Lógica Matemática

Prova Final 1 Lógica Matemática 2 1 Traduzir a Se qualquer coisa é cara é valiosa e rara Seja o que for que é valioso é desejável e caro Logo se qualquer coisa é valiosa ou cara então é valiosa e cara C para cara V para valiosa R para rara e D para desejável b Se uma disjunção é verdadeira ao menos um de seus componentes imediatos é verdadeiro Universo Fórmulas proposicionais P ser disjunção Q ser verdadeira R binário ser componente imediato de c Todo número natural primo maior do que 2 é ímpar P ser número natural P1 ser número primo R binário ser maior do que Q ser ímpar a 2 2 Verifique o valor de verdade da sentença abaixo no modelo dado U i j k P i j Q j R i k 3 Construa um contramodelo uma interpretação falsificadora para as seguintes sentenças a b xPx Qx Rx xyRx y y xRx y xPx Qx z Rx z 4 Verifique o valor de verdade da expressão abaixo na interpretação dada xyRya QyxxR1xyRyx zPzxQaxRzx Interpretação U i j km a j P i km Q jk ij ii km kj R1 j k i R ij jk ik ii kj Prova Final Q1 De qualquer coisa é cara então é valioso e raro Tradução C V R Defa o que for que é valioso é desejável e caro Tradução V D C Conclusão Se qualquer coisa é valiosa e caro então é valioso e raro Tradução V v C V C Resposta FINAL C V R V D C V v C V C Sentença verdadeira b Tradução x Px Qx y Rxy Qy c A sentença afirma que para qualquer x se x é um número Natural Px primo P1x e maior que 2 Rx2 então x é ímpar Qx Formalmente x Px P1x Rx2 Qx 2 x Px Qx Rx verificando x i i P então Pi é falso Uma implicação com antecedente falso é verdadeira Para x j Análogo Para x k k P então Pk é verdadeiro k Q então Qk é verdadeiro 1 Traduzir e demonstrar em tableaux e dedução natural Se Pedro ganhar um carro no natal terá que estacionálo na rua a menos que consiga uma garagem Não é verdade que se Pedro se comportar Pedro conseguira uma garagem Mas se Pedro se comportar ganhará um carro no natal Logo Pedro ganhará um carro no natal e terá que estacionálo na rua 2 Suponha que Γ 1 Dicen Γ e A ter alguma variáveis e proposicinais em comum 3 Suponha que uma fórmula A só contenha variáveis proposicionais conjunções eou conjunções Mostre que A não pode ser uma tautologia 4 Verifique se a seguinte relação de consequência é correta p v q q q p v q v r p r 5 Demonstrar em dedução natural p q r p s q s r p 6 Em uma certa ilha de Sinceros e Mentirosos corre o rumor de que há um tesouro escondido sfinceros dizem sempre a verdade e os mentirosos mentem sempre Você chega na ilha e pergunta a um habitante A se o tesouro há na Ilha A responde Há um tesouro na ilha se e somente se eu sou um Sincero Problema 1 Podemos determinar se A é um Sincero ou um Mentirosos 2 Podemos determinar se há um tesouro na ilha b x Px Qx z Rkz Dome U i j P i j apenas i satisfaz Px Q i j apenas j satisfaz Qx R ij Rij é verdadeira mas Rii e Rjj são falsas Para x i 1 Pi Qi é verdadeira i P e i Q 2 Verificamos z Riz Para z j Rij é verdadeira Portanto z Riz é falsa Contramodelo U i j P i j Q i j R ij 4 Avaliação de A 1 A x y Ryj Qyx Sempre verdadeiro pois Qyi sobre os casos onde Ryj 2 Avaliação de B B x R₁x y Ryx FALSO porque x m satisfaz R₁m y Rym 3 Avaliação de C C z Pz x Qjx Rzx verdadeiro para z j pois Pj é verdadeira e Qjx Rjx é válida Expressão A B verdadeira A B C verdadeira R C expressão é verdadeira k R então Rk é verdadeira Qk Rk é verdadeira Resultado Para x k é verdadeiro Conclusão x Pk Qx Rx é verdadeira no modelo dado Questão 3 2 x y Rxy deve ser verdadeira y x Rxy deve ser falsa Contra modelo possível U ij Q ij ji Lista 2 Q 2 Se T e A não têm nenhuma variável proposicional em comum Tome o exemplo T p q onde p e q são variáveis proposicionais A r s onde r e s são variáveis proposicionais diferentes de p e q Nesse caso T A não exige que T e A compartilhem variáveis proposicionais Se T e A têm variável proposicional em comum T p q A p r mas T A porque a litrutue é diferente Conclusão T e A não precisam ter variável proposicional em comum 3 Basta encontrar uma interpretação I onde A seja falso Atribuindo valores falsos F a todas as variáveis proposicionais P1 P2 Pn 1 Para uma conjunção P1 P2 o resultado será F pois ao menos um é F 2 Para uma disjunção também pois todos operandos são F Assim A é F para todas as interpretações possíveis A não pode ser uma tautologia 6 1 Se A é sincero João tesouro na ilha Se A é mentiroso João tesouro A é mentiroso Portanto não é possível determinar se A é sincero ou mentiroso João tesouro na ilha