Iniciação à Lógica Matemática - Edgard de Alencar Filho - Livro Completo

Iniciação à Lógica Matemática Edgard de Alencar Filho Nobel D 1975 Edgard de Alencar Filho Direitos desta edição reservadas á AMPUB Comercial Ltda Nobel é um selo editorial da AMPUB Comercial Ltda Rua Petroso Alvarenga 1046 9oandar 04531 0 0 4 São Paulo SP Fone II 37061466 Fax 11 37061462 wwvvcditoranobelcombr L ma i I ednobeleditoranobelcombr Impressão Paym Gráfica c Editora ltda Reimpressão 2003 Dados Internacionais dc Catalogação na Publicação CIP Câmara Brasileira do Livro SP Brasil Alcncar Filho Edgard de 1913 A355Í Iniciação à lógica malemática Odgard de Alencar Filho São Paulo Nobel 2002 Bibliografia ISBN 852130403X 1 Lógica simbólica e matemática f Título 860802 CDD5113 Índice para catálogo sistemático 1 Lógica matemática 5113 É PROIBIDA A RLPRODUÇÀO Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida copiada transcrita ou mesmo transmitida por meios eletrônicos ou gravações sem a permissão por escrito do editor Os infratores serão punidos péla Lei n 961098 Impresso no BrasiliPrmted in Brazil Indice Capítulo 1 PROPOSIÇÕES CONECTIVOS 1 Conceito dc proposição I j 2 Valores lógicos cias proposições p 3 Proposições simples e proposições com postas p 4 Conectivos jg 5 Tabelaverdade j j 6 N o tação j Exercícios Capítulo 2 o p e r a ç õ e s l ó g i c a s s o b r e p r o p o s i ç õ e s 2 N egação p 3 Conjunção Ig 4 Disjunção 20 5 Disjunção exclusiva 21 6 Condicional 7 Bicondicional 23 Exercícios 27 Capítulo 3 CONSTRUÇÃO DE TABELASVERDADE 1 1 abelaverdadc de uma proposição com posta 29 2 Número de linhas de uma tabelaverdade 29 3 Construção da tabelavcrdadc de uma proposição composta 4 Exemplificação 5 Valor lógico de uma proposição com posta 6 Uso de parêntesis 7 Outros símbolos para os conectivos Exercícios Capítulo 4 TAUTOLOGIAS CONTRADIÇOES E CONTINGÊNCIAS 1 Tautologia 2 Princípio de substituição para as tautologías 3 Contradição 4 Contingência Exercícios Capítulo 5 IMPLICAÇÃO LÓGICA 1 D e fin iç ã o de im p lic a ç ã o ló g ic a 2 Propriedades da implicação lógica 3 Exemplificação 4 Tautologias c implicação lógica Exercícios Capítulo 6 EQUIVALÊNCIA LÓGICA 1 Definição de equivalência lógica 2 Propriedades da equivalência lógica 3 Exemplificação 4 Tautologías e equivalência lógica 5 Proposições associadas a uma condicional 6 Negação conjunta de duas proposições 7 Negação disjunta de duas proposições Exercícios Capítulo 7 ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES 1 Propriedades da conjunção 2 Propriedades da disjunção 30 30 36 38 39 39 43 45 46 47 48 49 49 50 53 55 55 56 57 59 62 63 63 67 69 3 Propriedades da conjunção e da disjunção 71 4 Negação da condicional 74 5 Negação da bicondicional 74 Exercícios 75 Capítulo 8 MÉTODO DEDUTIVO 2 Exemplificação 78 3 Redução do número de conectivos 81 4 Forma normal das proposições 82 5 Forma normal conjuntiva 82 6 Forma normal disjuntiva 84 7 Princípio de dualidade 85 Exercícios 85 Capítulo 9 ARGUMENTOS REGRAS DE INFERÊNCIA 1 Definição de argumento 8 2 Validade de um argumento 87 3 Critério de validade de um argum ento 8X 4 Condicional associada a um argum ento 89 5 Argumentos válidos fundam entais 90 6 Regras de infcrcncia 91 7 Exemplos do uso das regras de inferência 92 Exercícios 96 Capítulo 10 VALIDADE MEDIANTE TABELASVERDADE 2 Exemplificação 3 Prova de nãovalidade Exercícios Capítulo 11 VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA 2 Exemplificação Exercícios 118 Capítulo 12 VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA E EQUIVALENCIAS 1 Regra de substituição 2 Equivalencias notáveis 3 Exemplificação 4 Inconsistência Exercícios Capítulo 13 DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL E DEMONSTRAÇÃO INDIRETA 1 Demonstração condicional 2 Exemplificação 3 Demonstração indireta 4 Exemplificação Exercícios Capítulo 14 SENTENÇAS ABERTAS 1 Sentenças abertas com uma variável 2 Conjuntoverdade de uma sentença aberta com uma variável 3 Sentenças abertas com duas vanáveis 4 Conjuntoverdade de uma sentença aberta com duas variáveis 5 Sentenças abertas com n variáveis 6 Conjuntoverdade de uma sentença aberta com n variáveis Exercícios Capítulo 15 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE SENTENÇAS ABERTAS 2 Conjunção 3 Disjunção 4 Negação 5 Condicional 6 Bicondicional 7 Álgebra das sentenças abertas Exercícios 129 129 131 138 141 145 146 149 150 153 156 156 158 159 160 161 162 164 166 168 169 170 171 172 Capítulo 16 QUANTIFIC ADORES 1 Quantificador universal 175 2 Quantificador existencial 178 3 Variável aparente e variável livre 180 4 Quanti ficador de existência e unicidade 180 5 Negação de proposições com quantificadoT 181 6 Contraexemplo 183 Exercícios 183 Capítulo 17 QUANTIFICAÇÃO DE SENTENÇAS ABERTAS COM MAIS DE UMA VARIÁVEL 1 Quantificação parcial 187 2 Quantificação m ú ltip la 187 3 Comutatividadc dos quantificadores 189 4 Negação de proposições com quanti ficadores 190 Exercícios 190 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 193 BIBLIOGRAFIA 203 Capítulo 1 Proposições Conectivos 1 CONCEITO DE PROPOSIÇÃO Definição Cbamase proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo As proposições transmitem pensamentos isto é afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes Assim p ex são proposições a A Lua é um satélite da Terra b Recife é a capital de Pernambuco c n í 5 d sen 1 A Lógica Matemática adota como regras fundamentais do pensamento os dois seguintes princípios ou axiomas I PRINCIPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo II PRINCIPIO DO TERCEI RO EXCLUÍDO Toda a proposição ou é verda deira ou é falsa isto é verificase sempre um destes casos e nunca um terceiro Por virtude deste princípio dizse que a Lógica Matematica é uma Lógica bivalente Por exemplo as proposições a b fc e d são todas verdadeiras mas são falsas as cinco seguintes proposições a VASCO DA GAMA dcscobriu o Brasil b DANTE escreveu os Lusíadas c j é um numero inteiro d O númeTo n é racional e t g 2 Assim as proposições são expressões a respeito das quais tem sentido dizer que são verdadeiras ou falsas 2 VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES Definição Cliatnase valsr lógico de uma proposição a verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade sc a proposição c falsa Os valores lógicos verdade e falsidade dc uma proposição designamse abrevia damente pelas letras V e F respectivamente Assim o que os princípios da não contradição e do terceiro excluído alirmam c que Toda a proposição tem um e um só dos valores V F Consideremos p ex as proposições aj O mercúrio é mais pesado que a água b O Sol gira cm torno da Terra 0 valor lógico da proposição a é a verdade V e o valor lógico da proposição b ê a falsidade F 3 PROPOSIÇÕES SIMPLES E PROPOSIÇÕES COMPOSTAS As proposições podem ser classificadas em simples ou atómicas e compostas ou moleculares Definição l Chamase proposição simples ou proposição atómica aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante dc si mesma As proposições simples são geralmente designadas pelas letras latinas minúsculas p q i s chamadas letras proposici onais Assim p ex são proposições simples as seguintes p Carlos 6 careca q Pedro é estudante r O número 25 é quadrado perfeito Definição 2 Chamase proposição composta ou proposição molecular aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições As proposições compostas sao habitualmente designadas pelas letras latinas maiúsculas P O R S também chamadas letras proposicionais 12 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O I N IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 13 Assim p exf são proposições compostas as seguintes P Carlos é careca e Pedro é estudante Q Carlos é careca ou Pedro é estudante R Se Carlos é careca então e infeliz visto que cada uma delas é formada por duas proposições simples As proposições compostas também costumam ser chamadas fórmulas propo sicionais ou apenas fórmulas Quando interessa destacar ou explicitar que uma proposição composta P é formada pela combinação das proposições simples p q r escrevese Pp q i As proposições simples e as proposições compostas tambcm são chamadas respectivamente átomos c moléculas Observaremos ainda que as proposições componentes de uma proposição composta podem ser elas mesmas proposições compostas 4 CONECTIVOS Definição Chamamse conectivos palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras Assim p ex nas seguintes proposições compostas P 0 número 6 c par e o número 8 é cubo perfeito Q O triângulo ABC é retângulo ou é isósccles R Não está chovendo S Se Jorge é engenheiro então sabe Matemática T O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiãngulo são conectivos usuais em Lógica Matemática as palavras que estão grifadas isto c e ou não se então se e somente se S TABELAVERDADE Segundo o Princípio do terceiro excluído toda proposição simples p c verdadei ra ou é falsa isto c tem o valor lógico Vverdade ou o valor lógico Ffalsidade Em se tratando de uma proposição composta a determinação do seu valor lógico conhecidos os valores lógicos das proposições simples componentes se faz com base no seguinte princípio O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes ficando por eles univocamente deter minado Admitido este princípio para aplicálo na ptática à determinação do valor lógico de uma proposição composta dada recoircse quasi sempre a um dispositivo denominado tabelaverdade na qual figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta correspondentes a todas as possíveis atribuições dc valores lógicos às proposições simples componentes Assim p ex tio caso dc urna proposição composta cujas proposições simples componentes são p e q as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são v 14 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O P q l v v 2 v F 3 F v 4 F F Observesc que os valores lógicos V e F sc alternam dc dois em dois para a primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q e que além disso W VF FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p q e r as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p a q e a r são V P q r 1 v v v 2 v v F 3 v F v 4 v F F 5 F v v 6 F v F 7 F F v 8 F F F I N IC IA Ç A O A L Ú G IC A M A T E M Á T IC A 15 Analogamente observese que os valores lógicos V e F se alternam de quatru em quatro para a primeira proposição p de dois em dois para a segunda proposição q e de um em uni para a terceira proposição r e que alem disso V W W F VFV VFF F W FVF FFV c FFF são os arranjos ternários com repetição dos dois ele mentos V e F 6 NOTAÇÃO 0 valor lógico de uma proposição simples p indicae por Vp Assim expri mese que p é verdadeira V escrevendo Vp V Analogamente exprimese que p é falsaF escrevendo Vp F Sejam p ex as proposições simples p O Sol é verde q Um hexágono tem 9 diagonais r 2 c raiz da equação x2 3x 4 ü Temos Vp F Vq V Vr F Do mesmo modo o valor lógico de uma proposição composta F indicasc por VP EXERCÍCIOS 1 Determinar o valor lógico V ou F de cada uma das seguintes proposições a O número 17 c primo b Fortaleza é a capital do Maranhão c TIRADENTES morreu afogado d 3 5f 32 52 e O valor archimediano de ir é K 7 g 0131313 é uma dízima periódica simples h As diagonais de um paralelogramo são iguais i Todo polígono regular convexo é inscritível j O hexaedro regular tem 8 arestas 16 E D G A R D DE A L E M C A R F IL H O k A expressão n2 n 4 1 n t N só produz números primos I 1 Todo número divisível por 5 termina por 5 m 0 produto de dois números ímpares é um número ímpar n sen2 30 s e n 2 b0c 2 o J 1 3 5 o 1 f n2 i p j As raízes da equação x3 1 0 são todas reais q J O número 125 é c u b o porfcito r 04 e 4 são as raízes da equação x3 I 6x 0 s O cubo é um poliedro regular t j sen x sen f x U 5 f Capítulo 2 Operações Lógicas sobre Proposições 1 Quando pensamos efetuamos muitas vezes certas operações sobre proposições chamadas operações lógicas Estas obedecem a regras de um cálculo denominado cálculo proposicional semelhante ao da aritmética sobre números Bstudarcmos a seguir as operações lógicas fundamentais 2 NEGAÇÃO O T Definição Chamase negação de uma proposição p a proposição representada por não p cujo valor lógico é a verdadeV quando p é falsa c a falsidadeF quando p é verdadeira Assim não p tem o valor lógico oposto daquele de p Simbolicamente a negação de p indicase com a notação p que se lé não p O valor lógico da negação de uma proposição é portanto definido pela seguinte tabelaverdade muito simples ou seja pelas igualdades V F F V e V p Vp Hxemplos 1 p 2 3 5 V c p 2 3 5 F V p Vp V F 2 q 7 3 F e q 7 3 V V q Vq F V 3 r Roma é a capital da França F t r Roma não é a capital da França V V r Vr F V Na linguagem comum a negação efetuasc nos casos mais simples antepondo o advérbio não ao verbo da proposição dada Assim p ex a negação da proposição p O Soi é uma estrela é p O Sol não é uma estrela Outra maneira de efetuar a negação consiste cm antepor à proposição dada expressões tais como não é verdade que é falso que Assim p ex a negação da proposição q Carlos ó mecânico é j Não é verdade que Carlos c mecânico ou q É falso que Carlos c mecânico Observese entretanto que a negação dc Todos os homens são elegantes é Nem todos os homens são elegantes e a de Nenhum homem c elegante é Algum homem é elegante 18 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O 3 CONJUNÇÃO A I Definição Cbamase conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por p e q cujo valor lógico é a verdadeV quando as proposições p e q são ambas verdadeiras e a falsidadeF nos demais casos Simbolicamente a conjunção de duas proposições p e q indicase com a notação p a q que se lê p e q O valor lógico da conjunção de duas proposições c portanto definido pela seguinte tabelaverdade IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 19 p q p A q V v v V F F F V F F F F ou seja pelas igualdades V A V V V A F F F A V F F A F F e Vp Aq Vp A Vq Fxemplos 1 p A neve é branca V q 2 5 V p A q A neve é branca e 2 5 V Vp A q VpJ A Vq V A V V 2 í p O enxofre é verde F q 7 é um número primo V p A q O enxofre é verde e 7 é um número primo F Vp A q Vp A Vq F A V F 3 p CANTOR nasceu na Rússia V q FERMAT era médico F p A q CANTOR nasceu na Rússia c FERMAT era médico F Vp A q Vp A Vqj VA F F 4 í p tr 4 F q sen j O F p A q rc 4 e sen 0 F V p A q Vp A Vq F A F F 4 DISJUNÇÃO V e g Definição Chamase disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por p ou q cujo valor lógico é a verdadeV quando ao menos uma das proposições p e q é verdadeira e a falsidadeF quando as proposições p e q são ambas falsas Simbolicamente a disjunção de duas proposições p e q indicase com a notação p V q que se lê p ou q O valor lógico da disjunção de duas proposições 6 portanto definido pela seguinte tabelaverdade 2 0 E D G A R D OE A L E N C A R F IL H O p q p V q V V V V F V F V V F F F ou seja pelas igualdades V V V V V V F v F V v V F V F F Vp V q Vip V Vq Hxemplos 1 íp Paris é a capital da França V q 9 4 5 V p V i Paris é a capital da França ou 9 4 5 VJ V p V q V p V V q V V V V 2 i p CAMÕES escreveu os Lusíadas V n n 3 F p V q CAMÕES escreveu os Lusíadas ou n 3 V Vp V q Vp V VqJ V V F V 3 í p Roma é a capital da Rússia F q 57 é uma fração própria V p V q Roma é a capital da Rússia ou 57 c uma fração própria V Vp Vq Vp V Vq F V V V I N IC I A Ç Ã O À LÓ G IC A M A T E M Á T IC A 21 4 i p CARLOS GOMES nasccu na Bahia F q V l F p V q CARLOS GOMES nasceu na Bahia ou T l F Vp V q Vp V Vq F V F F 5 DISJUNÇÃO EXCLUSIVA V Na linguagem comum a palavra ou tem dois sentidos Assim p ex conside remos as duas seguintes proposições compostas P Carlos é médico ou professor O Mario c alagoano ou gaúcho Na proposição P sc está a indicar que uma pelo menos das proposições Carlos é médico Carlos é professor é verdadeira podendo ser ambas verdadeiras Carlos c médico e professor Mas na proposição Q se está a precisar que uma c somente uma das proposições Mario é alagoano Mario é gaúcho é verdadeira pois não c possível ocorrer Mario é alagoano c gaúcho Na proposição P disc que ou é inclusivo enquanto que na proposição Q dizse que ou é exclusivo Fin Lógica Matemática usase habitualmente o símbolo V para ou inclusivo e o símbolo V para ou exclusivo Assim sendo a proposição P c a disjunção inclusiva ou apenas disjunção das proposições simples Carlos c médico Carlos é proíessor isto c P Carlos é médico V Carlos c professor ao passo que a proposição O c a disjunção exclusiva das proposições simples Mario é alagoano Mário c gaúcho isto c O Mario é alagoano V Mario c gaúcho De um modo geral chamase disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada simbolicamente por p V q que se le ou p ou q ou p ou q mas não ambos cujo valor lógico c a verdadeV somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira mas não quando p c q são ambas verdadeiras c a falsidadeF quando p c q são ambas verdadeiras ou ambas falsas Logo o valor lógico da disjunção exclusiva de duas proposições c definido peia seguinte tabelaverdade p q p v q v V F V F v F v v F F F ou seja pelas igualdades v v v F v v f v F y v v f v f f e Vp v q Vp v Vq NOTA A língua latina tem duas palavras diferentes correspondentes aos dois sentidos distintos da palavra ou na linguagem comum A palavra latina vei exprime a disjunção no seu sentido débil ou inclusivo ao passo que a palas latina aut exprime a disjunção no seu sentido forte ou exclusivo 6 CONDICIONAL Definição Charnase proposição condicional ou apenas condicional uma proposição representada por sc p então q cujo valor lógico é a falsidadeF no caso em que p é verdadeira c q é falsa c a verdade V nos demais casos Simbolicamente a condicional de duas proposições p e q indicase com a notação p q que também se lê dc uma das seguintes maneiras 1 p é condição suficiente para q ii q é condição necessária para p Na condicional p q dizsc que p é o antecedente e q o consequente O sím bolo L c chamado símbolo de implicação 0 valor lógico da condicional de duas proposições é portanto definido pela seguinte tabelaverdade 2 2 E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O p q V v v V F F F V v F F v ou seja pelas igualdades V v V V V F P f v v f f v C Vp qj Vp Vq Portanto uma condicional é verdadeira todas as vezes que o seu antecedente é uma proposição talsa IN IC I A Ç Ã O à L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 23 Exemplos 1 íp GALOIS morreu em duelo V 1 q 17 c um número real V p q Sc GALOIS morreu em duelo então 7r é um número real V Vp qj Vp Vq V V V 2 i p O mes de Maio tem 31 dias V q A Terra é plana F p q Se o mcs de Maio tem 31 dias então a Terra é plana F Vp q Vp Vq V F F 3 i p DANTE escreveu os Lusíadas F I q CANTOR criou a Teoria dos Conjuntos V p q Sc DANTE escreveu os Lusíadas então CANTOR criou a Teoria dos Conjuntos V Vp q Vp Vq F V V 4 j p SANTOS DUMONT nasceu no Ceará F q O ano tem 9 meses F p q Se SANTOS DUMONT nasceu no Ceará então o ano tem 9 meses V Vp q Vpj Vq F F V NOTA Uma condicional p q não afirma que o consequente q se deduz ou é conseqüência do antecedente p Assim p ex as condicionais não estão a afirmar de modo nenhum que o lato de Brasília ser lima cidadc se deduz do fato de 7 ser um número ímpar ou que a proposição SANTOS DUMONT nasceu no Ceará5 é conseqüência da proposição u3 S 9 O que uma condicional afirma c unicamente uma relação entre os valores lógicos do anlcccdcn te e do consequente de acordo com a tabelaverdade anterior 7 BICONDICIONAL Definição Chamase proposição bicondicional ou apenas bicondicional uma proposição representada por p sc c somente se q cujo valor lógico c a verdade V quando p ú q são ambas verdadeiras ou ambas falsas c a falsidadeF nos demais casos 7 é um número ímpar Brasília c uma cidade 3 5 9 SANTOS DUMONT nasceu no Ceará Simbolicamente a bicondicional de duas proposições p e q indicase com a notação p q que também sc lê de uma das seguintes maneiras i p é condição necessária c suficiente para q ii q é condição necessária e suficiente para p O valor lógico da bicondicional de duas proposições é portanto definido pela seguinte tabelaverdade 2 4 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O p q p q v v v v F F F v F F F v ou seja pelas igualdades V V V V F F F V F F F V e Vp q Vp Vq Portanto uma bicondicional c verdadeira somente quando também o são as duas condicionais p q e q p Exemplos 1 j p Roma fica na Europa V q A neve é branca V P q Roma fica na Europa se c somente se a neve é branca V Vp q Vp Vq V V V 2 í p Lisboa é a capital de Portugal V l q tg f 3 F p q Eisboa é a capital de Portugal se e somente se tg 3 F VpH q Vp r Vq V F F 3 p VASCO DA GAMA descobriu o Brasil F j q TIRADENTES foi enforcado V P q VASCO DA GAMA descobriu o Brasil se e somente sc TIRADENTES foi enforcado F Vp v q Vp Vq F V F IN IC I A Ç Ã O à L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 25 4 p A Terra é plana F q V c um número racional F p q A Terra c plana se e somente se yJT é um número racional V Vp q Vp Vq F F V EXERCÍCOS 1 Sejam as proposições p Está frio e q Está chovendo Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições a p b p A q c p V q d q p e p q f p V q g p A q 00 p q i p A q p 2 Sejam as proposiçocs p Jorge é rico c q Carlos c feliz Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições a q p b p V q c q p d p q e p f p A q p 3 Sejítm as proposições p Cláudio lála inglês e q Cláudio fala alemáo Traduir para a linguagem corrente as seguintes proposições a p V q b p A q c p A q d p A q c p f p A q 4 Sejam as proposições p João é gaúcho e q Jaime c paulista Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições a H P A q b p c p V q d p q e p q f qpJ 5 Sejam as proposições p Marcos é alto e q Marcos é elegante Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições aj Marcos é alto e elegante b Marcos é alto mas não é elegante c Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante d Marcos não c nem alto e nem elegante e Marcos é alto ou c baixo e elegante f É falso que Marcos c baixo ou quo não é elegante 6 Sejam as proposições p Suely c rica c q Suely é feliz Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições a Suely é pobre mas feliz b Suely é rica ou infeliz c Suely é pobre e infeliz d Suely é pobre ou rica