 então a base do retângulo é a distância dos valores de x 3 3 6 e a altura é 18 sendo assim sua área 618 108 a maior possível a y1 yx x0 R b Podemos observar que R é a diferença entre a área do quadrado 1x1 e a área delimitada por x Área do quadrado 1 x 1 1 Área delimitada por x ₀¹x dx ₀¹ x12 dx x32 32₀¹ 23 x32₀¹ 23132 23032 23 0 23 Área de R 1 23 323 13