mas é inleliz 7 Sejam as proposições p Carlos ala francês q Carlos fala inglês e r Carlos fala alemão Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições a Carlos fala francês ou inglês mas não fala alemão b Carlos fala francês e inglês ou não fala francês e alemão c É falso que Carlos fala francês mas que não fala alemão d É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas que não fala francês 8 Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas a x 0 o ii x 0 b x O e y0 c x 1 tu x y 0 d x2 x x e x 1 9 Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas a x y 0 e z 0 ou 0 b x 0 e y 7 x ou 7 0 c x 0 ou x ü e y 0 d x y e t ou X y c r 0 10 Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas a Se x 0 então y 2 íb Se x y 2 então z 0 c Se x 1 ou z 2 então y J d Se z 5 então x I e x 2 c Se x y então x z 5 e y z 5 f Se x y z e 1 então x y 1 g Se x 2 então x I ou x 0 h y 4 esc x y então x 5 11 Simbolizar as seguintes proposições matemáticas a x ê maior que 5 e menor que 7 ou x não é igual a 6 b Se x é menor que 5 e maior que 3 então x c igual a 4 c x é maior que 1 ou x é menor que 1 e maioi que 0 26 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 12 Determinar o valor lógico V ou F de cada uma das seguintes proposições a 3 2 7 e 5 5 10 b 2 7 9 e 4 8 1 2 c sen n 0 e cos n 0 d 1 0 A 2 2 4 e 0 1 A y T é irracional f Í T 2 1 A it é racionai g f T 1 A fs é racional 13 Determinar o valor lógico V ou F de cada uma das seguintes proposições a Roma é a capital da França ou tg45 I b FLEMING descobriu a penicilina ou sen30 c V o ou Londres é a capital da Itália d 2 T ou Recife é a capital do Ceará e 1 V rr nao é um número real 0 2 2 V sen90 tg45 g 52 10 V 7r é racional h 3 3 V 5 5 i f 4 2 f T V 13 é um número primo ò 5 7 V i i 2 k 5 0 V tg 1 14 Determinar o valor lógico V ou F de cada uma das seguintes proposições a Se 3 2 6 entao 4 4 9 bj Se 0 1 então T é irracional c Se V 3 1 então 1 2 d Se j 1 1 0 então sen30 e LgóO0 y J 2 2 f y j V T 2 2 g 1 V 2 T 5 h 7J 4 3 y f T 1 5 Determinar o valor lógico V ou F de cada uma das seguintes proposições a 3 4 7 sc c somente se 53 125 b 02 1 sc c somente se 1 5 3 c 4 sc e somente se JT 0 d tg7r 1 scc somente sc senir 0 e 1 2 rr2 2 0 f 2 0 JT2 0 g 3J 4 2 5 2 rr é racional h 1 sen cos I i seri20 I cos20 2 j v T 2 16 Determinar o valor lógico V ou F de cada uma das seguintes proposições a Nâo é verdade que 12 é um número ímpar b Não é verdade que Belém é a capital do Pará c É falso que 2 3 5 e 1 1 3 d E falso quo 3 3 6 ou 1 0 e J 1 2 3 4 5 i 1 1 5 3 3 1 g 2 2 4 3 3 7 1 1 4 h 2 2 4 e 3 5 8 17 Determinar o valor lógico V ou F de cada uma das seguintes proposições a senO 0 ou eosO 1 b 2 3 8 ou 43 té 4 3 e tg45 2 se e somente se ctg45 3 d Brasília é a capital do Brasil c 2o 0 ou 3o I e 32 9 3 5 A O2 0 O 34 81 2 I 3 5 0 0 g 43 64 3 3 7 1 i 2 18 Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente V c h determinar o valor lógico V ou F de cada uma das seguintes proposições a p A q b p V q c p A q d p A q e p v q f p A p V q 19 Determinar Vp em cada um dos seguintes casos sabendo a VqJ F e Vp A q F b Vq F e Vp V q F c Vq F e Vpq F d Vq F e Vq p V e Vq V e V p q F f Vq F e Vq p V 20 Determinar Vp e Vq cm cada um dos seguintes casos sabendo a Vp q V e Vp A q F b Vp q V e Vp V q F c V p q V e Vp A qj V d Vp q V e Vp V qj V e Vp q F e Vp V qj V 28 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O Capitulo 3 Construção de TabelasVerdade 1 TABELAVERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA Dadas várias proposições simples p q r podemos combinálas pelos conectivos lógicos A V e construir proposições compostas tais como pp q p v p q Qp q p q A q Rp q r p q V r A q V fp r Então com o emprego das tabelasvcrdadc das operações lógicas lundamentais Cap 2 p p A q p V q p q p q é possível construir a tabelaverdadc correspondente a qualquer proposição compos ta dada tabeíaverdade esta que mostrará exatamente os casos em que a proposição composta será verdadeiraV ou falsaF admitindose como é sabido que o seu valor lógico só depende dos valores lógicos das proposições simples componentes 2 NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA VERDADE O número de linhas da tabelaverdade de uma proposição composta deponde número de proposições simples que a integram sendo dado pelo seguinte teorema A tabelaverdade de uma proposição composta eom n proposições simple componentes contém 2n linhas 30 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O Dem Com efeito toda proposição simples tem dois valores lógicos V e F que se excluem Portanto para uma proposição composta Ppi p2 pn com n proposições simples componentes pi p2 Pn há tantas possibilidades deatri buição dos valores lógicos V c F a tais componentes quantos são os arranjos com repetição n a n dos dois elementos V e F isto é A2jn 2n segundo ensina a Análise Combinatória 3 CONSTRUÇÃO DA TABELAVERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA Para a construção prática da tabclaverdade dc unia proposição composta começase por contar o número dc proposições simples quo a integram Sc há n proposições simples componentes p p pn então a tabclaverdade contém 2n linhas Posto isto à 1 proposição simples p atribuemse 2n2 2n valoresV seguidos de 2n1 valores F à 2 proposição simples p2 atribuemse 2n4 2n valores V seguidos de 2n 2 valores F seguidos dc 2n 2 valores Vseguidos finalmente dc 2n 2 valores F e assim poT diante De modo genérico a késima proposição simples pkn atribuemse alternadamente 2n2c 2n valores V seguidos de igual número de valores F No caso p ex de uma proposição composta com cinco 5 proposições simples componentes a tabelaveidade contém 25 32 linhas e os grupos de valores V e F sc alternam de 16 em 16 para a Ia proposição simples p de 8 em 8 para a 2 proposição simples p2 de 4 em 4 para a 3 proposição simples p 1 de 2 cm 2 para a 4 proposição simples p4 c enfim de 1 em 1 para a 5 proposição simples ps 4 EXEMPLIFICAÇÃO I Construir a tabelavcrdade da proposição Pp q p A q 1 Resolução Formase em primeiro lugar o par de colunas correspondentes às duas proposições simples componentes p c q Em seguida formase a coluna para q Depois formase a coluna para p a q Afinal formase a coluna relativa aos valores lógicos da proposição composta dada p 1 q p A q p A q v v F F v v F v v F F v F F v F F v F v IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 31 2 Resolução Formamse primeiro as colunas corrcspondentes às duas proposições simples p e q Em seguida à direita traçase uma coluna para cada Uma dessas proposições c para cada um dos conectivos que figuram na proposição composta dada p q P A q V v v F F v F F Depois numa certa ordein completamse essas colunas escrevendo em cada uma delas os valores lógicos convenientes no modo abaixo indicado p q P A L v v v v F F F v F F v v v F F v v F F F v F F v F F v F 4 1 3 o 1 Os valores lógicos da proposição composta dada encontramse na coluna completada em último lugar coluna 4 Portanto os valores lógicos da proposição composta dada correspondentes a todas as possíveis atribuições dos valores lógicos V e F às proposições simples componentes p c q W VF FV e FF são V F V e V isto é simbolicamente P W V P VF F P FV V P FF V ou seja abreviadamente P W VF FV FF V F W Observese que a proposição Pp q associa a cada um dos elementos do conjunto U W VF FV FF um único elemento do conjunto V F isto é Pp q outra coisa não é que uma função de U em V F Pp q U V F cuja representação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte 32 E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O U 3 Resolução Resulta de suprimir na tabelaverdade anterior as duas primeiras colunas da esquerda iclativas às proposições simples componentes p e q o que dá a seguinte tabelaverdade simplificada para a proposição composta dada P A q V v F F v F v v v F v F F F v v F F v F 4 1 3 2 1 2 Construir a abelavcrdadc da proposição Pp q M p a q V pj lí1 Resolução P q p A q q P P A q q p p A q V qp v v v v F F F v F F F v v v F v F F v v v I F F v v F v 2 Resolução p q P A q V q P v v F v v v F F v v v v F v v F F v v F F v F v v F F v v v v F F F F v F F F v F F v F 3 1 2 1 4 3 1 2 1 I N IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A Portanto simbolicamente PVV F P VF V PFV V P FF V ou seja abreviadamente P W VI FV FF FV W Obscrvesc que Pp q outra coisa não 6 que uma função de li W VF FV FF em V F cuja representação gráfica por um diagrama sagital 6 a seguinte 3 Resolução P A q v q P F v v v F F v v v V v F F v v F F v v F F V v v v F F v F F F v F F v F 3 1 2 1 4 3 1 2 1 3 Construir a tabelaverdade da proposição Pp q r p V r q A r 1 Resolução P q T r p V r q A p V r q A r v v v F v F F v v F v V v v v F v F V F F v F F v v F F F V v F F F V F v F v v v V F F v F F F V F F F v v F F E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O 34 2 Resolução p q r P V i A r V v v v v F v F v F F v v v F v v v F v v v v F v F v v v F v F F F F V v F F v v v F F F F v F F v v F F F v v v F F V F v F F v v F v v v v F F F v F F F v v F F F v F F F F v v F F F F v F 1 3 2 J 4 1 3 2 1 Portanto simbolicamente P V W F PW F V PVFV F PVFF F PFVV V PFVF V PFFV V PFFF F ou seja abreviadamente PfVVV W F VFV VFF F W FVF FFV FFF FV FFW V F Observese que a proposição Pp q r outra coisa não é que uma função de u 3 w v W F VFV VFF F W FVF FFV FFF em V F cuja represen tação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 3a Resolução 35 p V r q A r v v F v F v F F v v v v F v v v v F v v F v F F F F v v v v F F F F v F F F F v v v F F v F v v F v v v v F F F F v v F F F v F v v F F F F v F 1 3 2 1 4 1 3 2 i 4 Construir a tabelaverdade da proposição Pp q r p q A q r p r Resolução P q r P q A q r P y r v v v v v v v v v V v v V v v v F v v v F v F F v v F F v F v v F F F F v V v v v v v F F v F F F F v F v v F F F v v F v v v v v v v F v v F v F F v v F v F F v F v F F F v F v F v F v v v F v V F F F F v F v F v F v F v F 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 Portanto simbolicamente PW V V PVVF V P VFV V PVFF V PF W V PFVF V PFFV V PFFF V ou seja abreviadamente PW V W F VFV VFF F W FVF FFV FFF VVVVVVW Observese que a última coluna coluna 4 da ta bei averdade da proposição Pp q r só encerra a letra Vverdade isto é o valor lógico desta proposição é sempre V quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes p q e r 5 Construir a tabelaverdade da proposição Pp q r p q V r A q V p r 3e E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O Resolução p y q V r A q V P r V v F v v v F F v v v F F v V F F v F F F F v v v v v F V v v F v v v v F F v F F v V v v F v F F F F v v v v F F v F v v v F F v v F v F v F v F v F F F F v v F F v F F v v F v v F F F v F v F v F v v F v F v v F F F F v F 1 4 2 1 3 1 6 5 1 4 1 3 2 1 Notese que é uma tabelaverdade simplificada da proposição Pp q r pois não encerra as colunas relativas às proposições componentes p q e r Portanto simbolicamente PW V F PVVF F PVFV V PVFF F P F W F PFVF F PFFV F PFFF V ou seja abreviadamente PW V W F VFV VFF F W FVF FFV FFF FFVFFFFV 5 VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA Dada uma proposição composta Pp q r podese sempre determinar o seu valor lógico V ou F quando são dados ou conhecidos os valores lógicos respectivos das proposições componentes p q r IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 37 Exemplos 1 Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente V e F determinar o valor lógico V ou F da proposição PÍP q p v q p A q Resolução Temos sucessivamente VP V V F V A F V F A V F F V 2 Sejam as proposições p ir 3 e q sen 0 Determinar o valor lógico V ou F da proposição Pp q p q p p A q Resolução As proposições componentes p e q são ambas falsas isto é Vp F e Vq F Portanto VP F F M F F A F V F F V V V 3 Sabendo que Vp V Vq F e Vr F determinar o valor lógico V ou F da proposição Pp q r q r p V q p j Resolução Temos sucessivamente VP F F V V F v V F F F FJ V V V F F V j v V F F V F F 4 Sabendo que Vr V determinar o valor lógico V ou F da proposição p q V r Resolução Como r c vcrdadciraV a disjunção q V r é vcrdadciraV Logo a condiciona dada é verdadeiraV pois o seu consequente é verdadeiro V S Sabendo que Vq V determinar o valor lógico V ou F da proposição p q q p Resolução Como qé verdadeiraV então q é falsaF Logo a condicional q p é verdadeiraV pois o seu antecedente é falsoF Por conseqüência a condicional dada é verdadeiraV pois o seu consequente é verdadciroVJ 6 Sabendo que as proposições x 0 e x y são verdadeiras e que a proposição y z é falsa determinar o valor lógico V ou F da proposição x O V x y t y z Resolução Temos sucessivamente V V V rF FV F V F v v 6 USO DE PARENTESIS óbvia a necessidade de usar parêntesis na simbolização das proposições que devcin ser colocados para evitar qualquer tipo de ambiguidade Assim p ex a expressão p A q V r dá lugar colocando parêntesis às duas seguintes proposições 0 p A q V r e ii p A q V r que não têm o mesmo significado pois na i o conectivo principal é V e na ii o conectivo principal c A isto é a i 6 uma disjunção e a ii c uma conjunção Analogamente a expressão p A qr V s dá lugar colocando parêntesis às seguintes proposições tP A s r V s p A q r V s p A q r V s p A q r V s p A qrV s tais que duas quaisquer delas não têm o mesmo significado Por outro lado cm muitos casos parêntesis podem ser suprimidos a fim dc simplificar as proposições simbolizadas desde que naturalmente ambiguidade alguma venha a aparecer A supressão de parêntesis nas proposições simbolizadas se faz mediante algumas convenções das quais são particularmente importantes as duas seguintes I A ordem de precedencia para os conectivos é 1 2 A e V 3 4 Portanto o conectivo mais fraco c e o conectivo mais forte é Ássim p ex a proposição p q s A r é uma bicondicional c nunca uma condicional ou uma conjunção Para convertêla numa condicional há que usar parêntesis p q s A rj 3 8 E D G A R O DE A L E N C A R F IL H O I N IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 39 e analogamente para convertêla numa conjunção p q s A r O conseqüente da condicional é uma bícondicional Desejandose converter este consequente numa conjunção cumpre escrever P q s A r Também são bicondicionais as três seguintes proposições p A q jtr V s p q r A s p V q r s II Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido suprimem se os parêntesis fazendose a associação a partir da esquerda Segundo estas duas convenções as quatro seguintes proposições ÜMP a q v pi P V q A r A p p V qj A r A p p q p V r escrevemse mais simplesmente assim p A q V p p V q A r A p p V q A r A p p q p V rj 7 OUTROS SÍMBOLOS PARA OS CONECTIVOS Nos livros de Lógica usamse diferentes símbolos para os conectivos Assim p ex são frequentemente usados os símbolos 1 para a negação e ec para a conjunção A D ferradura para a condicional EXERCÍCIOS 1 Construir as tabelasverdade das seguintes proposições a p V q b p q c p A q p V q d p p e p q pAq f q q A p g p q íi q P hj p q p A q 2 Construir as ta belasverdade das seguintes proposições a p A r q V r b p r q cj pMp r q V r d p A q r V f p q V i 40 E D G A R D DE A L E N C A R F fL H O 3 Determinar P W VF FV FF em cada um dos seguintes casos a Pp qj CP q b P pq p V q p 0 Pp q p V q A H p A q d Pp qj p A q V p A q e Pp q p V q A p V q f Pp q q V p q p g pp q p V q A p q p Determinar PV W W F VFV VFF F W FVF FFV FFF em cada um dos seguintes casos a Pp q r p V j q A r b Pp q r tP A q V i c Pp q r p V q A r d Pp q r p V q A p V r e Pp q c p V r A q V r f Pp q r M p V q A p V r Determinar PVFVem cada um dos seguintes casos a Pp q r p A M q b Pp q r p A q V r c Pp q r ip A q p V r d Pp q r r A p V q A r V p A qj e Pp q r p V q r q V r f Pp q r p V q r A p V r q 6 Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente F e V determinar o valor lógico V ou F da proposição p A q 4 p A p q q V p 7 Sejam as proposições p tgjr x ctgx c q n 2 Determinar o valor lógico V ou F de cada uma das seguintes proposições a p A q V p A q b p q A p q c p A q p v q d p V p v qj V p A q 8 Sabendo que os valores Lógicos das proposições p q e r são respectivamente V F e F determinar o valor lógico V ou F de cada uma das seguintes propor ções i a ppq V pr b p ÚUP r c p A q 0 p lT 9 Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que as propostçoes r e s são falsas determinar o valor lógico V ou F de cada urna das segum es proposições a p A q f b i V s q c q p A s d p r A s e q S r Ó r P A q g q V r A p V s h r A p A q i p A q V r 0 t r p V s q k s r p q 0 r q P r 10 Sabcndo que os valores lógicos das proposições p q r c s s ã o respectivamente V V F e F determinar o valor lógico V ou F de cada urna das seguintes proposições a p q q p b t P lp r c p t P r d p A q P V q e p A s p A s O p V sj A s V i 11 Sabcndo que VpVr V e Vq Vs F determinar o valor lógico V ou F de cada urna das seguintes proposições a p Aq r A S b p q í c p q s r d p A q V s p s e q A r A s p s O p q p V r A s g p A q A r A s pV s b p v s V s A r 12 Sabcndo que as proposições x 0 e x y são verdadeiras c que as proposições y e y t são falsas determinar o valor logicoV ou f de cada uma das seguintes proposições a x l A x y y b x 0 V y t y z íc 1 0 V e x 0 x y V y t6 t 13 Sabcndo que a condicional p q é verdadeiraV determinar o valor lógico V ou F das condicionais p V i q V r e p A r q A r IN IC I A Ç Ã O A L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 14 Determinar o valor lógico V ou F de cada uma das seguinies proposições a p q A r sabendo que VpJ Vr V b p A q p V r sabendo que Vp Vr V c p q A p V r sabendo que VqJ F c Vr V 15 Suprimir o maior número possível de parêntesis nas seguintes proposições a q r V q p A q b p A q q r V q c p V qr V q A r A q 4 2 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O Capitulo 4 Tautologías Contradições e Contingências I TAUTOLOGIA Definição Chamasc tautologia toda a proposição composta cuja última coluna da sua tabclaverdade encerra somente a letra V verdade Em outros termos tautologia é toda proposição compostn Pp q r cujo valor lógico é sempre Vverdade quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p q r As tautologías são também denominadas proposições tautológicas ou proposições logicamente verdadeiras É imediato que as proposições p p e p p são tautológicas Principio de identidade para as proposições hxeniplos 1 A proposição p A p Princípio da não contradição é tautológica conforme se vê pela sua tabelaverdade p p p A p p A p v F F v F v P V Portanto dizer que uma proposição não pode ser simultáneamente verdadeira e falsa é sempre verdadeiro 2 A proposição p V p Princípio do terceiro excluído é tautológica corno imediatamente se vc pela sua labclaverdadc 4 4 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O p p P V P v F v F v v Portanto dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro 3 A proposição up V M p A q f c tautológica conforme se vê pela sua tabeia verdade p 9 p A q H p A q p V p A q v v v F v v F F v v F v F v v F F F v v 4 A proposição p A q M pq é tautológica conforme mostra a sua abcla verdade p q p A q pq p A q pe q v V v v v v F F 1 v F v F F v F F F v v 5 A proposição p V q A qp é tautológica conforme mostra a sua labelaverdíidc p q q q A q p V q A q p V q A q p v v F F v v V f v F v v F v F F F v F v F F v 6 A proposição up A r q V r c tautológica conforme se vê pela sua tabelaverdade I N IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T F M Á T IC A 45 p q r q p A r q V r p A r q V r v v v F v v v v v F F F F v v F v v v v v v F F v F v v F V V F F v v F v F F F F v F F v v F v v F F F v F v v 7 A proposição íp q p q rJ c tautológica conforme mostra a sua tabelaverdade IIP q r P q r v v v v v v v v v v v V v v F F v V F v F F v F F V v v V v F v v v F F V F v v v V V v F v v v v v F v v V v F v v F F v F v v F F F v F V v v F v F V v F v F F 1 v F v F v F 1 2 1 3 1 4 1 3 1 1 2 PRINCIPIO DE SUBSTITUIÇÃO PARA AS TAUTOLOGIAS Seja Pfp q r uma tautologia e sejam P0p q r QoP q r Rp q r proposições quaisquer Como o valor lógico de Pp q r c sempre Víverdade quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p q r c óbvio que substituindo p por P0q por Q0r por R0 na tautologia Pp q r a nova proposição PP0 Qo Que assim se obtém também é uma tautologia Subsiste pois para as tautologías o chamado Princípio de substituição seguinte Se Pp q r é uma tautologia então PPi Q0 R também é uma tautologia quaisquer que sejam as proposições P0 Q0 R0 4 6 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O 3 CONTRADIÇÃO Definição Chamase contradição toda a proposição composta cuja última coluna da sua tabelaverdade cncerra somente a letra Ffalsidade Km outros termos contradição é toda proposição composta Pp q r cujo valor lógico é sempre Ffaisidade quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p q r Como uma tautologia é sempre verdadeiraV a negação de uma tautologia è sempre falsaF ou seja é uma contradição e viceversa Portanto Pp q r é uma tautologia se e somente se Pp q r é uma contradição e Pp q r é uma contradição se e somente se Pp q r é uma tautologia As contradições são também denominadas proposições contraválidas ou proposições logicamente falsas Para as contradições vale um Princípio de substituição análogo ao que foi dado para as tautologías Se Pp q r é uma contradição então PP0 Qo também é uma contradição quaisquer que sejam as proposições P0 Q0 R0 Exemplos l A proposição p A p é uma contradição conforme sc vê pela sua tabela verdade p P p A p V F F F V F Portanto dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre falso 2 A proposição p p é uma contradição conforme mostra a sua tabela verdade P p p p V F F F V F 3 A proposição P A q A p V q é uma contradição conforme se vê pela sua tabelaverdade I N I C I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 47 p q p A q p V q p V q pAq A p V q V v v v F F V F F v F F F v F v F F F F F F v F 4 A proposição p A p A q é uma contradição conforme mostra a sua tabelaverdade P q p q p A q p A p A q v v F F F F v F F v v F F v v F F F F F v V F F 4 CONTINGÊNCIA Definição Chamase contingência toda a proposição composta em cuja última coluna da sua tabelaverdade figuram as letras V e F cada uma pelo menos uma ve Em outros termos contingência é toda proposição composta que não é tautologia ncm contradição As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições indeterminadas Exemplos 1 A proposição p p é uma contingência conforme se vê pela sua tabela verdade P p pp v F F F v v 2 A proposição p V q p é uma contingência conforme mostra a sua tabdaverdade 4g E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O p q p V q p V q p v v v v v F v v F v v F F F F v 3 A proposição x 3 A x y x f 3 é uma contingência conforme mostra a sua tabclaverdadc x 3 x y x 3 x y x v y x i 3 x 3 A x A y x t 3 v v F F v v v F F V F F F v v F v F F F v V V F EXERCÍCIOS 1 Mostrar que as seguintes proposições sao tautológicas a p p v P P b p p A p p c p qj A p q íd p V q V p e p q A q p f p V q A pq g p p A p V q h p V p v q V q i p A p v q q j p V p A q p k p V q p q D f p q A p q Mostrar que as seguintes proposiçoes sao tautológicas a p qp A r q b p q p q V r c p q p A r q A r d p q p V r q V i Mostrar que as seguintes proposições são contingentes a p V q p A q b q pp q c p p q q d p p q A q 4 Determinar quais das seguintes proposíçoes são tautológicas contra válidas ou contingentes a p p q b p V q p q c p q q p d p q q p e p V q p v q f p V q p q g p p V q V r h p A q p q V r Capítulo 5 Implicação Lógica 1 DEFINIÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA Definição Dizse que uma proposição Píp q r implica logicamente ou apenas implica uma proposição Qp q r se Qlp q r c verdadeiraV todas as vc7es que Pp q r é verdadeirat V Em outros termos uma proposição Pp q r implica logicamente ou apenas implica uma proposição Qp q r todas as vezes que nas respectivas tabelasverdade dessas duas proposições não aparece V na última coluna dc Pp q i e F na última coluna de Qp q r com V e F em uma mesma linha isto e não ocorre Pp q r e Qp q r com valores lógicos simul táñeos respectivamente V c F Indicase que a proposição Pp q r implica a proposição Qp q r com a notação Pp q r Qp q r Em particular toda proposição implica uma tautologia e somente uma contradição implica uma contradição 2 PROPRIEDADES DA IMPLICAÇÃO LÓGICA É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições goza das propriedades reflexivaR e transitivaT isto é simbólicamente R Pp q r Píp q r T Se Pp q r Qp q r e Qp q r Rp q r então Pfp q r Rp q r 50 EDGARD DE ALENCAR FILHO 3 EXEMPLIFICAÇÃO I As tabeiasverdade das proposições p A q p V q p q são P q p A q P V q p q V v V v v V F F v F F V F v F F F F F v A proposição p A q é vcrdadeÍTaV somente na linha 1 e nesta linha as proposições p V q e p q também sao verdadeirasV Logo a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições isto e p A q P V q e p A q p q As mesmas tabelasverdade também demonstram as importantes Regras de inferência O P p v q e q p V q Adição ii p A q p e p A q q Simplificação 2 As tabelasverdade das proposições P q p q q p são P q p q pq q p V v V v v V F F F v F V F v F F F V v v A proposição p q e verdadeiraV nas linhas 1 e 4 c nestas linhas as proposições p q e q ambém são verdadeiras Logo a primeira proposi ção implica cada uma das outras duas proposições isto e P q p q e p q q p 3 A tabehirverdade da proposição p V q A p c I N IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 51 p q pVq p p V q A p v v v F F v F v F F F v v v v F F F v F Esta proposição é verdadeiraV somente na linha 3 e nesta linha a proposição q também é verdadeiraV Logo subsiste a implicação lógica p V q A p q denominada Regra do Silogismo disjuntivo Outra forma desla importante Regra de inferência é p V q A q p 4 A tabclaverdade da proposição p q A p é P q pq p q a p v v v v v F F F F v v F F F v F Esta proposição é verdadeiraV somente na linha 1 e nesta linha a proposição q também é verdadeiraV Logo subsiste a implicação lógica p q A p q denominada Regra Modus ponens 5 As tabelasverdade das proposições pq A q e p são P q pq q pq A q p v v v F F F v F F v F F F v v F F v F F v v v v A proposição vpq A q é verdadeirafV somente na linha 4 e nesta linha a proposição p também é vcrdadeiraV Logo subsiste a implicaçao lógica p q A q p denominada Regra Modus tollens As mesmas tabelasvcrdadc também mostram que M p implica p q isto é p p q 4 TAUTOLOGIAS E IMPLICAÇÃO LOGICA Teorema A proposição Pp q r implica a proposição Qp q r isto é Pp q r Qp q r se e somente se a condicional Pp q r Qp q i d é tautológica Dem i Se Píp q r implica Qp q r então não ocorre que os valores lógicos simultâneos destas duas proposições sejam respectivamente V e l e por conseguinte a última coluna da tabelaverdade da condicional 1 encerra somente a letra V isto é esta condicional é tautológica ji R e c ip r o c a m e n te se a condicional 1 é tautológica isto é se a última coluna da sua tabelaverdade encerra somente a letra V então não ocorre quo os valores lógicos simultâneos das proposições P p q r e Qp q r sejam respectivamente V e F e por conseguinte a primeira proposição implica a segunda Portanto a ioda im plicação lógica corresponde uma condicional tautológica e viceversa Corolário Se Pp q r Q p q r então também se tem PP Q0 Rn 0PQoRo quaisquer que sejam as proposições P0 Q0 R0 NOTA Os símbolos e são distintos pois o primeiro é de operação lógica aplicado p ex às proposições p e q dá a nova proposição p q enquanto que o segundo é de relação estabelece quo a condicional Pp q r Qp q r é tautológica E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O Exemplos 1 A condicional p q A q r p r é tautológica pois a últim coluna da sua tabelaverdade encerra somente a letra V Cap 3 4 Ex 4 Logo subsiste a implicação lógica Cp q A q r p r denominada Regra do Silogismo hipotético 2 A condicional p e tautológica pois a última coluna da su tabelaverdade encerra somente a letra V IN IC IA Ç Ã O à L C G IC A M A T E M Á T IC A 5 p q p P A p p A p q V v F F v V F F F v F v v F v F F v F v Logo subsiste a implicação lógica p A p q Assim de uma contradição p A p se deduz qualquer proposição q Princípio da inconsistência 3 A proposição p q A p implica a proposição q pois a condicional p q A p q é tautológica conforme se ve pela sua tabelaverdade p q p q p q A p p q A p q v v v v v v F F F v F v F F v F F v F v Portanto simbolicamente p q A p q EXERCfCIOS 1 Mostrar que a pio posição p implica a proposição qíp q cm cada um do seguintes casos a p n 3 q tg45 1 b p sen30 1 q y j 2 f 1 c p ABCD é um losango q ABCD é um paralelogramo d p O polígono ABCDE é regular q O polígono ABC DE é ins crit ível e p O número inteiro x termina por 0 q O número mtero x i divisível por 5 f p ABC é um triângulo q A soma dos ângulos internos A B e C é igual a 180 g p ts v i q sén f cos f 2 Mostrar a q p q b q p A q p 3 Mostar que p q não implica p q Resolução As tabelasverdade das duas proposições dadas são 5 4 E D G A ftD D A L O CAR F IL H O p q q p q pq V v F F v v F v v F F v F v v F F v F v A proposição p q é verdadeiraf V na linha 2 e nesta linha a proposição p q é falsaF Logo a primeira proposição não implica a segunda 4 Mostrar que p não implica p A q e que p V q não implica p 5 Mostrar x y V x 4 A x 4 x y 6 Mostrar x 0 x y A x y x 0 Capítulo 6 Equivalência Lógica í DEFINIÇÃO DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA Definição Dizsc que uma proposição Pp q r é logicamente equivalente ou apenas equivalente a uma proposição Qp q r se as tabelasverdade destas duas proposições são idênticas Irtdicasc que a proposição Pp q r c equivalente a proposição Qp q r com a notação Pp q r Qp q r Em particular se as proposições Pp q r e Qp q r são ambas tautologías ou são ambas contradições então são equivalentes 2 PROPRIEDADES DA EQUIVALÊNCIA LÓGICA É imediato que a relação de equivalência lógica entre proposições goza das propriedades reflexivaR simétricaíS e transitivaT isto é simbolicamente R Pp q r Pp q r 0 S Se Pp q r Qp qr então Qp q r Pp q r T Se Pp q r Qp q c Qp q r Rp q r então Pp q r Rp q r 3 EXEMPLIFICAÇÃO i As p r o p o siç õ e s p e p são e q u iv a le n te s isto é s im b o lic a m e n te p Regra da d u p la n e g a çã o Realmente é o que d e m o n str a a tabeiaveT da de 5 6 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O p P p v F v F v F t t Portanto a dupla negação equivale à afirmação 2 As proposições p p e p são equivalentes isto 6 simbolicamente p p p Regia de CLAVIUS Realmente é o que demonstra a tabelaverdade P p p p v F v F v F t t 3 As condicionais p p A q c p q têm tabelasverdade idênticas P q p A q pp A q pq v v v v v v F F F F F v F v v F F F v v Por consequência estas condicionais são equivalentes isto é subsiste a equivalência lógica p p A q fc p q denominada Regra de absorção 4 A condicional p q e a disjunção p V q têm tabelasverdades idênti cas p q pq p p v q v v v F v v F F F F F v v v v F F v v v Por consequência estas duas proposições são equivalentes isto c subsiste a importante equivalência lógica p H q p V q 5 A bicondicional p 4 q e a conjunção p q A q p tem tabelas verdade idênticas I N tC IA Ç Ã O à L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 57 P q p q pq q p p q A q p v v v v v v v F F F v F F v F v F F F F v v v v Por consequência estas duas proposições são equivalentes isto é subsiste a importante equivalência lógica p q p q a q p 6 A bicondicional p qJ c a disjunção p A q V p A q têm tabe lasverdade idênticas P q p q P A q V p A q v v v v v v v F F F V F F v F F F F F v F v F F F V F v F F F F v F F F v v v v t t Por consequência estas duas proposições são equivalentes isto é subsiste a importante equivalência lógica p q p A q V p A q 4 TAUTOLOGIAS E EQUIVALÊNCIA LÓGICA Teorema A proposição P p q r é equivalente à proposição Qp q r isto c Pp q r Qp q r se e somente se a bicondicional Pp q r Qfp q r 1 é tautológica Dem i Sc as proposições Pp q r e Qp q r são equivalentes então têm tabelasverdade idênticas e por conseguinte o valor lógico da bicondicio nal 1 é sempre Vverdade isto c 1 é tautológica ii Reciprocamente se a bicondicional 1 ó tautológica então a última coluna da sua labelaverdade encerra somente a letra Vverdade c por conseguinte os valores lógicos respectivos das proposições Pp q r e Qp q r são ambos Vvcrdade ou são ambos Ffalsidade isto é estas duas proposições são equivalentes Portanto a toda equivalência lógica corresponde uma bicondicional tautológica c viceversa Corolário Se Pp q r Qp q r então também se tem PP0s Q0 R0 QPn Qo Ri quaisquer que sejam as proposições P0 Qn R0 NOTA Os símbolos e são distintos pois o primeiro é de operação lógica aplicado p ex às proposições p e q dá a nova proposição p q enquanto que o segundo é de relação estabelece que a bicondicional Pp q r Qp q r é tautológica Exemplos 1 A bicondicional p A q c p q j oridc c é uma proposição cujo valor iógieo é Ffalsidade é tautológica pois a última coluna da sua tabelavcrdade encerra somente a letra Vverdade 58 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O p q P A q c P q V v V F F V F V v V v V F V V V F F V V F F F V F F F V F V F v v F F F F V V F v F v F 1 3 2 4 1 5 1 2 1 Portanto as proposições p A q c c p q são equivalentes isto é simbolicamente p A q v c p q Nesta equivalência consiste o Método de demonstração por absurdo4 IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 59 2 À bicondicional p A q r p q r é tautológica pois a última coluna da sua tabelaverdade encerra somente a letra Vvcrdade íp A q r P q 0 V v v v v v v v v v v v v v F F v v F v F F v F F v v v v v F v v v F F v F v v v F v F F F v v v v F v v v v F F v V F v F v v F F F F F v v v F v F v v F F F v F v F v F v F 1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 1 Portanto as condicionais p A q r e p q r são equivalentes isto é simbolicamente p A q r p q r Esta importante equivalência lógica é denominada Regra de Exportaçãolmpor tação 3 As proposições x I V x 3 e x 3 A x 1 não são equivalentes pois a bicondicional x 1 V x 3 x 3 A x 1 não é tautológica conforme se vê pela sua tabelaverdade x 1 V x 3 x 3 A x l v v F F F V v v v v v v v F F v F F F F v V F F F v v v v F F F 5 PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL Definição Dada a condicional p q chamamse proposições associadas a p q as três seguintes proposições condicionais que contcm p e q a Proposição recíproca de p q q p b Proposição contrária de p q p q c Proposição contrapositiva de p q q p Ás tabelasverdade destas quatro proposições são 60 E O G A R D DE A L E N C A R F IL H O p q p q qp p q q p v v v v v v v F F v v F F v v F F v F F v v v v t t í c demonstram as duas importantes propriedades I À condicional p q c a sua contrapositiva q p são equivalentes is to é simbolicamente p q q p II A recíproca q p e a contrária p q da condicional p q são equivalentes isto é simbolicamente q p p q As mesmas tabelasverdade também demonstram que a condicional p q e a sua recíproca q p ou a sua contrária p q ntâo são equivalentes A contrária de p q também é denominada a inversa de p q e a contrapositiva de p q outra coisa não é que a contrária da recíproca de p q c por isso também ê denominada contrarecíproca dc p q Também se diz que p q é a direta cm relação às associadas Exemplos 1 Seja a condicional relativa a um triângulo T p q Se T é equilátero então T é isósceles A recíproca desta proposição é q p Sc T c isósceles então T é equilátero Aqui a condicional p q é verdadeiraV mas a sua recíproca q p é falsaF 2 A contrapositiva da condicional p q Se Carlos é professor então c pobre é q p Se Carlos não é pobre então não e professor IN IC I A Ç Ã O à L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 61 3 Seja achar a contrapositiva da condicional Sc x c menor que zero então x não é positivo Representando por p a proposição x é menor que 7erok e por q a proposição x é positivo a condicional dada sob forma simbólica escrevese p q e por conseguinte a sua contrapositiva c q p q p isto é em linguagem corrente Se x c positivo então x não é menor que zero 4 Seja demonstrar a proposição condicional p q Se x2 é ímpar então x c ímpar A contrapositiva desta condicional é q p Se x é par então x 2 c par que vamos demonstrar ser verdadeira Com efeito suponhamos x par isto c x 2 n n Z Como x2 22n2 seguese que x2 e par Logo a contrapositiva é verdadeira e por conseguinte a proposição condicional dada p q também ó verdadeira 5 Determinar a A contrapositiva da contrapositiva de p q b A contrapositiva da recíproca de p q c A contrapositiva da contrária dc p q Resolução A contrapositiva de p q é q p a contrapositiva de q p é p q p q b A recíproca de p q é q p É a contrapositiva de q p c p q c A contrária dc p q é p q E a contrapositiva de p q é q vp q p Observese que a recíproca e a contrária são cada uma a contrapositiva da outra c que a condicional e a contrapositiva são cada uma a contrapositiva da outra 6 Determinar a A contrapositiva de p q b A contrapositiva de p q c A contrapositiva da recíproca dc p q d A recíproca da contrapositiva de p q Resolução a A contrapositiva de p q é q p q p b A contrapositiva dc p q é 4 p q p c A recíproca de p q é q p E a contrapositiva de q p é p q p q d A contrapositiva de p q é 9 p q p E a recíproca de q p c p q 7 Determinar a A contrapositiva da recíproca de x 0 x 1 b A contrapositiva da contrária de x 1 3 Resolução a A recíproca de x 0 x 1 c x 1 D E a cuntraposi tiva desta recíproca c x O x l b A contrária de x l x 3 é x l 3 F a contrapositiva desta contrária c x 3 x 1 62 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O 6 NEGAÇÃO CONJUNTA DE DUAS PROPOSIÇÕES Definição Chamase negação conjunta dc duas proposições p c q a proposição não p e não q isto é simbolicamente p A q A negação conjunta de duas proposições p e q também ndici peia rotação p i q Portanto temos p 4 q p A q Como a proposição p A q é verdadeira somente nr cm que p e q são ambas falsas então a tabclavcrdadc dc p l q c a seguinte p q p 4 q v v F v F F F v F F F v I N I C I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 63 7 NEGAÇÃO DISJUNTA DE DUAS PROPOSIÇÕES Definição Chamase negação disjunta dc duas proposições p e q a proposição não p ou não q isto é simbolicamente p V q A negação disjunta de duas proposições p e q também se indica pela notação p t q Portanto temos p t q p V q Como a proposição pV q é falsa somente no caso em que p e q são ambas verdadeiras então a tabelaverdade de p t q ca seguinte p q p f q v v F v F v F v v F F v Os sírnbolos é t são chamados conectivos de SCIIEFFER EXERCÍCIOS 1 Mostrar que as proposições p e q sao equivalentes p q cm cada um dos seguintes casos a p l 3 4 q l 32 16 b psenO l qco s0 0ü c p 2o 1 q n 4 d p x y q x y z x y z R e p x é p a r q x I é ímpar x S Z f p O triângulo ABC é isósceles AB AC q Os ângulos B e C sáo iguais g p a 1 b q b 1 a h p a b q b a i p 0 triângulo ABC c retângulo em A q a2 b2 cz j p X e a q x a 2 Exprimir a bicondicional p q em função dos três conectivos A V e Resolução Temos p q p q A q p p q p V q q p s q V p Portanto p q p V q A q V p 3 Demonstrar por tabelasverdadc as seguintes equivalências aj p A p V q p b P V p A q p C p p A q p q dj q p V q p q è p íq A p r p q A r f p qj V p r p q V r gJ P q 1 P A r q 4 Mostrar que as proposições x l V x 3 c x 3 A x l não são equivalentes 5 Demonstrar que o conectivo V ou exclusivo exprimese em função dos três conectivos A e V do seguinte modo p V q p V q A p A q Dern Com efeito as tabelasvcrdade de p V q e p V q A p A q são idênticas 4 E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O p q p v q P V q A P A l v v F v v v F F v v v v F v v v F v v v F F F v v F v v v v F F v F F F F F F F v F F F 1 2 1 4 3 1 2 1 6 Demonstrar que os três conectivos V c A exprimemse em funçao do conectivo 4 dc SCHEFFER do seguinte modo a p p f p b p V q p i q l p 4 q c p A q p i p i q i q Dem Realmente é o que demonstram as tres tabelasvcrdadc seguintes I N I C I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 65 a p p P 1 P v F F F v v t b P q p V q p 4 q P 1 q 4p i q v v v F v v F v F v F v v F v F F F v F t t e P q p A q p 1 p q i q p 4 p 4 q 4 q v v v F F v v F F F v F F v F v F F F F F v v F t 7 Demonstrar por tabclasverdade que os três conectivos V e A exprimem se cm lunção do conectivo t dc SCHEFFER do seguinte modo a p b P V q c p A q p t p P t p t q t q p f q t p t q Sabendo que as proposições p c q são verdadeiras e que a proposição r é falsa determinar o valor lógico V ou F das seguintes proposições a p 4 q A q t r b p t q V q 4 r t r 4 p c p t q q 4 r 4 p d p t p V q l q A r 9 DemOmtxar que o conectivo V exprimose em função unicamente de pela equivalência p V q p q p 10 Demonstrar que a negação conjunta e a negação disjunta gozam da propriedade comutativa isto é p 1 qq i p e p t q q t p 11 Demonstrar p t p t p t p p A p 12 Demonstrar que as seguintes proposições são contingentes a p l q y q t p b p t q V r M c p 1 p V q q W E D G A R D d e A L E N C A R F IL H O 6 6 Capítulo 7 Álgebra das Proposições I PROPRIEDVIJES DA CONJUNÇÃO Sejam p q e r proposições simples quaisquer e sejam t c c proposições também simples cuos valores lógicos respectivos são Vverdadc c Ffalsidade a Idempotente p A p p Dem Com efeito são idênticas as t a bcl as veT dade das proposições p A p c p ou seja a bicondiconal p A p p é tautológica p p A p p A p p v v v F F v t f Assim p ex temos i x 1 A x 1 x 1 ii x 0 A x 0 í x 0 b Comutativa p A q q A p Dem Com efeito são idênticas as tabelasvòrdade das proposições p A q c q A p ou seja a bicondicional p A q q A p é tautológica p 4 p A q q A p p A q q A p v v v v v v F F F v F v F F v F F F F v t t Assim p ex temos i x 1 A X 0 x 0 A x 1 ii t i 3 A r 4 n 4 A 7r 3 iii 2 1 A s 3 V T 3 A V I c Associativa p A q A r p A q A r Dem Com cfcilo são idênticas as tabelasvcrdade das proposições p a q A r e p A q A r 6 8 E D G A ft D DE A L E N C A R F IL H O p q r pa q P A q A r q A r P A q A r v v v v v v v v v F V F F F v F v F F F F v F F F F F F F v v F F v F F v F F F F F F F v F F F F F F F F F í F F t Observese que íi bicondicional p A q A r p A q A r C tautológica Assim p ex temos i a 2 b A b c A c d a b A b c A c d ii x 0 A X 1 A X 3 X 0 A x 1 A X 3 d Identidade p A t p C pA Dem Com efeito são idênticas as tabelasvordade das proposições p a t e p p A c e c ou seja as bicondicionais p A t p e p A c c são tauto lógicas P t c p A í P A C p A t p p A c f c v v F v F v v F í v F t F t F t v v Kstas propriedades exprimem quo t e c sao respectivamente elemento neutro e elemento absorvente da conjunção Assim p ex temos i x 1 A I x 0 x 1 ii x 1 A x 0 x 0 IN IC IA Ç A Q A L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 69 2 PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO Sejam p q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simples cujos valores lógicos respectivos são Vverdade e Ffalsidade a Idempotente p v p p Dein Com efeito são idênticas as tabelasvcrdade das proposições p V p e p ou seja a bicondicional p 1 p p é tautológica p P V P p v P P V v v F F v t t Assim p ex lemos i x 0 V x 0 x 0 ii x 1 V x 1 x 1 b Comutativa p V p Dem Com efeito são idênticas as tabelasverdade das proposições p v q e q V p ou seja a bicondicional p V q q V p é tautológica p q P V q q v p p v q q V p v v v v v v F v v v F v v v v F F F í t v Assim p ex temos i x l V x O x O V x l ii a b v b c b c v a b c Associativa p v q V rp v q v r Dem Com efeito são idênticas as tabelasverdade das proposições p v q v r e p v q V r 7 0 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O p q r p v q p V q V r q V r P V q V r v v v v v v v v v F v v v v v F v v v v v v F F v v F v F v v v v v v F v F v v v v F F v F v v v F F F F F í F F t Observcse que a bieondicional p v q V r p v q v r é tautológica Assim p ex temos i x 1 V X 2 V X 4 x 1 V x 2 V X 4 ii j a b V b c v c d a b v b c v c d d Identidade p V t M e p v c p Dem Com efeito são idênticas as tabclasverdade das proposições p V t e t p V c e c ou seja as bícondicionais p V t t e p V cp são tauto lógicas P t c p v t p V c p v t M t p V c p v v F v v v v F í v t F v t F í v v Estas propriedades exprimem que t e c são respectivamente elemento absor vente e elemento neutro da disjunção Assim p ex temos i x 1 V 1 x 0 x J 0 ii x 1 V x 0 x 1 iií x 0 V x2 0 x 0 IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 71 3 PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO Sejam p q e r proposições simples quaisquer a Distributivas i p a q v r p A q V p a r 0 0 P V q A r p V q A p V r Dem i Com efeito são idênticas as tabelasverdade das proposições p A q v r e p A q V p a r p q r q V r P A q V r P A q p A r p A q v p A r v v v v v v v v v v F v v v F v v F v v v F v v v F F F F F F F F v v v F F F F F v F v F F F F F F v v F F F F F F F F F í F F F í Observesc quo a bieondicional p A q V r p a q v p a r é tautológica ii Analogamente são idênticas as tabelasverdade das proposições p v q A r e p v q a p V r P q r q A r P V q A r P v q p V r p V q A p v r v v v v v v v v v v F F v v v v v F v F v v v v v F F F v v v v F v v v v v v v F v F F F v F F F F v F F F v F F F F F F í F F F í Observese que a bicondicional p V q a r p V q A p V r c tautológica A equivalência i exprime que a conjunção é distributiva em relação à disjunção e a equivalência ii exprime que a disjunção é distributiva em relação à conjunção Assim p ex segundo i a proposição Carlos estuda e Jorge ouve música ou lê4 é equivalente à seguinte proposição Carlos estuda e Jorge ouve música ou Carlos estuda e Jorge Jê Segundo ii a proposição Chove ou faz vento e frio é equivalente à seguinte proposição Chove ou faz vento e Chove ou faz frio b Absorção i p A p V q P ii p V Í p A P Dem i Com efeito são idênticas as tabelasverdade das proposições p A p v l c P ou scÍa a bicondicional p a p v q p é tautológica 72 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O p q p V q p A P V q p A p V q p v v v v v v F v v v F v v F v F r F F F í v ii Analogamente são idênticas as tabelasverdade das proposições p V p A q e p ou seja a bicondicional p v p A q 4 p é tautológica P q p a q p V p A q p V p A q p v v v v v v F F v v F v F F v F í F F F v IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 73 c Regras de DE MORGAN 18061871 0 p Aqpvvq ii p v q p A q Dem i Com efeito são idénticas as tabelasverdade das proposições p A q c p v q p q P a q H P A q p q p v q v v v F F F F v F F v F v v F v F v v F v F F F v v v v í t Observese que a bicondicional p A q p v q é tautológica ii Analogamente são idénticas as tabelasvcrdadc das proposições p V q e vp a q p q p v q P V q p q p A q v v v F F F F v F v F F v F F v v F v F F F F F v v v v t r Observesc que a bícondícional p V q p A q c tautológica As Regras dc DE MORGAN ensinam i Negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivale a afirmar que uma pelo menos é falsa ii Negar que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivale a afirmar que ambas são falsas Estas Regras de DE MORGAN podem exprimirse ainda dizendo que a negação transforma a conjunção em disjunção e a disjunção em conjunção Assim p ex segundo i a negação da proposição K inteligente e estuda é a proposição Nao é inteligente ou não estuda Segundo ii a negação da proposição E médico ou professor é a proposição Não médico e não é professor NOTA As Regras de DE MORGAN mostram como é possível definir a disjunção a partir da conjunção e da negação ou a conjunção a partir da disjunção e da negação p vq p A q p A p v q 4 NEGAÇÃO DA CONDICIONAL Como p q p V q Cap 6 3 Ex 4 temos p q P v q H p A q ou seja p q p A q Esla cquivalência também é demonstrada pelas tabclasvcrdadc das proposições p e p a q que são idênticas 74 E D G A R D DE A L E N C A R Fl LH O p q pq p q q P A q v v v F F F v F F v v v F v v F F F F F v F v F t t NOTA A condicional p q não goza das propriedades idempotente comutativa e associativa pois as tabelasverdade das proposições p p e p p q e q p p q r e p q r não são idênticas 5 NEGAÇÃO DA B1CONDICIONAL Como p q c p q A q p Cap 6 3 Ex 5 temos P q P V q A q V p IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 75 e portanto Mp q v q v qiv p P q p A q V q A p ou seja p 9 P A q v P A q Esta equivalência também c demonstrada pelas tabelasverdade das proposições p q c p A q V p A q que são idênticas P q P A q V P A q f v v v v F F F F F v v v F F v v v v F F F v F F v F F F v v v v F t F v F F F v F t v F F As tabelasverdade das proposições M p q p q e p q são idênticas P 9 P 9 pq q p q p p q v v v F F F F F v F F v v v F v F v F v F v v v F F v F t v F t v F t PortantO subsistem as equivalências p q p q p q NOTA A bicondicional p q não goza da propriedade idempotente pois é imediato que uâo são idênticas as tabelasverdade das proposições p p c p mus goza das propriedades comutativa e associativa EXERCÍCIOS 1 Demonstrar as propriedades comutativa e associativa da bicondicional isto c a p q q p b p q r p q f 76 EDGARD DE ALENCAR FILHO 2 Demonstrar por tabelasverdade as equivalencias a p q A r p q A p r b p q v r p q v p Dem a Com efeito são idênticas as tabelasverdade das proposições p qA r e p q a p r P q A r P q A p r v V v v v v v v v v v v v F v F F v v v F v F F v F F F v v F F F v v v v F F F F v F F F v F F F v v v v F v v v F v v F v v F F F v v v F v F F v F F v F v F v F v v F v F F F F v F v Fl v F t t b Analogamente são idênticas as tabelasverdade das proposições p q V r e P q v p r p q V r P 4 V P r v v v v v v v v v v v v v v v v F v v v v v F F v v F v v v F F v v v v v F F F F v F F F v F F F v v v v F v v v F v v F v v v F F v v v F v F F v F v v F v F v F v v F v F F F F v F v F v F t t A equivalência a exprime que a condicional é distributiva à esquerda em relação à conjunção e a equivalência b exprime que a condicional é distributiva à esquerda em relação à disjunção A condicional não 6 distributiva à direita em relação i nenhuma dessas duas operações conjunção e disjunção 3 Dar a negação em linguagem corrente da proposição Rosas são vermelhas e violetas são a7uis I N I C I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 77 Resolução Denotando por p a proposição Rosas são vermelhas c por q a proposição Violetas são azuis a proposição dada sob forma simbólica cscrevese p a q cuja negação é P A O í3 P v Lo a negação da proposição dada cm linguagem corrente 6 Rosas não são vermelhas ou violetas não são azuis 4 Dar a negação em linguagem corrente de cada uma das seguintes proposições a É falso que não está frio ou que está chovendo b Não é verdade que o pai de Marcos c pernambucano ou que a mãe é gaúcha c Não é verdade que as vendas estão diminuindo e que os preços estão au mentando d Não é verdade que Jorge estuda Física mas não Química 5 Demonstrar as seguintes Regras de DE MORGAN para três componentes a p A q A r p v q V r b M p V q V r p A q A r 6 Demonstrar por Indução matemática as seguintes Propriedades distributivas generalizadas a p A q i V qj V V qnJ p A q i V p A q2 V V p A qn b p V qi A q2 A Aqn p V q i A p v q2 A A p v qn Capítulo O Método Dedutivo 1 Todas as implicações c equivalèncias foram demonstradas ate aqui pelo Método das tabelasverdade Vamos agora exemplificar a demonstração de implicações e equivalencias por um método mais eficiente denominado Método de dutivo No emprego do Método dedutivo desempenham papel importante as equiva lencias relativas à Álgebra das Proposições que observamos subsistem quando as proposições simples p q r t verdadeira e c falsa que nelas figuramsão substituídas respectivamente por proposições com postas P Q R I tautología c C contradição 2 EXEMPLIFICAÇÃO 1 Demonstrar as implicações i c p ii p t onde p é urna proposição qualquer c c e t sao proposições cujos valores lógicos respectivos são Ffalsidade c Vverdadc Dem Temos sucessivamente i c p c V p t v p t ii p i p t t Observcse quo as tabelasverdade de c p c p t mostram que estas condicionais são tautológicas p c t c p pM v F v v v F F v v v I N IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 79 2 Demonstrar a implicação p A q p Simplificação Dem Temos sucessivamente p A q P p A q v p p V q V p p v p V q T V qT 3 Demonstrar a implicação pp V q Adição Dem Temos sucessivamente p p V q p V p V q p V p V q T V q T 4 Demonstrar a implicação p q A p q Modus ponens Dem Temos sucessivamente P Ç A P P A P Vq p A p V p A q C V p A q p A q q 5 Demonstrar a implicação p q A q p Modus tollens Dem Temos sucessivamente p q A q p V q A q p A q V q V q p a q V C a q p 6 Demonstrar a implicação p v q A p q Silogismo disjuntivo Dem Temos sucessicamente p v q A p p Ap V q A p C V q a p q A p q 7 Demonstrar a implicação p a q p V q Dem Temos sucessivamente p A q p V q p A q V p V q p V q V p V q p V pV q V q T v T T 8 Demonstrar a implicação p q p Dem Temos sucessivamente p q p p v q p T V qT p V q V p p v p V q 9 Demonstrar a implicação ppq Dem Temos sucessivamente p p q p V p q p V p V q p V p V q p V p V q T V q T 10 Demonstrar a implicação p qp A r q Dem Temos sucessivamente p q p a r q p q v p A r q p V q V p a r V q p A q V p V r V q p A q V p v q V r S p A q V p A q V r T v T 11 Demonstrar a equivalência p q p A q c Redução a absurdo Dem Temos sucessivamente p A q C p A q V c p A q p V q s p V q p q 12 Demonstrar a equivalência pq p v q q Dem Temos sucessivamente p V q 4 q p V q V q p A q V q p V q A q V q p V q A T p V q p q 13 Demonstrar a equivalência p q A p q p Dem Temos sucessivamente p q A p q ç p V q A p V q p V q A q p V C p 14 Demonstrar a equivalência p A q r p q r Ex p or taçaoI mportaç ão Dem Temos sucessivamente p q r p V q r p V q V r p V q V r p A q V r p A q r 15 Demonstrar a equivalência p r A q r p v q r Dem Temos sucessivamente p r A q r p V r A q V r p A q V r p V q V r p V q r 16 Demonstrar a equivalência p q V p r p q v i Dem Temos sucessivamente p q V p r p V q V p v r p V p V q V r p v q V r p q V r 8 0 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O IN IC I A Ç Ã O à L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 81 17 Demonstrar a equivalência p r v q 7 s p A q r V s Dem Temos sucessivamente p r V q s p v r V q V s p V q V r v s p A q V r v 5 p A q r V s 18 Demonstraras equivalencias a p p 4 p b p A q p 4 p 1 q 4 q c p v q p l q 1 p4 q d p q p l p 4 q 4 p 4 p 4 q Dem Temos sucessivamente a p p A p p 4 p b p A q p A q r p 1 q p 4 p l q 4 q c p V q p A q p 4 q p 4 q 1 p 4 q d p q p V q p A q H p A q p 4 q p 4 q 4 p 4 q Cp 4 p 4 q 4 p 4 p 4 q 9 Demonstrar as equivalencias a p p t p b p A q p t q t p f c c p V q p f p T q t q d p q p t q t q Dem Temos sucessivamente a V p p t p b p A q p V q p t q p t q t p t q c p v q p V q p t q p t p t q t q d p q p V q p V q p t q p t q t q 3 REDUÇÃO DO NÚMERO DE CONECTIVOS Teorema E n tre o s c in c o c o n e c tiv o s fu n d a m e n ta is A V três cx p r im c m se em te r m o s d e a p en a s dois d o s se g u in tes pares 1 c V 2 e A 3 e Dem Com efeito 1 A c e x p r im e m se e m te r m o s de e V p A q p A s q p V q p q r p V q p q p q a q p p v q V q V p 2 V c exprimemse e m term o s de e A p V q p V q s p A q p q V q p A q pqp q A q p p A q A p A q 3 A v e exprimemse em termos de e p A q p v q p q pV q p V q p q p q p q A q p Cp q q p Os conectivos A V e não se exprimem em termos de e 0 conectivo v exprimese em função unicamente de p ela equivalência p V q p q q Todos os conectivos exprimemse em termos de um ú n ic o 1 ou t cortforme mostrou A M SCHEFFBR em 1913 2 Ex 18 e 19 82 E D G A R D DE A L É N C A R F IL H O 4 FORMA NORMAL DAS PROPOSIÇÕES Deíinição Dizse que uma proposição está na forma normal FN se e somente se quando muito contém os conectivos A e v Exemplificando estão na forma normal FN as seguintes proposições p A q p V q p A q V q V r Toda a proposição pode ser levada para uma FN equivalente pela eliminação dos conectivos e sc existirem isto é pela substituição de p q por p V q e de p q por p v q A p V q Hú duas espccies de FN para uma proposição a forma normal conjuntiva FNC e a forma normal disjuntiva FND que a seguir vamos definir c exemplificar 5 FORMA NORMAL CONJUNTIVA Definição Dizse que uma proposição está na forma normal conjuntiva FNC se c somente sc são verificadas as seguintes condições 1 Contém quando muito os conectivos A e V 2 não aparece repetido como e não tem alcance sobre A e v isto é só incidc sobre letras proposicionais 3 v não tem alcance sobre a isto e não há componentes do tipo p V q a r IN IC IA Ç Ã O à L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 83 Exemplificando estão na FNC as seguintes proposições p v q p A q A r p V q A q V r Para toda pToposição podese determinar uma FNC equivalente mediante as seguintes transformações 1 Eliminando os conectivos c mediante a substituição de p q por p v q e de p q por p v q A p v q 2 Eliminando negações repetidas e parêntesis precedidos dc pelas regras da Dupla negação e de DE MORGAN 3 Substituindo p v q A r e p A q v r pelas suas equivalentes respectivas p v q A p v r e p v r A q v r Lxemplos 1 Determinar a FNC da proposição p v q A q v q A r Resolução Temos sucessivamente p V q A q A q A r p V q V q A q V r p A q V q A q v r p v q A q v q AqV r Observesc que uma outra FNC da proposição dada c 0 P V q A q V r equivalente à anterior Assim sendo uma mesma proposição pode ter mais de uma FNC mas equivalentes 2 Determinara FNC da proposição p q q p Resolução Temos sucessivamente te p V q q V p p V q q V p p v q V q V p A p V q V q V p p A q V q V p A p V q V q A p p A q V q V p A p V q V q A p p V q V p A q V q V p A p v q V q A p V q V p Observese que a proposição dada é tautológica pois cada elemento da sua FNC é tautológico Realmente o 19 elemento contém p c p o 29 elemento contém q e q o 3 elemento contém q c q e finalmente o 49 elemento contém p e p De modo geral é tautológica toda a proposição cujos elementos da sua FNC encerram cada uni deles uma proposição e a sua negação isto é cujos elementos são todos tautológicos 3 Determinar a PNC da proposição p q v r R e s o lu ç ã o Temos sucessivamente p q V r A q V r p p V q V t A q V r V p 5 p v q V r A q A rv p p V q V r A p v q A p V r 84 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O V FORMA NORMAL DISJUNTIVA Definição Dizse que uma proposição está na forma normal disjuntiva FND se e somente se são verificadas as seguintes condições 1 Contém quando muito os conectivos A e V 2 não aparece repetido como j e não tem alcance sobre A e V isto é só incide sobre letras proposicionais 3 A não tem alcance sobre v isto é não há componentes do tipo p A q v r Exemplificando estão na FND as seguintes proposições p V q p V q A r p A q V p A q A r Para toda proposição podese determinar uma FND equivalente mediante as seguintes transformações 1 Eliminando os conectivos e mediante a substituição de p q por p V q e de p q por p V q A p V q 2 Eliminando negações repetidas e parêntesis precedidos de pelas regras da Dupla negação e de DE MORGAN 3 Substituindo p A q V r e p v q A r pelas suas equivalentes respectivas p A q V p A r e p A t V q A x Exemplos 1 Determinar a FND da proposição p q A q p Resolução Temos sucessivamente p V q A q V p p v q A q V p v q j A p p A q V q A q V p A p V p A q Observese que uma outra FND da proposição dada c p A q v p A q equivalente à anterior Portanto uma mesma proposição pode ter mais de uma FND mas equivalentes I N IC IA Ç Ã O A L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 85 2 Determinar a FND da proposição p V q A q V q A t Resolução Temos sucessivamente p v q A q A q A r p V q V q A q V r p A q V q A q V r p A q V q A q V p A q V q A r p A q A q V q A q V p A q A r V q A r Observese que uma outra FND da proposição dada é p A q V p A q A r V q A r equivalente à an terior Importa notar que é contraválida toda a proposição cujos elementos da sua FND encerram cada um deles uma proposição e a sua negação isto é cujos elementos são todos contraválidos 7 PRINCÍPIO DE DUALIDADE Seja P uma proposição que só contcm os conectivos A e V A proposição que resulta de P trocando cada símbolo A por V e cada símbolo V por A cha mase a dual de P Assim p ex a dual de p A q V r ó p v q A r Princípio de dualidade Se P e Q são proposições equivalentes que só contém os conectivos A e v então as suas duais respectivas Pi cQ i tambcm são equiva lentes Assim p ex da equivalência p A p v q c p deduzse pelo Princípio de dualidade a equivalência p v pA q p Analogamente a partir de p A p v deduzse pelo Princípio dc dualidade p v p A q q EXERCÍCIOS 1 Demonstrar as equivalencias a p A p v q p b Dem Temos sucessivamente a p A p V q p V c A p V q b p v p A q p A t V p A q p v p A q p p V c A q p V C p p A t v q p A t p 2 Simplificar as proposições a L p q b p V q v p A q Resolução Temos sucessivamente a p q p v q P v q P A 9 b p V q v v p A q p A q V p A q p A q V q p A T P 3 Simplificar as proposições a p v qj b p A q c p V q d p V q A p e p q A C p q f p A p q A p q 4 Demonstrar a equivalência p q p t p t p f p q t q 5 Usar o Método dedutivo para demonstrar a p A p q b p p p c p p A q p q d p q q p V q e p r V q r p A q i 0 p q A r p q A r 6 Demonstrar p t q p 4 p 4 q l q l p f p l q i q 7 Determinar uma forma normal conjuntiva FNC equivalente para cada uma das seguintes proposições 8 6 É D G A R D DE A L E N C A R F IL H O a p q b p p c p 4 p d p v p e p t q f p t p g p t p H p q ij p A p 4 q A q j p A q V q 00 p t q p 1 p 1 q v p m p t q v r n M P t q l r 8 Determinar uma fornia normal disjuntiva FND equivalente para cada uma d as se g u in te s p r o p o siç õ e s a p V q b p q c p q A p d P V q e p q V p f p a q g pv p h p p 0 P t q 0 p q 0 0 p t p 1 p t p Capítulo 9 Argumentos Regras de Inferência 1 DEFINIÇÃO DE ARGUMENTO Sejam P P2 Pji o 1 c Q proposições quaisquer simples ou compostas Definição Chamase argumento toda a afirmação de que uma dada sequência finita P f P2 Pn n 1 de proposições tem como consequência ou acarreta uma proposição final O As proposições P P2 Pn diemse as premissas do argumento c a proposição final Q dizse a conclusão do argumento Um argumento de premissas P P2 Pn e dc conclusão Q indicase por P3P 2 P n t Q e se lê de uma das seguintes maneiras i P j P2 Pn acarretam Q ü Q decorre de P P2 Pn iii Q se deduz dc P P2 Pn iv Q se infere de P j P2 Pn Um argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão ch amase silogis mo 2 VALIDADE DE UM ARGUMENTO Definição Um argumento P i P2 v Pn 1 Q dizse válido se c somente se a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que as premissas Pl5 P2 Pn são verdadeiras Em outros termos um argumento Pj P2 Pn I Q é válido se e somente se fór V o valor lógico da conclusão 0 todas as vezes que as premissas P P2 sPn tiverem o valor lógico V Portanto todo argumento válido goza da seguinte propriedade característica A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão Um argumento nãoválido dizsc um sofisma Deste modo todo argumento tem um valor lógico digamos V se é válido correto legítimo ou F sc c um sofisma incorreto ilegítimo Às premissas dos argumentos são verdadeiras ou pelo menos admitidas como tal AÜás a Lógica só se preocupa com a validade dos argumentos e não com a verdade ou a falsidade das premissas e das conclusões A validade de um argumento depende exclusivamente da relação existente entre as premissas e a conclusão Portanto afirmar que um dado argumento c válido significa afirmar que as premissas estão de tal modo relacionadas com a conclusão que não é possível ict a conclusão falsa sc as premissas são verdadeiras S8 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O 3 CRITÉRIO DE VALIDADE DE UM ARGUMENTO Teorema Um argumento Pj P2 Pn b Q c válido se e somente sc a condicional P A P2 A A PnQ l é tautológica Derti Com efeito as premissas Pi P Pn são todas verdadeiras se e somente se a proposição Pt A P2 A A Pn c verdadeira Logo o argumento P P2 Pn Q é válido sc e somente se a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que a proposição P A P2 A A Pn é verdadeira ou seja sc e somente sc a proposição Pt A P2 A A Pn implica logicamente a conclusão Q P A P iA A Pi Q ou o que é equivalente se a condicional 1 é tautológica NOTA Se o argumento P p q r Pnp qT IQp q h é válido então o argumento da mesma forma PR S T PnR S T QR S T também é válido quaisquer que sejam as proposições R S T I N IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 89 Exemplificando do argumento válido pp v q 1 seguese a validade dos argumentos p A r p A r V s r p r V s h p r V s V r A s pois ambos têm a mesma forma de 1 Portanto a validade ou nãovalidade de um argumento depende apenas da sua forma e não de seu conteúdo ou da verdade e falsidade das proposições quo o integram Argumentos diversos podem ter a mesma forma e como 6 a forma que determina a validade é lícito falar da validade de uma dada forma ão invés de falar da validade de um dado argumento E afirmar que uma dada forma é válida equivale a asseverar que não existe argumento algum dessa forma com premis sas verdadeiras e uma conclusão falsa isto c todo argumento de forma válida é um argumento válido Viceversa dizer que um argumento c válido equivale a dizer que tem forma válida 4 CONDICIONAL ASSOCIADA A UM ARGUMENTO Consoante o Teorema anterior 3 dado um argumento qualquer P P 3Pf Q a este argumento corresponde a condicional P A P j A APnQ cujo antecedente 6 a conjunção das premissas c cujo consequente é a conclusão denominada condicional associada ao argumento dado Reciprocamente a toda condicional corresponde um argumento cujas premissas são as diferentes proposições cuja conjunção formam o antecedente c cuja conclusão c o consequente Exemplificando a condicional associada ao argumento p A q p r qV sf r V s é p A q A p í A q V s r V s e o argumento correspondente à condicional p q V r A s A q V r s s p A q é p q V r s q V r s s p A q 5 ARGUMENTOS VÁLIDOS FUNDAMENTAIS São argumentos válidos fundamentais ou básicos de uso corrente os cons tantes da seguinte lista I Adição AD i p Ip v q ii p Iq V p II Simplificação SíMP i p A q p ii p A q q III Conjunção CONJ i p q ip A q ii p q 9 A P IV Absorção ABS P q i pp Aq V Modus ponens MP pq q VI Modus tollens MT pq q p VIL Silogismo disjuntivo SD i p V q p q ii p V q q lp VIII Silogismo hipotético SH p q q 11 p r IX Dilema construtivo DC p q r s p V riq v s go E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 91 X Dilema destrutivo DD p q r s q V s l p V A validade destes dez argumentos c consequência imediata das tabclasvcrdade construídas no Capítulo 5 e do Teorema anterior 6 REGRAS DE INFERÊNCIA O s a rg u m en to s básicos da lista a n terio r sã o u sa d o s para fazer Inferências is to é e x e c u ta i os p a sso s d e uma dedução ou demonstração e p o r is s o ch a m am se ta m b ém regras de inferência s e n d o h a b itu a l e scre v êlo s n a fo r m a p a d r o n iza d a a b a ix o in d ica d a c o lo c a n d o as premissas so b r e um tra ço h o r iz o n ta l e cm seg u id a a conclusão so b o m e s m o traço I Regra da Adição AD 11 Regra de Simplificação SIMP D P A q p Hl Regra da Conjunção CONJ ü q P A q q AP ÍV Regra da Absorção ABS P q p p A q V Regra Modus ponens MP p q P q VI Regra Modus tollens MT p q p VII Regra do Silogismo disjuntivo SD i p V q ii p V q q q p VIII Regra do Silogismo hipotético SH p q q r P r IX Regra do Dilema construtivo DC p q r s p V r q V s X Regra do Dilema destrutivo DD p q r q V s p V r Com o auxílio destas dez regras de inferência podese demonstrar a validade dc um grande número dc argumentos mais complexos 92 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O 7 EXEMPLOS DO USO DAS REGRAS DE INFERÊNCIA Damos a seguir exemplos simples do uso de cada uma das regras de inferência na dedução de conclusões a partir dc premissas dadas 1 Regra da Adição Dada uma proposição p dela se pode deduzir a sua disjunção com qualquer outra proposição isto é deduzir p v q ou p v r ou s V p ou t V p etc INICIAÇÃO  LÓGtCA MATEMÁTICA Exemplos a 1 P P b 1 P p 2 p V q 2 q v p c D p A q P d D p v q P 2 p A q V r 2 r A s V p V q D x 0 P f D X 1 p 93 x O V x 1 2 x 2 v x 1 11 Regra da Simplificação Da conjunção p A q d e duas proposições se pode deduzir cada uina das proposições p ou q Ex emplos a 1 p v q A i P 2 p V q b 1 p A q P 2 c 1 x 0 A x l P d 1 x A A x L B P 2 x 1 2 III Regra da Conjunção P erm ite deduzir d e d uas p r o p o siç õ e s d ad as p c q p rem issa s a sua conjunção p A q o u q A p c o n c lu s ã o Exemplos a 1 p v q P 2 r P 3 p V q A r b 1 p v q 2 9 V r 3 p V q A q V r c 1 x 5 2 x 1 3 x 1 A x 5 d 1 x G A P 2 x B P 7 Í j x B A x A IV Regra da Absorção Esta regra permite dada uma condicional nomo premissa dela deduzir como conclusão uma outra condicional com o mesmo antecedente p e cujo consequente é a conjunção p A q das duas proposições que integram a premissa isto c p p A q xvmplos 94 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O a 1 x 2 x 3 P b D x G A x A U B P 2 x 2 x 2 A x 3 2 x ê A x G A A x é A U B Regra Moduiv ponens deduzir q conclusão Também c a partir de p chamada Regra de separação e q c p premissas permite Exemplos a D 2 p q p P P b 1 2 p A q r P p A q P 3 q 3 r c 1 2 p q A r P P P d 0 2 p v r s A q p V r P P 3 q A r 3 s A q c 0 2 X 0 X y 1 P x O P 0 D 2 x 6 A H B x 6 A x e a o b P P 3 x y 1 3 x 6 A VI Regra Modus tollens Permite a partir das premissas p q condicional e q negação do consequente deduzir como conclusão p negação do ante cedente Exemplos 1 2 q A rs p p b D 2 p q P v q P 3 q A r 3 p c 1 p q v r p d D x 0 x y P 2 q v r p 2 x ifcy P 3 p 3 x 0 VII Regra do Silogismo disjuntivo Permite deduzir da disjunção p v q dc duas proposições e da negação p ou q de uma delas a outra proposição q ou p Exemplos a 1 p A q V r P b 1 p V q P 2 r P 2 p IN IC IA Ç Ã O À LÓ G iC A M A T E M Á T IC A 95 3 p a q 3 c 1 x 0 V x 1 P d 1 p q v r P 2 x 1 P 2 p q P 3 x 0 3 r VIII Regra do Silogismo hipotético Esta regra permite dadas duas condicionais p q e q r premissas tais que o consequente da primeira coincide com o antecedente da segunda deduzir uma terceira condicional p r conclusão cujo antecedente e consequente são respectivamente o antecedente da pre missa p q e o consequente da outra premissa q r transitividade da seta Exemplos a D p q P b D p q V r P 2 q r P 2 q V r s P 3 p r 3 p s c D p q r P d 1 x 0 x 0 P 2 r q A s P 2 x 0 x 1 1 P 3J p q q A s 3 1 x 0íx 1 1 Regra do Dilema construtivo Nesta regra as premissas são duas condicio nais e a disjunção dos seus antecedentes e a conclusão é a disjunção dos consequentes destas condicionais Exemplos a 1 p A q r F b d x y x 2 P 2 S t P 2 x y x 2 P 3 p A q V s P 3 x y v x y P 4 r V t 4 x 2 V x 2 X Regra do Dilema destrutivo Nesta regra as premissas são duas condicionais e a disjunção da negação dos seus consequentes e a conclusão é a disjunção da uegaçã dos antecedentes destas condicionais Kxcm pios a I q r P 2 p s P 3 r V P 4 q v p E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O EXERCÍCIOS 1 Construir a condicional associada a cada um dos seguintes argumentos a p q p i 9 b p q 1 p A q ç p p q q V r A si r A s d x y x 5 x 5 x 1x y x z 2 Construir o argumento premissas e conclusão correspondente a cada uma das seguintes condicionais a p A q V p q b p q A p A q S c x 0 A y x x 0 V y x 3 Indicar a Regra de inferência que justifica a validade dos seguintes argumentos a p q Ipq V í b p A q r p c p q qs rl p r d p v q r p q r c q V r p p Iq V r f pq í S pq A r s g P A qV p A r p A f p A q h p q V r h p p A q v r i x y 7 y x zy x y z y x z j x y R x y e R x y R x y R k x 0 x 1 h x 0 A x 1 b 1 x y 7 x 2 P 2 y x 2 x 3 P 3 x 2 V x 3 P 4 x y 7 V y x 2 m X 0 V X 1 X 1 1 X 0 IN IC I A Ç Ã O À LÓ G IC A M A T E M A T IC A 97 n x i y x 3 x 3 x y x 1 s x y 5 o rr 3 A n 4 rr 4 Usar a regra Modus ponens para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes pares de premissas a 1 X ti ti b I x y E R x y R 2 x y A y z x z 2 x iy ë R c 1 x y A y z x z d 1 2 1 3 1 2 x y a y 2 2 1 c D x 2 0 1 x 0 y x y 2 x 1 2y l 2 2 x 0 y Usar a regra Modus tollens para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes pares de premissas a 1 x 0 x y y b 1 x z x ó 2 x y y 2 x 6 c 1 p q r a s d 1 x 3 x y 2 r A s 2 x y Usar a regra do Silogismo disjuntivo para deduzir a c o n c lu s ã o de cada u m dos seguintes pares de premissas a 1 x 8 12 v x 4 b 1 y 6 V x y 1 0 2 x 8 1 2 2 x y 10 c l s V r A t 2 d U 2 P V q q 7 Usar a regra do Silogismo hipotético5 para deduzir a c o n c lu s ã o de cada um dos seguintes pares de premissas a 1 p rv s b 1 x 3 x y 2 r V s t 2 x y x l c I s V t r A q 2 r A q p d 1 xy 6 xy 5 11 2 xy 5 ll y 2 8 Usar a regia do Dilema construtivo para deduzir a conclusão dc cada um dos seguintes ternos de premissas 9 8 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O a 1 pv r b D x 5 V x y 2 q s 2 x 5 x 3 3 p V q 3 x y 2 c 1 y 0 x y 0 d 0 x 2 x 2 4 2 y 1 xy 3 2 x 2 V y 3 3 y 0 V y 1 3 y 3 y2 9 Usar a regra do Dilema destrutivo para deduzir a conclusão de seguintes ternos de premissas a D p A q r b 0 p r A q 2 q r A s 2 r A q v 3 r V r A s 3 q s c D x 3 x y d D y 9 v y 18 2 x 4 x y 2 x 2 y 9 3 x y V x y 3 x 8 y 18 Capítulo 10 Validade Mediante TabelasVerdade 1 As tabelasverdade podem scr usadas para demonstrar verificar ou testar a validade de qualquer argumento Dado um argumento P i I P 2 PnlQ 1 cumpre constatar se é ou não possível ter VQ F quando VP VP2 VPn V Para isso o procedimento prático consiste em construir uma tabela verdade com uma coluna para cada premissa e a conclusão e nela identificar as linhas em que os valores lógicos das premissas P j P2 Pn são todos V Nessas linhas o valor lógico da conclusão Q deve ser também V para que o argumento dado 1 seja válido Se ao invés em ao menos uma dessas linhas o valor lógico da conclusão Q for F então o argumento dado 1 é nãoválido ou seja é um sofisma Uma outra alternativa para demonstrar verificar ou testar a validade do argu mento dadol consiste cm construir a condicional associada P A P 2 A A Pn 0 e reconhecer se esta condicional é ou não uma tautologia mediante a construção da sua respectiva tabclaverdade Sc esta condicional c tautológica então o argumento dado l é válido Caso contrário o argumento dado 1 é um sofisma 2 EXEMPLIFICAÇÃO 1 Verificar se é válido o argumento p q q p Resolução Construamos a seguinte tabelaverdadc t 3 p q pq V v v v F F F v v F F v As premissas do argumento dado figuram nas colunas 2 e 3 c a conclusão figura na coluna 1 As premissas são ambas verdadeiras V nas linhas 1 e 3 Na linha I a conclusão lambem c verdadeira V mas na linha 3 a conclusão é falsa F Logo o argumento dado não é válido ou soja é um sofisma pois a falsidade da conclusão é compatível com a verdade das premissas Observese que esta forma de argumento nãoválido apresenta certa semelhança com a forma dc argumento válido Modus ponens Tem o nome de Sofisma de afirmar o consequente 2 Verificar se c válido o argumento p q p i q Resolução Construamos a seguinte tabelaverdade 1 00 E O G A R D DE A L E N C A R F IL H O p 9 P1 p v v v F F v F F F v F v v v F F F v v v 3 4 As premissas do argumento dado figuram nas colunas 3 e 4 e a conclusão igura na coluna 5 As premissas são ambas verdadeiras V nas linhas 3 e 4 Na linha 4 a conclusão também é verdadeira V mas na linha 3 a conclusão é falsa F Logo u argumento dado não é válido ou seja é um sofisma Observesc que esta forma de argumento nãoválido apresenta certa semelhança com a forma de argumento válido Modus tollens Tem o nome de Sofisma de negai o antecedente 3 Verificar a validade do argumento p q q i p Resolução Construamos a seguinte tabeiaverdade P 9 p q v v v v F F F v F F F v I As premissas do argumento dado figuram nas colunas 2 e 3 o a conclusão figura na coluna 1 As premissas são ambas verdadeiras V somente na linha 1 c nesta linha a conclusão também é verdadeira V isto é não é possível ter premissas verdadeiras c conclusão falsa Logo o argumento dado é válido IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 101 4 Testar a validade do argumento p v q q pr Resolução Construamos a seguinte tabelaverdade p q r P V q q p r v v v v F v v v F v F F v F v v v v v F F v v F F v v v F v F v F v F v F F v F v v F F F F v v 3 As premissas do argumento dado figuram nas colunas 4 5 e 6 e a conclusão figura na coluna 3 As três premissas são verdadeiras V somente na linha 3 e nesta linha a conclusão também é verdadeira V isto é não é possível ter premissas verdadeiras e conclusão falsa Logo o argumento dado e válido 5 Testar a validade do argumento Se x 0 e y z então y 1 y 1 Portanto y t Resolução R e p r e s e n ta n d o as três p r o p o siç õ e s sim p le s x 0 y z e y l r e sp e c tiv a m e n te p or p q e r o a r g u m e n to d ad o so b form a s im b ó lic a escrevese p A q r r f q Posto isto construamos a seguinte tabelaverdade p q r P A q p A q r r q v v v v v F F v v F v F v F v F v F v F v v F F F v v v F v v F v F F F v F F v v F F F v F v F v F F F F v v v As premissas do argumento dado figuram nas colunas 5 e 6 e a conclusão figura na coluna 7 As premissas são ambas verdadeiras V nas linhas 4 6 e 8 Nas linhas 4 e 8 a conclusão também c verdadeira V mas na linha 6 a conclusão é falsa F isto é a falsidade da conclusão ê compatível com a verdade das premissas Logo o argumento dado não é válido ou seja é um sofisma NOTA Para demonstrar que um argumento é nãoválido basta encontrar um argumento da mesma forma e que tenha no entanto premissas verdadeiras c con clusão falsa lista maneira de demonstrar a nãovalidade dc um argumento chamase Método do contraexcinplo Iexemplificando o seguinte argumento tem a mesma forma do que foi dado Se l 0 e 0 0 então 0 1 0 1 Portanto 0 0 À primeira premissa c verdadeira V porque o seu antecedente é falso e a segunda premissa é obviamente verdadeira V mas a conclusão c claramente falsa F Logo este argumento é um contraexemplo que prova quo o argumento dado é uãoválido sofisma 6 Verificar se é valido o argumento p q p I q Resolução A condicional associada ao argumento dado c p q A p q Construamos a tabelaverdade desta condicional 102 E D G A R O DE A L E N C A R F IL H O p 9 p p q p q A p q P q A p q v v F v v F F v F F v v v v F v v v F F v F F v F F v v Na última coluna desta tabelaverdade figuram as letras V c F Logo a con dicional associada nao é tautológica e por conseguinte o argumento dado não é válido ou seja é um sofisma Chegase a mesma conclusão observando que as premissas do argumento dado são ambas verdadeiras V na linha 1 e que nesta linha a conclusão c falsa F IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 103 7 Verificar se é válido o argumento p q i p q V r Resolução A condiciona associada ao argumento dado é p q í q V r Construamos a tabelaverdade desta condicional p q r pq q v r p q V r p q p q V r v v v v v v v 1 v v F v v v v 2 v F v F v v v v F F F F F v F v v v v v v 45 F v F v v v v 6 F F v v v v v 7 F F F v F v v 8 Na última coluna desta tabelaverdade figura somente a letra V verdade Logo a condicional associada é tautológica c por conseguinte o argumento dado é válido Chegase a mesma conclusão observando que a premissa do argumento dado é v erd ad eira V nas linhas 1 2 5 6 7 c 8 c cm cada uma destas linhas a conclusão c verdadeira V 8 Testar a validade do argumento Se x 0 então x y y Se y então x y y Logo se x 0 então y z Resolução Representando as três proposições simples x 0 x y y c y z respectivamente por p q e r o argumento dado sob forma simbólica escrevese p q r q ip r Então a condicional associada ao argumento dado é p q A r q p r Posto isto construamos a tabclaverdadc desta condicional a fim de reconhecer se c ou não uma tautologia E D G A R O DE A L E N C A R F IL H O p A r q P r v v V F v F F V v F F v v v v F v F v v V v t 2 v F F F v v v v v F F v F F F F v v v v v v F v v F v F F v F v F F v v v F v F v F v v 6 F v F v v v v v F v F 4 7 F v F v F v v v F v v 8 1 2 1 4 1 3 2 5 1 3 2 Na coluna 5 desta tabclaverdade figura somente a letra V verdade Logo a condicional associada c tautológica e por conseguinte o argumento dado é válido Chegase ao mesmo resultado observando que as premissas do argumento dado são ambas verdadeiras V nas linhas 2 6 7 e 8 c em cada uma destas linhas a conclusão também é verdadeira V 9 Testar a validade do argumento Sc 8 não c par en tão 5 não é primo Mas 8 c par Logo 5 e primo Resolução Cumpre em primeiro lugar passar o argumento dado para a forma simbólica Representando por p a proposição 8 c par e por q a proposição 5 é primo temos p q pq Posto isto construamos a seguinte tabelaverdade P 1 p q p q v v F F v v F F v v F v v F F F F V V v IN IC I A Ç Ã O À LÓ G IC A M A T E M Á T IC A 1055 As premissas do argumento dado figuram nas colunas 1 e 5 e a conclusão figura na coluna 2 As premissas são ambas verdadeiras V nas linhas I e 2 mas na linha 2 a conclusão é falsa F Logo o argumento dado é um sofisma embora tenha premissas e conclusão verdadeiras 10 Verificar a validade do argumento Se 7 é menor que 4 então 7 nao é primo 7 não é menor que 4 Logo 7 é primo Resolução Seja p a proposição 7 é menor que 4 e q a proposição 7 é primo Então sob forma simbólica o argumento dado escrevese p q p iq Posto isto construamos a seguinte tabelaverdade p 9 9 p q p v v F F F V F v v F F v F v v F F V v v e 3 4 As premissas do argumento dado figuram nas colunas 4 c 5 e a conclusão figura na coluna 2 As premissas são ambas verdadeiras V nas linhas 3 e 4 mas na linha 4 a conclusão c talsa F Logo o argumento dado c um sofisma embora tenha premissas e conclusão verdadeiras 0 1 Verificar se 6 válido o argumento Se 7 6 primo então 7 não divide 21 7 divide 21 Logo 7 não é primo Resolução Representando por p a proposição 7 e primo e por q a propo sição 7 divide 21 o argumento dado sob forma simbólica escrcvcsc Posto isto construamos a seguinte tabelaverdade E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O 3 As premissas do argumento dado figuram nas colunas 2 e 5 c a conclusão figura na coluna 3 As premissas são ambas verdadeiras V somente na hnha 3 e nesta tinha a conclusão também c verdadeira V Logo o argumento dado é válido Observese que a primeira premissa e a conclusão deste argumento válido são proposições falsas 12 Verificar a validade do argumento Se chove Marcos fica resfriado Marcos não ficou resfriado Logo não chovcu Resolução Representando por p a proposição Chove e por q a proposi ção Marcos fica resfriado o argumento dado ob forma simbólica cscrevese pq q ip c por conseguinte é válido pois tem a forma do argumento válido Modus tol lens MT 13 Verificar se é válido o argumento Sc um homem é careca ele é infeliz Se um homem é infeliz ele morre jovem Logo carecas morrem jovens Resolução Representando as proposições He é careca Ele é infeliz e Kle morre jovem respectivamente por p q e r o argumento dado sob for ma simbólica escrevese p q q r p r e por consegirintc e válido pois tem a forma do argumento válido Silogismo hipotético SH IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 107 14 Testar a validade do argumento Se 8 6 par então 3 não divide 7 Ou 5 não 6 primo ou 3 divide 7 Mas 5 é primo Portanto 8 c ímpar Resolução Representando as proposições simples 8 c par 3 divide 7 e 5 é primo respectivamente por p q e r o argumento dado sob furma simbólica escrevese p q r v q r h P Então a condiciona associada ao argumento dado é p q A r V q A r p Posto isto construamos a tabelaverdade abreviada desta condicional a t un de reconhecer se c ou não uma t aut ologia p q A r V q A r p V F F F F v v F v v F V F F F v x r V v F F v F v v v F F F F F v v F v v v v v v F F F v F F v F v F v v v v v v F v F v v v v v F v v F v v F F F F F v v v F v v v v v F F F v v 1 3 2 4 2 3 1 5 1 6 2 5 Na coluna 6 desta tabelaverdade figura somente a letra V verdade Logo a condicional associada é tautológica e por conseguinte o argumento dado é válido Chegase ao mesmo resultado observando que as três premissas do argumento dado são ao mcsino tempo verdadeiras V somente na linha 5 e nesta linha a conclusão também é verdadeira V Notcse que a segunda premissa e a conclusão deste argumento válido são pro posições falsas 10g E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O 3 PROVA DE NÃO VALIDADE 0 método usual para demonstrar verificar ou testar a nãovalidade de um dado argumento P P j O consiste çm encontrar uma atribuição de valores lógicos às proposições simples componentes do argumento quo torne todas as pre missas P P2 Pri verdadeiras V c a conclusão Q falsa F o que equivale em encontrar uma linha da labelaverdade relativa ao argumento dado em que os valores logícos das premissas P P2 Pn sã todos V c o valor lógico da conclusão Q é K ti óbvio que todas as vezes que seja possível encontrar essa atribuição de valores lógicos sem a construção da tabclaverdade completa relativa ao argumento dado evitase unia boa parte de trabalho Exemplos 1 Demonstrar a nãovalidade do argumento p q V r A s p v s i rq Dem Com a seguinte atribuição de valores lógicos às proposições simples componentes do argumento dado F os valores lógicos das duas premissas sao V e o valor lógico da conclusão é F pois temos I Premissa F F V V Á V V V V V V F V 2í Premissa F V V V Conclusão V F F Logo t argumento dado c nãoválido sofisma 2 Demonstrar a nãovalidade do argumento p v q r A s p A sl q r Dem Com a seguinte atribuição de valores lógicos às proposições simples componentes do argumento dado IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 109 os valores lógicos das três premissas são V e o valor lógico da conclusão é F pois temos I Premissa V V F V V V V 2 Premissa F A F V AF F V 3 Premissa V A F F A V f V Conclusão F F V F F Logo o argumento dado não é válido sofisma p V q 3 Demonstrar que é nãoválido o argumento p A q p r v s p A r h Dem Atribuindo às proposições simples componentes do argumento dado os valores lógicos indicados pela tabela P 9 s resulta o valor lógico V para as duas premissas c o valor lógico F para a conclusão pois temos 1 Premissa V A V V FV V V F V V V V V 2 Premissa V A F V A V V Conclusão V V V F V F F Portanto o argumento dado nâo é válido sofisma 4 Demonstrar que ê nãoválido o argumento 1 x O 2 x 0 V x I V y x 3 y x y l A x y 2 y 1 x 1 Dem Atribuindo às proposições simples componentes do argumento dado os valores lógicos indicados pela tabela V F y x x 0 y i x 1 x y 2 resulta o valor lógico V para as três premissas e o valor lógico F para a conclu são pois temos 1 Premissa F V 2 Premissa F V F V V F V F V F F V F F V V V 3Í Premissa V V A V V V V Conclusão V F F 5 Demonstrar a nãovaJidade do argumento l x2 3 x 2 0 x I V x 2 2 x 1 V x 2 3 x x 2 3 3x x2 3x x2 V x 1 Dem Atribuindo a todas as proposições simples componentes do argumento dado o mesmo valor lógico F resulta o valor lógico V para as três premissas e o valor lógico F para a conclusão pois temos 1 Premissa F v F V F F F V 2 Premissa F V F F F F V 3 Premissa F V Conclusão F V F F 11Q E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O EXERCÍCIOS 1 Usar tabclavverdade para verificar que são válidos os seguintes argumentos a p q r q r p b p q r p q l r c p fq r v q rh p d p q V r p r e p q p q r ir f p A q r q p A r g p V q V r p q h p v q p pMq r 2 Verificar mediante tabclasverdade que são válidos os seguintes argumentos a p q q p r A s r A s b p q A r q A r p s p A s ç p v q q r r V s is dj p Aq f s p A q s j q V r e p v q q r p s S r A p V q IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 111 3 Usar tabelasverdade para mostrar a validade dos seguintes argumentos a 1 x Q x y b 1 x 6 x y 2 x x y 2 y S A 3 x 3 y 5 x y x 0 x y c I x y x z d 1 y x x 0 2 x z x O 2 xy 0 x 0 3 x 0 3 y x x y xy 0 4 Demonstrar a nãovalidade dos seguintes argumentos pelo Método de atribuição de valores lógicos a p q r s p y s q v r b p A q p A q r A s S r r c p q V r q p V r r p v q p q v r d p q v r s r p V q A q e p q r r s V t s t u u p q f pqr s t v q s A t q A v pr 5 Passar para a forma simólica e testar a validade do argumento Sc trabalho não posso estudar Trabalho ou passo em Física Trabalhei Logo passei em Físíca Capítulo 11 Validade Mediante Regras de Inferência 1 O método das tabelasverdade permite demonstrar verificar ou testar a validade dc qualquer argumento mas o seu emprego tornase cada vez mais trabalhoso à medida que aumenta o numero dc proposições simples componentes dos argumentos Assim p ex para testar a validade dc um argumento com cinco 5 proposições simples componentes c necessário construir uma tabelaverdade com 2 32 linhas perspectiva nada animadora Um método mais eficiente para demonstrar verificar ou testar a validade de um dado argumento P P2 Pn lQ consiste em deduzir a conclusão Q a partir das premi ssas P P2 Pn mediante o uso de cert as regras de inferência 2 EXEMPLIFICAÇÃO 1 Verificar que é válido o argumento p q p A r q Resolução Temos sucessivamente 1 p q P UJ p A r P 3 p 2 S1MP 4 q 13M P Da segunda premissa p A r pela Regra de Simplificação SIMP inlerimos p De p e da primeira premissa p q pela Regra Modus ponensMP inferimos q que é a conclusão do argumento dado IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 113 Assim a conclusão pode ser deduzida das duas premissas do argumento dado por meio d duas Regras de inferência e por conseguinte o argumento dado é válido 2 Verificar que é válido o argumento p A q p v f s p A s Resolução Temos sucessivamente U PAq P 2 p v r s P 3 p 1 SIMP 4 p v r 3 A D 5 s 24 MP 6 p a s 35 CONJ Da primeira premissa p A q pela Regra de Simplificação SIMP inferimos p De p pela Regra da Adição AD inferimos p V r De p v r e da segunda premissa p v r s pela Regra Modus ponens MP inferimos s De s e de p linha 3 pela Regra da Conjunção CONJ inferimos p A s que é a conclusão do argumento dado Assim a conclusão pode ser deduzida das duas premissas do argumento dado por meio de quatro Regras de inferência e poi conseguinte o argumento dadoé válido 3 Verificar a validade do argumento p q r p q pl Resolução Ternos sucessivamente 1 p q r P 2 p q P 3 p P 4 q r 13 MP 5 q 23 MP 6 r 45 MP 4 Verificar a validade do argumento Resolução Temos sucessivamente 1 p q P 2 p A q r P 3 p A rj P 4 p p A q I ABS 5 p i 24 SH 6 p p A r 5 ABS 7 p 3 6 M T E D G A R D OE A L E N C A R F IL H O 5 Verificar que é válido o argumento p v q r r V q p s t p A s s t Resolução Temos sucessivamente 1 p v q r P 2 r v q p s t P 3 p a s P 74 5 6j 7 8 9 6 Verificar que c válido o argumento p q p r q s V r q Ir Resolução Temos sucessivamente 1 P q P 2 p r q P 3 H V r q P 4 s P 5 s v r 4 AD 6 q 35 MP 7 p 1 6 M T 8 r s q 2 7 M P 9 r 6 8 M T P p v q r r v q p s S J59 t 3 S1MP 4 A D 15 MP 6 AD 27 MP 4 8 MP INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 115 7 Verificar a validade do argumento p A q r r s t u t sV uiP A 9 Resolução Temos sucessivamente O p A q r P 2 r s P 3 t u P 4 t P 5 s V u P 6 u 34 MP 7 s 56 SD 8 r 27 MT 9 p A q 18 MT 8 Verificar a validade do argumento p q q r s 1 p v s 1r V t Resolução Temos sucessivamente 1 p q P 2 q r P 3 s 1 P 4 p v s P 5 p r 12 S H 6 r V t 345 DC 9 Verificar a validade do argumento p q s t r V p v s r 1q V t Resolução Temos sucessivamente 0 p q P 2 r s t P 3 r V p V s P 4 r 5 s t 24 MP 6 p V S 34 SD q V t 156 D C 10 Verificar que é válido o argumento p q p r s v q p A q i q Resolução Temos sucessivamente 116 E O G A R D DE A L E N C A R F IL H O 1 P q P 2 p r s V q P 3 p A q r P 4 s P 5 p p A q 1 A B S 6 p r 35 SH 7 S V q 26 MP 8 q 47 SD Verificar a validade do argumento P p V T A q s r p A Resolução Temos sucessivamente I p v q P 2 p v r A q P 3 S r P 4 p A q P 5 p p A q I ABS 6 p 45 MT 7 r A q 26 SD 8 r 7 SIMP 9 s 38 MT 10 s v q 9 AD Verificar a validade do argumento p r qs r p V q A r V í Resolução Temos sucessivamente 0 p r P 2 q s P 3 P 4 P V q A r V s P 5 p V q 4 SIMP 6 r V s 125 DC s 36 SD S V I N IC I A Ç Ã O À LÓ G IC A M A T E M Á T IC A Verificar que é válido o argumento p 9 q r r s Resolução Temos sucessivamente O pq P 2 q r P 3 r s P 4 s P 5 p v t P 6 p r 12 SH p s 36 SH 8 47 MT 9 t 58 SD Verificar que e válido o argumento p q A r s t u u v Resolução Temos sucessivamente d p q A r s P 2 t u P 3j u v P 4 q V v P 5 t v 23 6 p q 1 7 pV t 456 S p V t q V SH S1MP 15 Verificar a validade do argumento x y x x X L x 0 x 1 Resolução Temos sucessivamente I x y x z P 2 x z x 1 P 3 x 0 x l P 4 x y P 5 x y x 1 6J x 1 7 x 0 12 Sil 45 MP 36 MT 118 EDGARD DE ALENCAR FILHO 16 Verificar a validade do argumento Se x y então x Se x então x t Ou x y ou x 0 Se x 0 então x u 1 Mas x u 1 Portanto x t Resolução Temos sucessivamente U x y x P 2 x z x t P 3 x y V x 0 P 4 x 0 x u l P i í l X u 1 P 6 x y x t 12 SH 7 x 0 45 MT x y 37 SD 9 x t 68 MP 17 Verificar que c válido o argumento x y x x y x z x z V y z y z A x z j y z Resolução Temos sucessivamente 1 x y x z P 2 x y x L P 3 x V y z P 4 y z A x 2 P 5 x 4 SIM P 6 x y 1 5 MT 7 x z 26 MP 8 y z 37 SD EXERCÍCIOS 1 Usar a regra Modus pone ns para deduzir de cada um dos seguintes ternos de premissas a conclusão indicada a 1 p q b 0 p q 2 q r 2 p 3 P 3 q i r r IN IC IA Ç Ã O à L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 119 c 1 p q A r d D p q V r 2 q A r s 2 s v t p 3 P 3 s V t s qV r Usar a regra Modus poncns para deduzir dc cada üm dos seguintes ternos de premissas a conclusão indicada a 0 2 1 3 1 b D x 1 2 2 3 1 3 0 2 x l 2 y l 2 3 2 1 3 y 1 2 x y 3 U x y c Cl x Q yx y d CU a b A b c a c 2 x 0 y 2 a b A b c 3 x y x 2 y 2 3 a c a 10 x 2 y 2 a 10 Usar a regra Modus poncns para deduzir dc cada um dos seguintes conjuntos de premissas a conclusão indicada a 1 a b A b c c b l p q 2 a i c a 2 P 3 a b A b c 3 q r c a 4 r t c 1 P v q d 1 p q 2 P V q r 2 q r 3 r s A t 3 P 4 s A l U W 4 r s u V v Í 5 6 s t t 4 u 4 Usar as regras Modus poncns e Modus tollens para deduzir de cada um dos seguintes conjuntos de premissas a conclusão indicada a 1 p q P b 0 p q P 2 p r P 2 q P 3 q P 3j p r A s P r r A s 120 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O C 0 p q P d 1 x 4 0 y 1 P 2 q r P 2 x y y 1 p O s r P 3 y t y 1 P 4 P P 4 x y P S X 0 5 Usar as regras da Conjunção Simplificação Modus poncns e Modus tollens para verificar que são válidos os seguintes argumentos a p A q p r p a r b p a q r p p A r c r p r q r p A q d p q r A s p r A s p A q 6 Usara regra do Silogismo disjuntivo para verificar que são válidos os seguintes argumentos a p v 9 q rf p b P A q r v s p s i r c p p q q v rp A r d p p v q V r r q c p v q q p r A sf s 7 Usar a regra do Silogismo disjuntivo para deduzir de cada um dos seguintes ternos de premissas a conclusão indicada a 0 x y v x 7 b 0 x O x y 2 x x 6 2 x y v x z 3 x 6 3 x z x y x 0 c 1 I I 2 A 2 1 3 d 0 x 0 v x y 2 3 2 1 V 2 1 1 2 x y x 3 1 1 2 y2 í 1 3 X 3 2 1 o II X 8 Verificar que são vá li dos os seguintes argumentos a r p v q r p l q b p q q p r r c p A q p r q s t e r A s d p q 5 q r p ir e p q q p r ir f p q p r p q A f IIM IC IAQÁ O A L Ó G IC A M A T E M Á T IC A gp q q h p V q r i p v q j p q k pV q 1 p q A r m p A q p i 5 r A s t q s 9 Verificar que sao válidos os seguintes argumentos a 0 x 8 1 2 V x 4 2 X 4 A y X 3 x 8 1 2 A y x y y 8 12 b 1 x 2 6 x 4 2 y 6 v x y 10 3 x y 1 0 A x 2 6 x 4 A y 6 O 1 x y x v l 3 2 x y 3 V x t 2 y 3 x 2 y A x 5 x 5 A x i y d 1 x y v x y 2 X 11 Ji 3 x y a y 5 x 5 H y 5 x 5 e l 3x 2y 18 A x 4 y 2 x 2 3x 2 y 18 3 x 2 V y 3 4 x 4 y 3 4 1 x 2 5 x 4 2 x 4 x 4 7 3 x 4 7 4 x 2 5 V 5 x 2 A x 3 122 EDGARD DE ALENCAR FILHO g D x 5 x 6 V x 6 2 x 5 A x 5 i x 5 3 j x 5 f x 7 4 x 7 A x 6 5 x 7 f x 5 x 6 10 Usar a regra da A d i ç ã o para verificar q u e s a o válidos os s e g ui n te s ar gu me nt o s a p v q p r r i q v s b p A q r j s s v c p q p q v r si s d p A q s r r p A q s V q e p A q r s q r v s p v s t i 1 1 U s ar a regra d a A d i ç ã o para verificar q ue sao válidos os s egu in te s a rg u m e n t o s a I x 3 v y 4 b D x y v x 5 2 x 3 x y 2 x 5 v y 6 3 x y 3 x y 1 A x y y 4 V x 2 x y v y 6 c 11 x 2 x 3 d 0 y 6 y x 2 x h 4 A x 3 2 y 6 v x 5 y x 3 x 2 V x 4 h x 5 3 y x x 5 A x 4 y x v y x e 1 X Ito li IO 1X 1 x 2 5 V 2 x 6 2 x 1 2 x 1 2 x 2 3 x l v x 2 5 3 2 x 2 8 2 x 6 4 x 2 5 V x 2 1 X 3 4 x 3 8 A 2 x 2 S x 3 x 3 v x 2 12 Deduzir de cada um dos seguintes conjuntos de premissas a conclusão ludicada a 1 s e n 3 0 0 5 c s c 3 0 2 2 s e n 3 0 0 5 3 c s c 3 0 2 t g 3 0 0 5 8 t g 3 0 058 V c o s 6 0 c 0 5 INICIAÇAO À LÓGICA MATEMÁTICA 123 b 1 Dx3 3x2 A D3 0 2 DxJ 3x2 Dx2 2x 3 I3x2 2x V ü x 3 12 x 2 x 2 c 1 y 4 A x y 3 2 x y 3 j x 2 3 y 2 x 2 4 y 2 v y 3 x 5 y 3 V x 5 d 1 x y v x y 2 y x 4 3 x 3 V x 5 A y x 4 i y 8 4 x 4 y 5 y 6 v x y j x 3 X 4V y 8 A x 3 13 Usar a regra do Silogismo hipotético para verificar que são válidos os seguintes argumentos a l 5x 4 3x 4 5x 3x 8 2 2x 8 x 4 3 5x 3x 8 2x 8 5x 4 3x 4 x 4 b O x y y x 2 x 5 y x y 5 3 y S V x 6 4 x 5 x y x 6 V x 6 c 1 7 5 y 3 y z 8 A z y 2 xy z 11 x 2 y 3 A z 5 3 xy 6 x 2 4J xy z 11 xy 6 y 8 T24 EOGARD DE ALEMCAR FILHO d 1 5 x 2 0 x 4 2 2 x 6 V x 3 3 5 x 3 I 7 x 4 2 x 6 4 5 x 3 1 7 5 x 2 0 x 4 3 V x 4 c d x y 5 y 3 v x z 3 2 1 V x 3 x y 5 3 x y 5 A 7 1 x 3 y 3 0 t x 3 x y 21 x 3 z 5 3 x 3 x z x z 4 x y x z 5 v 7 5 14 Usar a regra d o D i l e m a c o n s t r u t i v o para verificar a validade d o s s egu in tes a rg u m e n t o s O 2 x y 7 2 x 4 2 2 x y 5 y 1 3 2 x y 7 V 2 x y 5 4 2x4 y 1 b 1 x 6 x 2 v x 8 2 2 x 3 y 21 A x 6 3 x 2 y 9 4 x H y 1 y 1 V y 9 c D x 5 V y 6 2 y 6 x z 3 j x 5 y z 4 y z A z 6 x O V z 6 IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 1 2 b d 1 y 0 xy 0 2 y 0 V y 1 3 xy 0 V xy 3 x 4 4 y 1 xy 3 x 4 V x y Cf x y v y x 2 y x x 6 3 x y x 7 4 x 6 V x 7 y 11 5 y 11 V x 0 x 0 V y 12 f 1 2x 1 Ox 1 2 0 A x 4 2 X2 5x 6 0 x 2 v x 3 3 x 2 x2 4 4 x 3 x2 9 5 2 x2 I Ox 12 0 x 2 5x 6 0 X 2 4 V x2 9 d x 5 v X y x 3 V f 2 3 x y z 2 4 x 5 X 3 15 z x X 4 6 X V 2 x 4 h 1 y 5 x y A x 1 2 y 5 V y 5 3 x y V y 4 x 1 y A y 9 4 y 5 y 4 x 1 y V x 4 15 Verificar a validade de cada um dos seguintes argumentos a p A b p v c p q q r p v s A t d p v q q r p s s r A p V q e p v q q r p t l f r A t f p q p V r r q s v q l S A t g p q q rA s p L t s h p v q q r r p j j p s q q A í rss p A s j p q p v r r q v s k p f q q T r p r s s V 11t l p v q r p r q s s f s m j r t s q l v q p r V s p n p q p s t r t r o p V q s p t q s v tu V M 126 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O 16 Verificar que são válidos os seguintes argumentos a O x y v x y 2 x 4 v x z 3 x y x 4 x y v x 7 x 4 b 1 2x y 5 2x 2 2 2 x y 5 v y 3 3 2 x s 2 x 1 4 y 3 2x 2 x i c D x 3 V x 4 2 x 3 x té y 3 x 4 5 x 4 x y v x y x x 2 d 1 x 3 2 x2 18 2 x 3 v x 3 3 x 3 2 x 2 18 4 2x2 18 x2 9 x2 9 x 4 A x 2 IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 127 e 1 7 X X 7 2 X 6 v X 3 3 x 3 x 4 x 6 x 5 x 7 V x 5 T x 5 9 1 x 3 V x 4 2 x 3 x2 7x 12 0 3 x 4x2 7 x I 2 0 4 x 2 7x 12 0 x 2 5 x2 9 x 2 6 x2 9 x2 9 V x2 9 x 2 9 V x 2 9 g 1 2 3 4 x y v x 4 x 4 4 x y A y 4 x y x 4 x 4 4 x y t h 0 5rr 1 x senx 2 3 1 i s e n x c s c x i 4 x 7 s e n x 6 2 COSX v c s c x 2 i 1 x 2 y 5 V 3x 4 y 11 2 x y y x 2 y 2 V y l Í3 3x 4 y 11 x 1 4 x y v x 2 5 x 2 y 5 x I x 1 A y 2 V y 1 128 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O 17 Usar as Regras de Inferência para mo stra r que sã o válidos os s e g u in t es argu m e n t o s a p s r s b p a q V r cj v r s s v 11 t c p v q r q s A t r f s A t d p q q p v r s s e p v q A r q s r 1 s A t p v r p ir f q v r t qs s t p s r p g p V q p S A t p A r it V u Capítulo 12 Validade Mediante Regras de Inferência e Equivalências 1 REGRA DE SUBSTITUIÇÃO Há muitos argumentos cuja validade nâo se pode demonstrar verificar ou testar com o uso exclusivo das dez Regras de Inferência dadas anteriormente Cap 7 sendo necessário recorrer a um princípio de inferência adicional a Regra de substituição de proposições equivalentes seguinte Uma proposição qualquer P ou apenas uma parte de P pode ser substituída por uma proposição equivalente e a proposição 0 que assim se obtém é equivalente à P 2 EQUIVALENCIAS NOTÁVEIS A fim dc facilitar o emprego da Regra dc substituição damos a seguir uma lista de proposições equivalentes que podem substituirse mutuamente onde quer que ocorram 1 Idempoténcia 1 D i p p A p ii p p v p II Comutação COM 0 p A q q a p ii p v 9 q v p III Associação ASSOC i p A q A r p A q A r ii p v q V r p V q V r V Distri buiçáo DIS1 i p a q V 9 P A qj V P A r ii p V q A 9 p V q A pv r V Dupla negação DN p p VI De Morgan DM i p A q p v 9 ii p V q P A q VIL Condicional COND pqp V q VIII Bicondicional BICOND i p q p 9 A q p ii p q p A v p A q IX Contraposição CP p q q p X ExportaçãolmportaçãoEl p A q r p q 9 Estas equivaléncias notáveis constituem dez Regras de Inferência adicionais que se usam para demonstrar verificar ou testar a validade de argumentos mais com plexos u i Uma importante diferença no modo de aplicar as dez primeiras Kegras dc Inferência e estas dez últimas Regras de Inferência deve ser observada as dez primeiras Regras de Inferência só podem ser aplicadas a linhas completas de uma demonstração ou dedução ao passo que as dez últimas Regras de Inferência podem ser aplicadas tanto a linhas completas como a partes de linhas completas consoante a Regra de substituição L D G A R D DE A L E N C A R F IL H O I N IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 131 Definição Dado um argumento P P2 Pn IQ chamase demonstra ção ou dedução de Q a partir das premissas P P2 Pn toda a scqucncia finita de proposições X X 2 tais que cada Xj ou é uma premissa ou resulta dc proposições anteriores da sequência pelo uso de uma Regra de Inferência e de tal modo que a última proposição X da sequência seja a conclusão Q do argumento dado 3 EXEMPLIFICAÇÃO 1 Demonstrar que é válido o argumento p q q p Dem Temos sucessivamente 1 p q P 2 qP 3 q p i c p 4 q p 3 DN 5 p 24 MP 2 Demonstrar que 6 válido o argumento pq r q pr Dem Temos sucessivamente 1 p q P 2 r q P 3 q 4 r 2 C P 4 q r 3 DN 5 p r 14 SH 3 Demonstrar que é válido o argumento p v q A r p v q s lp V s Dem T emos sucessivamente 1 P V q A r p 2 p v q s P 3 p v q A p V r 1 DIST 4 p v q 3 SIMP 5 s 24 MP 4 j D e mo n s t r a r que c válido o a r g u m e n t o p v q r A s s q Dem Temos sucessivamente 3 2 E D G A R D D E A L E N C A R F I L H O fl p V q rA S P 2 s P 3 r v s 2 AD 4 Mr A s 3 DM 5 PV q 1 4 MT 6 p A q 5 DM 7 q 6 SIMP 5 Demonstrar a validade do argumento Sc Londres não lica na Bélgica eniao Paris não fica na França Mas Paris fica na França Logo Londres tica na Bélgica Dem Representando as proposições Londres fica na Bélgica 5 e Paris fica na França respectivamente por p c q o argumento dado na forma simbólica escrevese pq q p Posto isto temos sucessivamente D p q P GO q P 3 p v q 1 CON D 4 p V q 3 DN 5 q 2 D N 6 p 45 SD Logo o argumento dado é válido embora sua conclusão seja uma pi oposição falsa 16 Demonstrar a validade do argumento p V q v r p V q A p q t Dem Temos sucessivamente II p v q v r P 2 p v q A p P 3 p v q A O p V p2 DIST 4 O p v q A p 3 ID 5 p 4 SIMP IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 133 6 p V q v r 7 q V r 8 q r 7 Demonstrar a validade do argumento p q r q Dem Temos sucessivamente i ASSOC 56 SD 7 COND 1 p V q 2 r q 3 r 4 5 6 7 8 q r p r r p i p p 2 CP 14 SH 5 C P 6 DN 37 MP 8 D e m o n s t r a r a vali dade d o a r g u m e n t o p q q s t V r A s Dem Temos sucessivamente 0 pi 2 q S 3 t V r A s 4 5 6 O 8 9 10 II p q s A s q q s P S Õ v r A t v s t v s s V l s t 2 BICOND 4 SIMP 15 SH 3 D1ST 7 SIMP 8 CO M 9 COND 6 1 0 S H 9 Demonstrar a validade do argumento Se estudo então não sou reprovado cm Física Sc não jogo basquete então estudo Mas fui reprovado em Física Portanto joguei basquete Dem Representando Estudo por p Sou reprovado em Física por q e Jogo basquete por r o argumento dado sob forma simbólica escrevese r p q I r 1 3 4 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O Posto isto temos sucessivamente p q r p q D 2 3 4 q 5 p 6 v p 7 r v p r P P P 3 DN 14 MT 2 CON D 6 DN 57 SD 8 Logo o argumento dado c válido 10 Demonstrar que é válido o argumento p V q A x p s s n Dem Temos sucessivamente 1 p V q A r p 2 p s p 3 s r p 4 p r 23 S H 5 p V q A p V r 1 DIST 6 p V r 5 SIMP 7 r V p 6 CO M 8 r v p 7 DN 9 r p 8 COND 10 r r 49 SH 1 1 r v r 10 COND 1 2 r V í 11 D N 13 r 12 I D strar que é válido o argumento p A q r i V s A t p q Temos sucessivamente D p A q r P 2 r v s A t P 3 p q P 4 p q A q p 3 BICON 5 p q 4 SIM P p s INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 135 6 p p A q 5 A B S i n p r 16 SH 8 r v s A r V t 2 Dl ST 9 r v s 8 S1MP 10 r V s 9 DN H r s 10 COND 12 P s 711 SH 12 Demonstrar quo é válido o argumento p q rs q v s H h p A r Dem Temos sucessivamente 1 p q P 2 L S P 3 q v s t P 4 P 5 4 D N 6 q V s 35 MT 7 q A S 6 D M 8 q 7 SIMP 9 7 SIMP 10 p 18 M T 1 1 r 29 MT 1 2 p A r 1 0 1 1 CONJ 13 Demonstrar a validade do argumento p q q p r V s r s r A si p Dem Temos sucessivamente 0 P 9 P 2 q p r v s P 3 r s P 4 r A s P 5 r A s v r A s 3 BICOND 6 r A s 5 SIMP 7 rv s 6 DM 8 p p r v s 1 2 s n 9 P A p r V s 8 El 1 0 p r v s 9 JD U p 7 1 0 MT 14 Demonstrar a validade do argumento p q q r r p p n p A r Dem Temos sucessivamente 36 E O G A R D DE A L E N C A R F IL H O 1 pq P 2 q r P 3 r p P 4 p r P p r 12 S H 6 p r A r p 35 AD 7 P r 6 BICOND 8 P A r V p A r 7 BICOND 9 p v r 4 COND 10 p A r 9 DM 1 1 p A r 810 SD 15 Demonstrar que é válido o argumento p i q í í v st tq Dem Temos sucessivamente 1 p v q r P 2 r V S t P JÇ3 J P 4 t 5 i V s 6 A s 7 r 8 p v q 9 p A q 10 p a 11 q 16 Demonstrar a validade do argumento 1 k 6 2 y 7 v x y y 4 A x y 3 y 4 x 6 4 x 6 x y x y 3 DN 24 MT 5 DM 6 S1MP 17 MT 8 D M 9 DN 10 S1MF I N IC IA Ç A O à L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 137 Dem Temos sucessivamente 1 x 6 P 2 y 7 v x y y 4 A x y P 3 y 9t 4 tx 6 P 4 x 6 x y P 5 x y 1 4 6 y 4 13 7 y 4 A x y 56 8 y 4 a x y 9 y 7 v x y 28 10 y A x y 9 11 x y 10 17 IJemonstrar a validade do argumento 1 y 1 A y 1 2 y 1 y 1 V y l 3 x 3 V x 3 4 x 3 x y 5 x 3 x y M x y V y 1 IJem Temos sucessivamente 1 y l A y l 2 y f y l v y l 3 x 3 V x 3 4 x 3 x it y 5 x 3 x y 6 x y v x y 7 x y 8 y l A y l 9 y 1 v y 1 1 0 y 1 1 1 x y A y l 1 2 x y v y I 18 Demonstrar a validade do argumento 1 x y x y 2 y 0 x y 3 x 0 v x y 0 y 0 4 x y s y 0 x 0 x y a x I P P P P P 345 DC 6 ID I COM 8 DM 29 MT 710 CONI II DM MP MT CONJ DN MT DM SIMP 138 EDGARD DE ALENCAR FILHO Dem Temos sucessivamente 1 x y x y P 2 y 0 x y P 3 x 0 v xy 0 y 0 P 4 x y y 0 x U P 5 y 0 x y A x y y 0 2 BICOND 6 x y y 0 5 S1MP 7 x y y 0 16 SH 8 x 0 47 MP X II O X II O 8 AD o li s 39 MP 1 1 y 0 x y 5 SIMP 1 2 x y 1 0 1 MP 13 x y V x 1 12 AD 14 x y A x 1 13 DM 19 Demonstrar a validade do argumento 1 x y A y x 2 y 7 x z 3 3 x y i 3 Dem Temos sucessivamente 1 x y a y zx 7 p 2 y x 3 p s X A p 4 x y y x 7 1 El 5 y z x z 34 MP 6 3 25 MP 4 INCONSISTÊNCIA Duas ou mais proposições que não podem ser simultânea mente verdadeiras dizemse inconsistentes Também se diz que formam um conjunto inconsistente de proposições Um argumento se diz inconsistente se as suas premissas nao podem ser simul tâneamenlc verdadeiras inconsistentes IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 139 As proposições p V q p V r q r p ex são inconsistentes pois c impossível encontrar uma atribuiçao de valores às proposições simples componentes p q e r que torne essas três proposições com postas simultáneamente verdadeiras Com efeito construindo as tabclasvcrdade dessas tres proposições verificase que cm cada linha pelo menos uma delas c falsa F isto é não há uma só linba em que admitam todas o valor lógico V P V q P V r 9 r F v v F v v v F v v v v F v v F v v v v F v F F F v v v F v v F v F v v F v v v F v v v F F v F v F F F v F F F V v v v v F F F v F v v F v F F F F v v F F F F v F v v F F v v F F v v F F v F Também se pode demonstrar que as tres proposições dadas são inconsistentes deduzindo do seu conjunto uma contradição qualquer p ex do tipo A A A mediante as regras de dedução usadas para os argumentos pois como estas regras preservam a verdade a contradição que se obtém prova quo estas très proposições não podem ser conjuntamente verdadeiras Realmente temos sucessivamente 1 P V q 2 p V r 3 q r 4 p A q 1 DM 5 p A q 4 DN 6 9 5 SIMP 0 r 36 MP 8 p 5 SrMP 9 r 28 SD 10 r A 7 9 CONJ Outros exemplos 1 Demonstrar que são inconsistentes as três seguintes proposições D 2 3 x I y x y x y O y 0 v x 1 y 40 EDGARD DE ALENCAR FILHO Dem Temos sucessivamente X li A X 2 y x y 0 3 y 0 V x 1 o it s t II X 12 su 5 y ü A x 1 3 DM 6 x 1 5 SIMP 7 y 0 46 MP 8 y 4 0 5 S IM P 9J y 0 A y 0 78 CONJ Cont i 2 Demonstrar que é inconsistente o conjunto das seguintes proposições p V q p A S s V r r r a q De m Te mos s u cess ivame n te 1 p v q 2 p A s 3 s V r 4 rr Aq 5 P 2 SIMP 6 s 2 SIMP 7 q 15 SD 8 r 36 SD 9 r A q 48 MP 10 q 9 SIMP 11 q A q 7 1 0 CONJ Cont 3 Demonstrar que é consistente o conjunto das seguintes proposições Cpv q r s q A r Dem Com efeito para a seguinte atribuiçao de valores lógicos às proposições simples componentes p q r e s V F r P s q a três proposições compostas dadas são simultáneamente verdadeiras pois te mos F V F F V F F V F A V V A V V EXERCÍCIOS 1 D e m o n s t r a r a validade d o s s e g u in t es a r g um en t o s a p q q p r a s r a s b p q p r q fr c p r q M q f p d p q q r rjp e p v q p r r j q f t p y q r q p g P V q q q A r p r h p q p iq y s i p q q r r p j P 9 9 P r i r k p q q p l P V q q p r A s s A r m r A l 4 s p s p A q l A r TO r A s v p q p t p q V t 5 A r o p v q r p r s Si q P p q v r p r q q r p a q i V s s q A p r p A q q r p r s r s p A q p F q V S r v s t s p v 15 t q A r r A q u p q F q n p q v ss v t p A s q p r s r y q i t w r p r A s V t H q v u q A u p x p V q S q A r p s q s r A q y p V i p V 9 r S q A S H A S s A t p 9 q n v p v r 2 D e m o n s t r a r a validade d os s eg u in t es a r g u me nt o s a 1 x y x z 2 z 6 x y z 7 3 x z z 7 z 6 V z y b 1 x y x y v x y 2 x y v x y x 4 4 3 x y x 4 1 y x 4 4 4 x it y x y I N I C I A Ç A Ò Â L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 141 142 c D 2 3 4 x 3 V y 3 x 2 V x y 5 y 3V x 3x y 5 y 5 A y 3 x 2 y 5 Í l x 3 A y 6 2 y 4 7 X 2 A y x 3 y 6 A x U y x A x l y 7 c 1 y 3 2 x y 8 y 3 3 x t y 8 V x 5 x 5 A y 4 0 0 x y 2 x y V M 3 v x y 5 3 x 3 x y v y 2 x y e D y x 2 V x y 8 2 x y v y 5 3 x 2 x y 8 x 2 v y 5 h D x 1 x y 2 x2 4x 3 0 x 1 V x 3 3 x y V x2 4x 3 0 4 x 3 x y x y v y 4 0 D x y A x y 7 2 x y x 4 3 x y 7 x 4 4 x y 2 x 4 x y 2 j D z 3 V x y A y 2 2 x y v x 1 3 x s x y 4 x x x y X 1 E D G A R D DÊ A L E N C A R F IL H O IN I C I A Ç Ã O A L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 143 k D 2 3 3 x y H 3 x 9 3 x 9 3x y 1 1 y 2 y 2 v x y 5 x y 5 1 fl 2 x 6 x 3 2 2 x 8 x 4 3 2 x 6 V x 4 2 x 8 A x 3j m 0 5 x 15 x 3 2 5 x 15 A 4 x 12 3 x 3 x 2 y 7 y 1 A x 2 y 7 r CD y x x y v x y 2 y 1 V y x x y A x y 1 x y y 4 2 y 6 x y 10 O y 4 Ax y 10 x y A y 6 P 1 x y V x 6 2 x y x 4 3 x 4 x 5 a x 7 4 x 6 x 5 A x 7 5 x 7 A x W z x V y 6 x y y 7 v x x 6 r V I 3 Demonstrar a validade dos seguintes argumentos b c d r p A q p v q p V q r t p ss p q r r p v q v s p A q r s r A s q e p v q V r p r s v t s v t f p v q r r q v s v t s t g P V q r p V s A r q h p q í V S p A q SV t u i p v q s r p v r A tj q v s E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O j J M 1 m n j o Cpj q 4 Demonstrar que os seguintes conjuntos de proposiçoes sao inconsistentes dedu zindo uma contradição para cada um deles a U q p b D p V q 2 p V r 2 q r 3 q V f 3 P r c U M p V q d D p v s i q 2 q r 2 q r 3 r v s 3 t p 4 4 t A r íc d x y x 4 m d x 0 x y x 4 V x 2 x 1 A x 0 0 x z v x iy 3 x y y x 1 g 1 x y x h 1 x y x 4 y 2 x A x y V y 2 y z y 3 y x z 3 x y A y 7 4 x y V z y Demonstrar que os seguintes conjuntos de proposições sao consistentes D pq b d pq 2q q r 2 q r 3 r V S 3 p v r c 0 P V q d D pq 2 p r 2 r q 3 r 3 q s c 1 x y x 4 y 0 D x 2 V x 3 2 x y V x y 2 x 2 V x 4 3 3 x y x y p q p V r A sjq S p q V r r p q p Vq r r H s i s p p V q q r s t r s p p q q V r S S p p v q A r p v r s A t s p q V r A S q p V S p q p A q i V s r v s t p t ufu p v q r A s r p Capítulo 13 Demonstração Condicional e Demonstração Indireta l DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL Ouíro método muito úlil para demonstrar a validade de um argumento c a Demonstração condicionar Esta demonstração todavia só pode set usada se a conclusão do argumento tem a forma condicional Seja o argumento P P z Pn lA B 1 cuja conclusão é a condicional A B Sabemos que este argumento é válido se e somente se a condicional associada P A P2A A Pn A B é tautológica Ora pela Regra de Importação esta condicional associada é equivalente à seguinte P A P2 A A Pn A A B Assim sendo o argumento 1 é válido se e somente se também c válido o argu mento P j P P nA lB cujas premissas são todas aquelas do primitivo argumento 1 mais uma A e cuja conclusão é B observese que A c B são respectivamente o antecedente e o conse quente da conclusão do primitivo argumento 1 Em resumo temos a seguinte regra DC Para demonstrar a validade do argu mento 1 cuja conclusão tem forma condicional AB introduzse A como premissa adicional indicada por PA e deduzse B X 146 E D G A R O DE A L E N C A R F IL H O 2 EXEMPLIFICAÇÃO Demonstrar a validade du argumento pvíqi qp Dem Dc conformidade com a Regra DC para demonstração de um argumento cuja conclusão tem forma condicional cumpre deduzh Lp a partir das premissas p V q v r e q isto c demonstrar a validade do argumento p V q r r qip Temos sucessivamente D 2 4 5 6 7 8 P V q r q p p PA p v q V r pv q V r p V q Cj P 1 COND 4 ASSOC 25 SD 3 DN 67 SD 2 Demonstrar a validade do argumento p q V r s v r v t pV s s q t Dem Dc conformidade com a Regra DC cumpre demonstrar a validade do u gumento p q V r s v r t p V s s qf t Temos sucessivamente l p q V r P 2 s v r t P 3 p v s P 4 P 5 4 PA 6 p s 3 CON D 7 46 MT 8 q V r 17 MP 9 q r 8 CON D 10 r t 24 SD 1 1 q t 910 SH 12 t 511 MP IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 147 3 Demonstrar a validadedoargumentõ D y 4 x yj A x x 2 x y v 7 y y 4 A y 3 3 y 2 y y 2 v y 4 y 4 v y 3 Dem De conformidade com a Regra DC cumpre demonstrar a validade do ar gumento 1 y 4 x y A x 2 x y V z y y 4 A y 3 3 y 2 y 4 y 2 v y 4 y 4 v y 3 Temos sucessivamente 1 y 4 x y A x P 2 x y v y y 4 A y fc 3 P 3 y 2 y P 4 y 2 V y 4 PA 5 y 4 x y 1 S1MP 6 x y V y y 345 DC y 4 A y 3 26 MP 8 y 4 7 S1MP 9 y 4 V y 3 8 A l 4 Demonstrar a validade do argumento p q r s V r t p SI ssqt Dem Consoante a Regra DC cumpre demonstrar a validade do argumento p q r s v r 0 Ps s q t Como a conclusão deste argumento também é uma condicional q t fazendo uso novamente da mesma Regra DC cumpre demonstrar a validade do ar gumento Temos sucessivamente 4 g E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O 1 p q 0 P 2 s v r t P 3 p s P 4 s PA 5 l PA 6 p 34 MT 7 q v r 16 MP 8 r 57 MP 9 r 1 24 SD 10 t 89 MP 5 Demonstrar a validade do argumento p q q s t V r A s p t Dem Consoante a Regra DC cumpre demonstrar a validade do argumento p q q s t V r A s p t Temos sucessivamente 1 p q p 2 q s p 3 t V r A s p 4 P PA 5 q 14 MP 6 q s A s q 2 BICOND 7 q s 6 SIMP 8 s 5 7 MP 9 t V rj A t v s 3 DIST 10 t V s 9 SIMP 11 8 DN 12 t 1011 SD 6 Demonstrar a validade do argumento p q r s p A t v r A u qs Dem Consoante a Regra DC cumpre demonstrar a validade do argumento p q rs p A t V r A u q s N I C f A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 149 íucessivamenté D p q P 2 r s P 3 p A t v r A u P 4 q PA 5 q 4 D N 6 15 MT 7 s P 6 D N 8 p v t 7 AD 9 P V t 8 DN 10 p A t 9 D M 11 r A u 310 S D 1 2 r 11 S1MP 13 s 212 MP 3 DEMONSTRAÇÃO INDIRETA Um outro método frequentemente empregado para demonstrar a validade de um dado argumento Pl r P2 v Q 1 chamado Demonstração indireta ou Demonstração por absurdo consiste em admitir a negação Q da conclusão Q sito é supor verdadeira e dai deduzir logicamente uma contradição qualquer C p ex do tipo A A A a partir das premissas P P2 Pn e Q isto é demonstrar que c válido o argumento IV P 2P n Q H C Se assim ocorre então o argumento dado 1 também c válido Com eteilo pela Regra DC Demonstração condicional o argumento P P z P n l Q C é válido E como temos C v C 5 Q v C Q seguese que é válido o argumento dado 1 Em resumo temos a seguinte Regra Dl Para demonstrar a validade do argumen to 1 introduzse Q como premissa adicional indicada por PA e dcduzsc umu contradição C p ex A A A E D G A R O OE A L E N C A R F IL H O 4 EXEMPLIFICAÇÃO 1 Demonstrar a validade do argumento p q r q i p A r Dem De conformidade com a Regra Dl Demonstração indireta cumpre deduzir uma contradição das premissas p q r q e p A r Temos sucessi vamente 1 p qf P 2 r q P 3 p A r PA 4 p 3 SIMP 5 r 3 SIMP 6 q 14 MP 7 q 25 MP 8 q A q 67 CON Cont 2 Demonstrar a validade do argumento p q q V r p v s Dem De conformidade com a Regra Dl cumpre deduzir uma contradição das premissas p q q v r r c p V s Temos sucessivamente 1 p q P 2 q V r P 3 r P 4 p v s PA m p A S 4 D M 6 p 5 SIMP q 16 MP 8 q 23 SD 9 q A q 78 CONJ Cont 3 Demonstrar a validade do argumento p q v r r f p q Dem De conformidade com a Regra DC Demonstração condicional cum pre demonstrar a validade do argumento p q V r r pq e portanto consoante a Regra Dl Demonstração indireta cumpre deduzir uma contradição das premissas p q V r r p e q Temos sucessivamente 1 p q v r P 2 r P 3 p PA 4 q PA IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 151 5 q v r 13 M P 6 q 25 SD 7 q A q 4v6 CONJ Cont 4 Demonstrai a validade do argumento p V q q r s p s t t r Dem De conformidade com a Regra DC Demonstração condicional cumpre demonstrar a validade do argumento p V q q r s p s t tr e portanto consoante a Regra Dl Demonstração indireta cumprc deduzir uma contradição das premissas p V q q r s p st t e r Temos sucessivamente 1 p V q P m q P 3 r s P 4 p s t P 5 t PA 6 r PA p 12 SD 8 s t 47 MP 9 s 36 MP I 0 t 89 MP 1 1 t A t 510 CONJ Cont 5 Demonstrar a validade do argumento 1 y 1 V z 1 2 x y A x z A z l x 0 3 y 1 v x 0 v x y A x z 7 x o 152 EDGARD DE ALENCAR FILHO Dem Dc conformidade com a Regra Dl Demonstração indireta cumpre d eduzir u m a c o n t r a d i ç ã o das premissas 1 2 3 e x 4 0 Temos sucessi v ã m en t e U y 4 1 V z 4 1 P 2 x y A x A f 1 X 0 P 3 y 1 V x 0 V x y A x z P 4 x 4 0 PA 5 y 1 A Z 1 1 DM 6 y i 3 SIMP 7 y 1 V x 0 6 AD y 1 V x 0 7 DN 9 x y a x z 38 SD 10 z 1 5 SIMP I I x y A x A z 1 910 CONJ 12 x 0 211 MP 13 X 0 A x 4 0 412 CONJ Cont 6 D e m o n st r ar a validade d o a r g u m e n t o U x 1 V x y y V x y 2 x y x2 xy A y 1 3 1 y 1 x 2 xy Dem De conformidade com a Regra Dl Demonstração indireta cumpri ded uz ir uma c o n t r a d i ç ã o das premissas 1 2 3 e y 1 x x y Temos sucessivamente d x 1 V x y y V x y P 2 x y x 2 x y A y l P 3 x 4 1 P 4 y 1 x2 xy PA 5 x y y V x y 13 SD 6 x y y A x y 5 D M 7 x y 6 S1MP 8 x2 x y a y 1 27 MP 9 x2 x y 8 S ÍM P 10 y i 8 SIMP 11 x2 xy 410 MP 12 x3 xy a x2 xy 911 CONJ Cont IN I C I A Ç Ã O à L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 153 7 Demonstrar a validade do argumento 1 x y x y x 2 x 4 y A xy 4 x 3 x y v y I x 2 x 2 x y Dem Consoante a Regra DJ Demonstração indireta cumpre deduzir uma contradição das premissas 1 2 3 c x 2x y Temos sucessiva mente 1 x y xy x P 2 x y A x y x P 3 x y v y l x 2 P 4 it X 1 rl II X PA 5 x 4 y 2 S1MP 6 xy 4 x 2 SliVlP 7 x y 16 MT m x y v y 1 7 AD 9 x 2 38 MP 1 0 x 2 x y A x y x 2 4 BICOND 1 1 x 2 x y 10 SIMP 1 2 x y 911 MP 1 3 x y A x 4 y 512 CONJ Cont EXERCÍCIOS 1 Usar a Regra DC Demonstração condicional para mostrar que são válidos os seguintes argumentos a b c d e f g h j O I m r v q s r q p q r A p j I q r r t r s q p p A q pq r p s r s q p r q s p r A s q p q r q q p v s r p v s qr t s A T t p V q r s s q r V s A p q p A s r v s t p r q p A q s A t r p s 1 t r H p v q q p t v s q v s p v r t p V q r s 4 r A r t S V U Ip U p q r t s r p v s f q t 2 Usar a Regra DC Demonstração condicional para m o stra r q u e são válidos os seguintes argumentos a 1 K y x y v y x 2 y 2 v x 2 154 E D G A R D DE A L E N C A R F tL H O 3 x y v y x x 2 y 2 x y íb D x I xy 2 U x y í x l 3 y 1 v x 2 x f y 3 A xy 2 x 1 x T a y 411 c D x 0 x2 x 0 o II 1 t li 3 x 2 v x2 x 0 x 3 3x2 2x 0 x 0 v x 1 x 3 3 x 2 2 x 0 3 Usar a Regra DC Demonstração condicional para mostrar que são válidos os seguintes argumentos a p v q r v qi p r b p v q p V r A s qS c p A q r v s r A s p q d p q p v r s v t r j s q c p q v r s V t r s V t A u p q f p q A r A s s 1 v u u rt g p v q q rs p st t r 4 Usar it Regra Dl Demonstração indireta para mostrar que são válidos os seguintes argumentos a H p A q p r q V 0 p b p q r p q V rp C H p A q r q p r r d p q v r q p s j p A s c p v q p f 1 s r v s f p v q S 4 p q V r t S g p q q v r s V r p h p q p v r rS q y s i p A q r i p q r jq j P V q r v s p q v s r v s I N IC IA Ç Ã O à L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 155 k p v q r r spt s 1 p q v r s V t r s v t A u f p q in P q S p n pqr r v s t t q 5 Usar a Regra Dl Demonstração indireta para mostrar que são válidos os seguintes argumentos a 1 2x 3y 24 2 x 6y 4 V 2x 12 b 9 2x 12 x 6 V 2x 4 x 6 2x 12 y 4 D y 1 X 0 V X y 2 1 x 0 v X 3 x y 4 x r 5 y 1 V 1 x 0 6 Usar a Regra D l Demonstração indireta para mostrar que são válidos os seguintes argumentos a p 9 q V r A s q ip s b p q q s t V r A s p l c v p q v r s v r t p s Sqt d p q V s r q v s p s r v s e p q A rs p t V r t f q f p q r A s t p q A r r t f s g p q r t e s V t p q t i r s Capítulo 14 Sentenças Abertas 1 SENTENÇAS ABERTAS COM UMA VARJÁVEL Definição Chamase sentença aberta com uma variável em um conjunto A ou apenas sentença aberta em A urna expressão px tal que pa c falsa F ou verdadeira V para todo a A Lm ou Iros termos px é uma sentença aberta em A se c somente se px tornasc uma proposição falsa ou verdadeira todas as vezes que sc substitui a variável x por qualquer elemento a do conjunto Aa fc A O conjunto A recebe o nome de conjuntouniverso ou apenas universo ou ainda domínio da variável x e qualquer elemento a A dizse um valor da variável x Se a C A c tal quo pa e uma proposição verdadeira V dizse que a satisfaz ni verifica px Uma sentença aberta com uma variável cm A também se chama função pro posicional com uma variável em A ou simplesmente função proposicional em A ou ainda condição em A Exemplos São sentenças abertas em N 1 2 3 ns conjunto dos números naturais as seguintes expressões a x l 8 b x2 5x 6 0 c x 5 9 d x é divisor de 10 e x é primo f x c múltiplo de 3 2 CONJUNTOVERDADE DE UMA SENTENÇA ABERTA COM UMA VA RIÁVEL Definição Chamase conjuntoverdade dc uma sentença aberta px em um conjunto A o conjunto de todos os elementos aC A tais que pa c uma propo síção verdadeira V Este conjunto rcpresentase por Vp Portanto simbolicamente temos Vp x l x A A px é V ou seja mais simplesmente Vp x I x fe A A px ou Vp x A lp x Obviamente o conjuntoverdade Vp de uma sentença aberta px em A c sempre um subconjunto do conjunto AVp C A h x e m p l o s 1 Seja a sentença aberta x I 8 cm N conjunto dos números naturais 0 conjuntoverdade é Vp x x e N A x i 8 8 9 1 0 C N 2 Para a sentença aberta x 7 5 cm N o conjuntoverdade é V p x x f c N A x 7 5 K N 3 0 conjuntoverdade em N da sentença aberta x 5 3 c Vp x x N A X 5 3 N c N 4 Para a sentença aberta x é divisor de 10 em N temos Vp x U N A x é divisor de 10 1 2 5 10 C N 5 O conjuntoverdade da sentença aberta LLx 2x 0 em Z conjunto dos números inteiros é Vp x 1 x G 7 A x2 2x 0 Z 0 1 2 NOTA Mostram os exemplos anteriores que se px é uma sentença aberta cm um conjunto A três casos podem ocorrer 1 px é verdadeira V para todo x e A isto é o conjuntoverdade Vp coincide com o universo A da variável xVp A Dizse neste caso que px exprime uma condição universal ou uma proprie dade universal no conjunto A IN IC IA Ç Ã O  L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 1 5 7 2 px c verdadeira V somente pata alguns x fc A isto 6 o conjuntoverdadc Vp ê um subconjunto próprio do universo A da variável xVp A Neste caso dizsç que px exprime uma condição possível ou uma propriedade possível noconjunTtrA 3 px não c verdadeira F para nenhum xGA isto ê o con jun tover da de Vp é vaio Vp v Oi neste caso que px exprime uma condição impossível ou uma proprie dade impossível no conjunto A No universo R conjunto dos números reais as condições x I x c x L x são universal a primeira visto ser verificada por todos os números reais c impossível a segunda visto não ser verificada por nenhum número real No mesmo universo R a condição 9x2 I 0 c possível visto ser verificada somente pelos números reais 13 e 13 Pelo contrário no universo N conjunto dos números naturais a mesma condição 9x I 0 c impossível pois não existe nenhum número natural que verifique tal condição Por sua vez a condição 3x 1 é universal em N o triplo de um número natural é sempre maior quo 1 mas não é universal em R não c verificada para x 13 ou para x 113 Como se ve através desies exemplos o emprego dos adjetivos universal possível e impossível depende geralmente do universo adotado Notese po rém que a condição x x é universal e por conseguinte a condição x x é impossível qualquer que seja o universo considerado por virtude do AXIOMA lÒGlCO DA IDLNTÍDADF Todo o ente é idêntico a si mesmo isto c simbóli ca me n te a a qualquer que seja o ente a Imtendese por ente ser ou entidade a tudo aquilo que se considera como existente e a que por isso se pode dar um nome 3 SENTENÇAS ABERTAS COM DUAS VARIÁVEIS Definição Dados dois conjuntos A e B chamase sentença aberta com duas variáveis em A x B ou apenas sentença aberta em A x B uma expressão px y tal quo pta b é falsa F ou verdadeira V para todo o par ordenado a b A x 15 Km outros termos px y é uma sentença aberta em A x B sc e somente se pt x y tornase uma proposição falsa ou verdadeira todas as vezes que as variáveis x e y são substituídas respectivamente pelos elementos a e b de qualquer par ordenado a b pertencente ao produto cartesiano A x B dos conjuntos A e B a b e A x B 153 E D G A R D D é A L E N C A R F IL H O I N I C I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 159 O conjunto A x B recebe o nome de conj un touni verso ou apenas universo ou ainda dom ínio das variáveis x e y c qualquer elemento a b de A x B dizse um par de valores das variáveis x e y Se a b G A xB c Lal que pa b e uma proposição verdadeira V dizse que a b satisfaz ou verifica px y Uma sentença aberta çom duas variáveis cm A x B também se chama função propusidonal com duas variáveis em A x B ou simplesmente função proposicional em A xB ou ainda condição cm A x B Exemplos Sejam òs conjuntos A 123 c B 56 São sentenças abertas em A x B as seguintes expressões a x c menor que yx y b x é divisor de yx y c y e o dõbro de xy 2 x d mdc x y I O par ordenado 3 5 A x B p ex satisfaz a c d pois 3 5 e o jndc3 5 í c o par ordenado 3 6 í A x B p ex satisfaz b e c pois 3 6 c 6 2 3 4 CONJUNTO VL RD ADE DE UMA SENTENÇA ABERTA COM DUAS VARIÁ VEIS Definição Chamase conjuntoverdade dc uma sentença aberta px y em AxB o conjunto dc todos os elementos a b G A x B tais que pa b c uma proposição verdadeira V Este conjunto rcprcscntasc por Vp Portanto simbolicamente temos Vp y xt A A y GB A px y ou seja mais simplesmente Vp x y A x l í px y O conjuntoverdade Vp dc urna sentença aberta px y em A x B é sempre um subconjunto do conjunto A x B Vp A x B Exemplos 1 Sejam os conjuntos A l 2 3 4 c B 1 3 5 0 conjuntoverdade da sentença aberta x y cm A x B c Vp x y x G A A y C B A x y 1 3 1 5 2 3 2 5 3 5 4 5 C A xB I6U EDGARD DE ALENCAR FILHO I 2 Sejam os conjuntos A 234 5 c B 3 6 7 1 0 0 conjunto verdade da sentença aberta x divide y x y cm A x B é V p x y x A A y B A x y 2 62 1 0 33 3 6 S 10 C A xB 3 Sejam os conjuntos A 12 3 c B 3 4 0 conjuntoverdade da sentença aberta x I y cm A x B c V p x y x C A A y B A x l y 1 3 1 4 2 4 í A x B 4 Sejam os conjuntos A 2 3 4 e B 126 0 conjuntoverdade da sentença aberta mdcx y 2 em A x B c Vp X y x G A A y e B A mdcx y 2 2 2 2 6 4 2 4 6 C A x B 5 O conjuntoverdade da sentença aberta 2x y 10 cm N x N sendo N o conjunto dos números naturais c x v x y e N A 2x y I0 18 2 6 34 4 2 C N x N 6 O conjuntoverdade da sentença aberta x2 v2 i em 7x Z sendo 7 o conjunto dos números inteiros é Vp X y xy c Z A x2 y 2 1 0 1 1 0 1 0 0 I C Z x Z 5 SENTENÇAS ABERTAS COM N VARIÁVEIS Consideremos os n conjuntos A l Aj An e o seu produto cartesiano A xA j x x An Definição Chamase sentença aberta com n variáveis eni At x A2 x x An ou apenas sentença aberta em A x A x x An uma expressão pXi x2 l Xn tal que paj a2 an c falsa F ou verdadeira V para toda nupla a1 ii an G A x Ai x x An O conjunto A x A2 x x A j rcccbc o nome de eonjuntouniverso ou apenas universo ou ainda domínio das variáveis x x2 xn e qualquer clemcnlo a a2 an A x A2 x x An dizse uma nupla de valores das variáveis X X 2 Xfi Se ah a an A x A2 x x A n c tal que p a a2 an c uma proposição verdadeira V dise que ai a2 an satisfaz ou verifica pXXa xn Uma sentença aberta cojn n variáveis em A x A2 x x A também sc chaina função pr o posiciona com n variáveis em A x A2 x x An ou simplesmente função proposicionai em A x A3 x x An ou ainda condição cm A x A2 x x An Hxcmplo A expressão x 2y 3 1 c uma sentença aberta em N x N x N sendo N o conjunto dos números naturais O terno ordenado 1 2 4 G N x N x N p ex satisfaz esta sentença aberta pois 1 2 2 3 4 1H 6 CONJUNTOVERDADE DE UMA SENTENÇA ABERTA COM N VARIÁVEIS Definição Chamase conjuntoverdade de uma sentença aberta pX x2 xn em A x A x x An o conjunto de todas as nuplasaf a2 an A x A2 x x Án tais que pa a3 an c uma proposição verdadeira V Portanto simbolicamente temos v p u x 2 x x i GA A x 2 A A A xn At1 ApX X2 xn mi seja mais simplesmente Vp x x2 xnC A x A2 x x A px x2 xn Exemplo O con jun toverdade da sentença aberta 18x 7y 13 39 cm x 7 x Z sendo Z o c o n ju n to dos números inteiros ó Vp x i x2 Xj x x2 x3 GZ A 18x 7y 13 39 I 3 0 4 1 2 3 41 6 8 1 NOTA Fm Matemática as equações e as inequações são sentenças abertas que exprimem relação de igualdade c desigualdade respectivamente entre duas expres sões com variáveis Mas o conceito de sentença aberta é muito mais amplo que o de equação ou inequação assim x divide y x é primo com y x é filho de y etc são sentenças abertas sem serem equações nem inequações IN IC I A Ç Ã O  L Õ G IC A M A T E M Á T IC A 161 Capítulo 15 Operações Lógicas sobre Sentenças Abertas 1 As operações lógicas que definimos para proposições Cap 2 estendemse na turalmente à sentenças abertas 2 CONJUNÇÃO Consideremos p ex as sentenças abertas x é medico x é professor o universo da variável x em cada uma delas sendo o conjunto H dos scrcs humanos Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo A que sc lê e obtemos uma no va sentença aberta em H x 6 módico A x é professor que c verificada por todos os indivíduos que satisfazem ao mesmo tempo as duas condições dadas c só por esses indivíduos Logo e natural chamar a nova sentença aberta assim obtida conjunção das duas primeiras Analogamente a conjunção das sentenças abertas em R conjunto dos números reais x 2 x 8 c a sentença aberta cm R x 2 A X 8 IN IC I A Ç A O A L O G IC A M A T E M A T IC A 165 Assim fazendo x 5 x rr x 2 x 1 x 857 ctc teremos sucessiva mente x x 2 x 8 x 2 A x 8 7 V v v n V v v 2 F v F 1 F v F 857 v F F Notese que a conjunção x 2 A x 8 costuma ser escrita 2 x 8 Aliás sendo a e b números reais quaisquer escrevese por definição a x b x a A x b j a b x a A x b Outros exemplos 1 No universo N conjunto dos números naturais 3 1 x A 5 x 15 x x y A y x x y 2 No universo R conjunto dos números reais 2x y 8 A 5x 3y 9 x 3 A y 2 o que também se pode escrever J 2x y 8 j x 3 5x 3y 9 y 2 3 No universo das liguras geométricas x é um retângulo A x é um losango xc um quadrado De modo geral sejam px e qx sentenças abertas em uin conjunto A Ú óbvio que um elemento a G A satisfaz a sentença aberta px A qx cm A sc a proposição pa A qaj c verdadeira V Ora esta proposição c verdadeira se e somente se as proposições pa e qá são ambas verdadeiras isto c sc e somente se aC A satisfaz ao mesmo tempo as sentenças abertas px e qxem A Portanto o conjuntoverdade Vp A tj da sentença aberta px A qx em A é a interseção n dosconjuntosvcrdadc Vp c Vq das sentenças abertas px e x em A Temos pois simbólicamente Vp A d V n Vq x A px n xGAi q x lüxcmplificando sejam as sentenças abertas em Z con junto dos números intei ros px x2 t x 2 0 qx x2 4 0 Temos Vp A q x C Z x2 x 2 0 n x Z x2 4 2 n 2 2 2 3 DISJUNÇÃO Consideremos ainda as sentenças abertas em H conjunto dos seres humanos x c médico ux é professor Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo V que se lê ou obtemos uma nova sentença aberta cm H x é médico V x é professor que é verificada por todo indivíduo que satisfaz uma pelo menos das duas condições dadas e só por esses indivíduos Logo é natural chamar a nova sentença aberta assim obtida disjunção das duas pTimciras Analogamente a disjunção das sentenças abertas em R conjunto dos números reais x 2 x 8 é a sentença aberta em R x 2 v x 8 166 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O I N IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 167 Assim para x 0 x 1 x 2 x Sxir x 857 cie lesemos sucessi vamente x x 2 x 8 x 2 V x 8 0 v F v 1 v F v 2 F F F 5 F F F n F F F 857 F v v Oulros exemplos 1 No universo N conjunto dos números naturais x 6 V x 1 0 x G 1 2 3 5 6 1 0 2 No universo R conjunto dos números reais x 2 V x 3 x2 x 6 0 x 5 V x 5 x 5 Aliás sendo a c b números reais quaisquer escicvese por definição a b a b V a b Também se escreve por definição a b C c a b A K c ou seja a b c a b v a b A b c v b c Análogos significados têm a b c a b c a b c etc De modo geral sejam px c qx sentenças aborias em um conjunto A F imediato quo um elemento a GA satisfaz a sentença aberta px v qx em A se a proposição pa V qa é verdadeira V Ora esta proposição é verdadeira se e somente sc uma pelo menos das proposições pa e qa é verdadeira isto e se e somente sc aG A satisfaz uma pelo menos das sentenças abertas px e qx em A Portanto o conjimtoverdade Vp v t da sentença aberta px v qx em A é a reunião U dos conjuntosverdade Vp e Vq das sentenças abertas px c qx em A Temos pois simbolicamente Vp v q Vp U Vq x é A px U x G A J q x lixcmpli ficando sejam as sentenças abertas em Z conjunto dos números in teiros px x 2 x 2 0 q tx x2 4 0 Temos Vp v t x G Z x2 x 2 0 U x G Z x2 4 ü 2 1 U 2 2 2 1 2 Para as sentenças abertas d n R conjunto dos números reais px x 0 q x x 0 lemos Vp V q x G li 1 x 0 U x e k x 0 R U R R I 6 g E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O 4 NEGAÇÃO Consideremos no universo 11 dos seres humanos a sentença aberta x tem menos de 21 anos Antepondo a esta sentença aberta o conectivo que se le não c verdade que obtemos a nova sentença aberta cm 11 x tem menos de 21 anos que é natural chamar negação da primeira pois é verificada precisamente pelos indivíduos quo não satisfazem aquela Obviamente a negação de x tem menos de 21 anos é logicamente equivalente à seguinte sentença aberta em II x tem 21 anos V x tem mais de 21 anos Outros exemplos I No universo N conjunto dos números naturais x c par x é únpar IN IC IA Ç Ã O à L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 169 2 No universo R conjunto dos números reais x y x y ou seja x y x v V x y Por sua vc k y x y v x y 3 Lm qualquer universo U x y x y De modo geral seja px uma sentença aberta em um conjunto A E óbvio que um elemento a E A satisfaz a sentença aberta px em A se a proposição pa c verdadeira V Ora esta proposição é verdadeira sc e somente se a proposição pa é falsa F isto c sc e somente se a C A não satisfaz a sentença aberta px em A Portanto u conjuiit o verdade V p da sentença aberta px em A c o complemen to em relação a A do conjunto verdade Vp da sentença aberta px em A Temos pois simbolicamente v p C A Vp Ca x A I p lixemplificando seja A o conjunto dos números naturais divisíveis por 5 isto é A 5k k N 5 10 15 20 Para a sentença aberta cm A px X termina por 5 temos Vp C x A 1 x cnnira por 5 x E A 1 x icrmina por 0 5 CONDICIONAL Consideremos as sentenças abertas em Z conjunto dos números inteiros x 2 5 x 6 t r uyc 9 Ü Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo que se lê se então obtemos uma nova sentença aberta cm 7 x 2 5 x 6 O x 2 9 0 denominada condicional das duas primeiras c verificada por todo número inteiro diferente de 2 paia x 2 a condicional é falsa F porque o antecedente é verda deiro Y e o consequente é falso F De modo geral sejam px e qx sentenças abertas em um mesmo conjunta A Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo obtemos uma nova sentença aberta cm A px qx que c verificada por todo elemento a A tal que a condicional Ha qa é verdadeira V Por ser px qx px V qx seguese que o conjuntoverdade Vp q da sentença aberta px qx ern A coincide com o conjuntoverdade da sentença aberta px V qx cin A e portanto c a reunião U dos conjuntosverdade Vv p e Vq das sentenças abertas px e qx cm A Temos poissimbólicamente p q p LJ Vq C A Vp U Vq ou seja Vp q tA x fc A px U x G A l q x Fxemplificando sejam as sentenças abertas em N conjunto dos números natu rais px x 12 qx x 45 Temos Vp q CN x G N x I 2 U x N X 45 Cn 1 2 34 6 12 U 1 3 5 9 1 5 4 5 N 246 12 6 BICONDICIONAL Consideremos as sentenças abertas em 7 conjunto dos números inteiros x 5 x 0 Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo que se lê sc e so mente se obtemos uma nova sentença aberta cm 7 x 5 x 0 denominada bieondicional das duas primeiras c que é verificada por todo número inteiro maior que 5 e menor que 0 isto c para x 4 3 2 1 e somente por esses números De modo geral sejam px c qx sentenças abertas cm um mesmo conjunto Á Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo obtemos unia nova sen 170 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O tença aberta em A px qx que é verificada por todo elemento a A tal que a bicondieional pa qa c verdadeiraV Por ser px qx px qx a qx px seguese que oconjunto verdade Vp q da sentença aberia px qx em A coincide com o conjunto verdade da sentença aberta cm A p x qx A qx px e portanto é a interseção H dos coujuntosverdade V p q e Vq p das sentenças abertas etn A px x c qx px Teínas pois simbólicamente V p q Vp q n Vq p Vp U V q i V q U Vp CA Vp U V q n C A V q U V p Oti seja Vp w q a X e A I p x u X e A qx I n n C A x A qx U x t A px Exemplificando sejam as sentenças abertas cm N conjunto dos números na turais px x C q x x 15 T e m o s NVp U Vq Si 1 2 0 U 1 3 51 5 N 2 6 f NVq U Vp CN 1 3 5 I 5 U 1 2 3 6 N 51 5 e portànto Vp q N 2 6 n N 515J N 2 5 6 1 5 I N IC IA Ç Ã O Á L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 171 7 ÁLGEBRA DAS SENTENÇAS ABERTAS As propriedades das operações lógicas sobre proposições Cap 7 se transmitem automaticamente üs operações lógicas sobre sentenças abertas ent um mesmo con junto que vimos dc definir Assim a conjunção e a disjunção continuam a ser comutativas e associativas e cada uma delas c distributiva em relação à outra Subsiste a propriedade da dupla negação assim como as leis de DE MORGAN Quanto às propriedades de identidade p A t M p p AC C p V t t p V C p assumem agora novo aspecto Assim temos J A conjunção de uma sentença aberta com uma outra que exprime uma condi ção universal c equivalente à primeira II A conjunção de unia sentença aberta com uma outra que exprime uma condi ção impossível também exprime unia condição impossível Destas duas propriedades resultam mais duas outras por dualidade lógica subs umindo conjunção por disjunção universal por impossível c impossível5 pot universal Consideremos p ex cm R conjunto dos números reais os sislcmas j 2 x I 3 J 2 x I 3 x f I x x 1 x tuc se podem escrever rcspcctivamentc 2x 1 3 A x I x 2x I 3 A x 1 x Como a sentença aberta x 1 x exprime uma condição universal e a sentença aberta x l x exprime uma condição impossível teremos 2x 1 3 A x i x 2x I 3 2x 1 3 A x I x x i x impossível A n a lo g a m en te 2x I 3 V x 1 x x I x universal 2x I 3 V x t I x 2x f 3 CONVENÇÃO Dadas varias sentenças abertas pix píx p3x es crevese p x a P j x a p 3 x em lu gar de p x A p 3 x A p íx p x A P j x A P x A p 4 x em lu gar de p x A p x A P x A p 4 x e tc A n a lo g a m e n te para a d isju n çã o EXERCÍCIOS I Determinar o conjuntoverdade era A 1 2 3 9 10 de cada uma das seguintes sentenças abertas compostas a x 7 A x c ímpar b x é par A x 2 10 c 3 I x A x 8 d X 4 A A X 2 5 Í A 172 Ê D G A R D DE A L E N C A R F IL H O IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 173 2 Determinar o conjuntoverdade em A O 1 2 3 4 5 de atida uma das seguintes sentenças abertas compostas a x 2 3 t 0 V XJ X b x c par V x2 9 c x é primo v x 5 fe A d x 2 16 V x2 6x 5 0 3 De terminar o conjuntoverdade em A 1 2 3 4 5 de cada uma das seguintes sentenças abertas compostas a x 3 b xé ímpar c x i 12 d x A e x é primo f x 2 3x 0 4 Determinar o conjuntoverdade em A 3 2 1 0 I 2 3 de cada uma das seguintes sentenças abertas compostas a x c par x2 1 0 b x 1 2 x é primo c x 5 a x 0 d x2 I 0 x 2 4x 3 0 e x2 x 6 0 x 2 9 0 5 Determinar o eonjuntoverdade cm A 0 1 2 3 4 5 de cada uma das seguintes sentenças abertas compostas a x2 3 X 0 x2 x 0 b x é par x2 8 c x c primo x t 3 A d x3 12 x 2 5x 6 0 ó Sejam as sentenças abertas em R conjunto dos números reais px 2x 3 0 c qx x 1 0 Determinar Vp A q c Vp q 7 Sejam as sentenças abertas cm R conjunto dos números reais px lSx2 2x 8 0 e qx 5x2 19x 1 2 0 Determinar V pV q e V pA 8 Sejam as sentenças abertas cm R conjunto dos números reais px 4x 3 0 e qx 5x 2 0 Determinar Vp A q c Vp 9 Sejam as sentenças abertas cm A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 px x2 A e qx x c ímpar Determinar VpHq Vq p e Vpq 174 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O 10 Sejam px qx e rx sentenças abertas em um mesmo conjunto A Exprimir o conjuntoverdade da sentença aberta composta p x q x v d cm função dc Vp Vq c Vr Resolução Temos sucessivamente Vp q v r CAVp U Vq v CAVp U Vq U V r CAV p U Vq U CAVr 11 Sejam px qx c rx sentenças abertas em um mesmo conjunto A Achar a expressão do conjuntoverdade dc cada uma das sentenças abertas compostas abaixo em função de Vp Vq e Vr a Mpíx v qx c pxM ix q b px qx d px qx A qx rx Capítulo 16 Quantificadores 1 QUANTIFICADOR UNIVERSAL Seja px uma sentença aberta em um conjunto não vazio A A0 e seja Vp o seu conjuníoverdade Vp x x A A px Quando Vp A isto é todos os elementos do conjunto A satisfazem a sentença aberta px podemos então afirmar i Para todo elemento x de A px é ver dadeira V ii Qualquer que seja o elemento x dc A px c verdadeira V ou seja mais simplesmente iii Paia todo x de A px iv Qualquer que seja x de A px Pois bem no simbolismo da Lógica Matemática indicase este fato abreviada mente de uma das seguintes maneiras 1 V x e A px 2 v x E A px 3 v x A px Muitas vezes para simplificar a notação omitcse a indicação do domínio A da variável x escrevendo mais simplesmente 4 V x px 5 V x px 6 v k px Subsiste pois a equivalência V x C A p x Vp A Importa notar cue pfx simplesmente é uma sentença aberta c por conseguinte carece de valor lógico V ou F mas a sentença aberta px com o símbolo antes dela isto c V xfc ApfóX tornase uma proposição c portanto tem um valor lógico quo c a verdade V se Vp A e a falsidade F se Vp A Im outros termos dada uma sentença aberta px em um conjunto A o símbolo V referido à variável x representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta px numa proposição verdadeira ou falsa conforme px exprime ui não uma condição universal no conjunto A A esta operação lógica dase o nome de quantificação universal c ao respectivo símbolo V que é um A invertido o dc iuantificador universal Quando cm particular A seja um conjunto finito com n elementos at a2 tn isto e A a a2 an é óbvio que a proposição V x A px é equivalente à conjunção das n proposições pai pía2 pan ou seja simbo licamente V x A px pa i a p2 a a PÍan Portanto num universo finito o quantificador universal equivale a conjunções sucessivas Assim p ex no universo finito A 3 5 7 e sendo px a sentença aberta lx é primo temos Y x G A x é primo 3 e primo A 5 é primo A 7 é primo Lxcmplificando a expressão V x x é mortal lêse Qualquer que seja x x é mortal o que é uma proposição verdadeira V no universo H dos scrcs humanos ou mais geralmente no universo dos seies vivos Se a variável da sentença aberta for uma outra em vez da letra x escrevese o quantificador universal V seguido dessa variável Assim a expressão V Fulano Fulano é mortal lêse Qualquer que seja Fulano Fulano é mortal o que significa exatamente o mesmo que a proposição anterior Analogamente as expressões V x 2x x Qualquer que seja x 2x x V y 2y y Qualquer que seja y 2y y exprimem ambas o mesmo fato O dobro de um número é sempre maior que esse número o quo é verdadeiro em N mas falso em R p ex 2 0 0 2 3 3 etc 1 7 6 E D G A R O OE A L E N C A R F IL H O IN IC I A Ç Ã O À LÓ G IC A M A T E M Á T IC A 177 Muitas vezes quando não há perigo de dúvida o quantificador c escrito depuis e não antes da expressão quantificada Por exemplo temse em R x2 4 x 2 x 2 V x Aqui o símbolo V x pode lerse qualquer que seja X ou para todo o valor dc x ou simplesmente para todo o x Algumas vezes para evitar possíveis dúvidas o domínio da variável é devida mente especificado Assim x l x Y x R Aqui V x R lêsc qualquer que seja x E R ou ainda para todo x R Outras vezes ainda para condensar a excrita escrevesc a variável como índi ce do símbolo V Assim p ex V 2x x Para todo o x 0 temsc 2x x x 0 v x2 0 Para todo o x 0 temse x2 C x O Outros exemplos 1 A proposição V n N n 5 3 é verdadeira pois o conjuntoverdade da sentença aberta pn n 5 3 é Vp n n e N A n 5 3 1 2 3 N 2 A proposição Vnfc N n 3 7 e falsa pois o conjuntoverdade da sentença aberta pn n 3 7 é Vp n ri E N A n 3 7 5 6 7 N 3 Obviamente a proposição V x R x 2 0 é verdadeira e a proposição v x R 3x S 0 é falsa 1 7 8 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O 2 QUANTIFICADOR EXISTENCIAL Seja px uma sentença aberta em um conjunto não vazio AA e seja Vp o seu conjuntovcrdade Vp x x G A A px Quando Vp não é vazio V p então um elemento pelo menos do con junto A satisfaz a sentença aberta px e podemos afirmar A D E xiste pelo menos u m x E A tal que px e verdadeira V5 ii Para algum x A px é verdadeira Vn1 ou seja mais simplesmente iii Existe x A Cal que px iv Para algum x A px Pois bem no simbolismo da Lógica Matemática indicase este fato abreviada mente de uma das seguintes maneiras 1 3 x e A px 2 3 x 6 A px 3 3x G A px Muitas vezes para simplificar a notação omitese a indicação do domínio A da variável x escrevendo mais simplesmente 4 3 x p x 5 3 x px 6 3 x p x Subsiste pois a equivalência 3 x G A px Vp p Cumpre notar que sendo px uma sentença aberta carece de valor lógico V ou F mas a sentença aberta px com o símbolo 3 antes dela isto 6 3 x G A px tornase uma proposição c portanto tem um valor lógico que é a verdade V se Vp e a falsidade F se Vp f Deste modo dada uma sentença aberta px em um conjunto A o símbolo 3 referido à variável x representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta px numa proposição verdadeira ou falsa conforme px exprime ou não uma condição possível no conjunto A A esta operação lógica dáse o nome de quantificação existencial e ao respectivo símbolo 3 que é um E invertido o de quantificador existencial IN IC I A Ç Ã O À LÓ G IC A M A T E M A T IC A 179 Quando em particular A seja um conjunto finito com n elementos a i a2 a isto c A aj a j an é óbvio que a proposição j x A px é equivalente à disjunção das n proposições pa pa2 pan ou seja simboli camente 3 xG A p x p a 1 V pa2 v vpan Portanto num universo finito o quantificador existencial equivale a disjunções sucessivas Assim p ex no universo finito A 3 4 5 e sendo px a sentença aberta x é par temos 3 x e A px 3 c par V 4 é par v 5 é par Exemplificando a expressão 3 x x vive na Lua lêse Existe pelo menos um x tal que x vive na Lua e é uma proposição falsa F no universo H dos seres humanos que também se pode traduzir por Algum scr vive na Lua Analogamente a expressão 3 x x x2 lêsC Existe pelo menos um x tal que x x2 o que é uma proposição verdadeira V em R Algum número real é superior ao seu quadrado mas falsa F em N Nenhum número natural c superior ao seu quadrado Para o símbolo 3 adotamse ainda convenções análogas àquelas que indicamos para o quantificador universal V com esta única diferença nunca pode ser escrito após a sentença aberta quantificada Outros exemplos I A proposição 3 n G N n 4 S é verdadeira pois o conjuntoverdade da sentença aberta pn n 4 8 c Vp n n E N A n 4 8 1 2 3 j 2 A proposição 3 n G N n 5 3 é falsa pois o conjuntoverdade da sentença aberta pn n 5 3 é Vp n n G N A n 5 3 P 3 Obviamente a proposição 3 x G R x2 0 e falsa e a proposição 3 x G R 2x 1 0 c verdadeira 3 VARIÁVEL APARENTE E VARIÁVEL LIVRE Quando há um quantificador a incidir sobre uma variável esta dizse aparente ou muda caso contrário a variável dizse livre Assim p ex a letra x c variável livre nas sentenças abertas 3x l 14 equação x 1 x inequação mas e variável aparente nas proposições 3 x 3x 1 14 V x x 1 x É frequente em Matemática o uso do seguinte PRINCIPIO DE SUBSTITUIÇÃO DAS VARIÁVEIS APARENTES Todas às vexes que uma variávd aparente é subs tituída em todos os lugares que ocupa numa expressão por outra variável que nâo figure na mesma expressão obtémse uma expressão equivalente Assim p ex são equivalentes as proposições V Fulano Fulano é mortal c V x x é mortal 3 Fulano Fulano foi à Lua e 3 x x foi à Lua De modo geral qualquer que seja a sentença aberta px em um conjunto A subsistem as equivalencias i v x e A px V y A py ii 3 x A px 3 y A py 4 QUANTIFICADOR DE EXISTÊNCIA E UNICIDADE Consideremos em R a sentença aberta x2 16 Por ser 42 16 4 2 16 e 4 4 podemos concluir 3 x y G R x2 16 A y2 16 A x y Peio contrário para a sentença aberta x3 27 em R teremos as duas propo sições i 3 x G R x 3 27 ii x3 27 A y3 27 X y A primeira proposição diz que existe pelo menos umx R tal que x3 27x 3 é uma afirmação de existência 1 8 0 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O I N IC IA Ç Ã O À L Ó G tC A M A T E M Á T IC A 181 A segunda proposição diz quo não pode existir mais de um x R tal que x3 27 é uma afirmação de unicidade A conjunção das duas proposições diz que existe um x R e um só tal que x 3 27 Para indicar este fato escrevesc 3 x R x 3 27 onde o símbolo 3 é chamado quantificador existencial de unicidade e se lê Existe um e um só Muitas proposições da Matemática encerram afirmações de existência e unici dade Assim p ex no universo R a 0 V b 3 x ax b Exemplificando são obviamente verdadeiras as proposições 3 x E N J I x 2 9 0 3 x 2 l x l 3 x R I x 0 5 NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COM QUANTIFICADOR É claro que um quantificador universal ou existencial pode ser precedido do símbolo de negação Por exemplo no universo H das seres humanos as expres sões i V x x fala francês ii V x x fala francês iií 3 x x foi à Lua iv 3 x x foi à Lua são proposições que em linguagem comum se podem enunciar respectivamente Toda a pessoa fala francês j Nem toda a pessoa fala francês Alguém foi à Lua Ninguém foi à Lua São também evidentes as equivalencias Y x x fala francês 3 x x fala francês 3 x x foi à Lua T x x foi à Lua De modo geral a negação da proposição V x A px é equivalente a afirmação de que para ao menos um x A px é falsa ou px c verdadeira Logo subsiste a equivalência V x A pxJ 3 x A px Analogamente a negação da proposição 3 x Apx é equivalente a afir mação de que para todo x A px é falsa ou px é verdadeira Logo subsiste a equivalência 3 x Apx V x A px Estas duas importantes equivalencias são conhecidas por segundas regras de negação de DE MORGAN Portanto A negação transforma o quantificador universal em quantificador existencial seguido de negação e vice versa lixem pios 1 A negação da proposição Todo o aluno da turma A c bem comportado é a proposição Existe pelo menos um aluno da turma A que não e bem compor tado ou seja mais simplesmente Nem todo aluno da turma A é bem compor tado 2 A negação da proposição Existe peio menos um aluno da turma A que está doente é a proposição Qualquer que seja o aluno da turma A ele não está doente ou seja mais simplesmente Nenhum aluno da turma A está doente 3 A negação da proposição Existe um planeta que é habitável é a proposição Todos os planetas não são habitáveis ou seja Nenhum planeta é habitável Representando por P o conjunto de todos os planetas teremos simbolicamente 3 x P x é habitável V x G P x não é habitável 4 A negação da proposição Para todo o número natural n temse n 2 8 é a proposição Existe pelo menos um número natural n tal que n 2 8 Simbolicamente V n N n 2 8 3 n N n 24 8 5 3 x 6 R x2 0 V x 6 R x2 0 6 V x R 3x 5 Q 3 x e R 3x 5 0 7 V x R x 0 3 x R x 0 8 3 x R senx 0 V I R senx 0 182 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 183 6 CONTRA EXEMPLO Para mostrar que uma proposição da forma V x A px é falsa F basta mostrar que a sua negjção 3 x A p x é verdadeira V isto c que existe pelo menos um elemento x0 A tal que pxr é uma proposição falsa F Pois bem o elemento x dizse um contraexemplo para a proposição V x Apx Exemplos 1 A proposição V n N 2n n2 c falsa sendo o número 2 um contra exemplo 22 22 Os números 3 e 4 também são contraexemplos pois temos 23 32 e 24 4 2 Para n 1 e para todo n 4 se tem 2n n2 2 A proposição V x R x 0 é falsa sendo o número 0 um contra exemplo 0 0 3 A proposição V x R x 2 x é falsa sendo p ex um contra exenipJo L 2 4 A proposição V x R x 2 2 x2 4 é falsa sendo p ex I um contra exemplo 1 2 2 I2 4 ou 9 5 5 A proposição V x Z x2 x 41 c um número primo é falsa sendo o número 40 um contraexemplo pois temos 402 40 41 4040 l 41 40 41 41 4140 I 41 41 412 que é um número composto É interessante notar que o trinomio x 2 x 41 analizado pela primeira ve pelo femoso matemático suíço LEONHARD FUL FR 17071783 produz núme ros primos para x 0 1 2 3 39 EXERCÍCIOS 1 Sendo R o conjunto dos números reais determinar ü valor lógico V ou F dc cada uma das seguintes proposições a V x R I x x j b 3 x R x2 x c 3 x R x j 0 d 3 x G Rx 2 x c V x R x 1 x f Í V x C R l x J s Resolução a F J 3 L 3 3J b V l 2 i c V 0 O d F A equação x 2 x não tem so lução e V Todo o número real é solução da inequação x 1 x f F 32 3 184 E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O 2 Dar a negação das proposições do Exercício 1 Resolução a 3 x R x x 3 x R J x x b v X R x 1 x V x R x 2 x c V x E R J x J 0 V x R x 0 d v x R x 2 x V x G R x 2 x c 3 x GR x I x 3 x R x I x 0 3 x R x 2 xj 3 x R x2 x 3 Sendo A 1 2 3 4 5 determinar o valor lójpco V ou F de cada uma das seguintes proposições a 3 x A x 3 10 b V x Ax 3 10 c 3 x A x 3 5 d V x A x 3 7 c 3 x C A 3X 7 2 f 3 X A x2 2x 15 Resolução a F Nenhum elemento de A é raiz da equação x 3 10 b V Para cada elemento de A se tem x 3 10 c V 1 é solução da inequação x 3 5 d F 5 não c solução da inequação x 3 7 e V 34 81 7 2 0 V 3 é raiz da equação x2 2x 15 4 Dar a negação das proposições do Exercício 3 Resolução a V x A H x 3 10V A x 3 10 b 3 x A x 3 10 3 x A x t 3 10 l V x E A x 3 5 V x A x 3 5 d 3 x A x 3 7 3 x A x 3 7 c V x A 3 X 72 V x A 3X 72 f V x 6 A x 2 2x 15 V x A x2 2 x 1 5 IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 1 8 5 5 Sendo R o conjunto dos números reaisdeterminar o valor lógico V ou F de cada uma das seguintes proposições a 3 x e R 2 x x b 3 x R x2 3x 2 c 3 x G R x 2 5 2x d V x G R 2x 3x 5x 6 Dar a negação das proposições do Exercício 5 7 Sendo A l 2 3 determinar o valor lógico V ou F de cada uma das seguintes proposições a 3 x A x2 x 6 0 b 3 y G A y 2 y 6 c 3 x A x2 3x 1 d V x G A x 2 x 6 e 3 x G A x2 3x 1 f V G A 2 3 T 1 8 Sendo A 1 2 3 determinar o valor lógico V ou F de cada uma das seguintes proposições a V x G A x I f x2 1 b 3 x G A x 3 x2 10x 8 0 c V x G A x3 6x I lx 6 0 d 3 xG A x4 4 x 3 7 x 2 5 0 x 2 4 9 Sendo A 1 2 3 4 determinar o valor lógico V ou F de cada uma das segtiinles proposições a V xG A x 3 6 b 3 x G A x 3 6 c V x G A x2 I 0 8 d 3 x G A2x2 x 15 10 Dar a negação das proposições do Exercício 9 1 1 Sendo R o conjunto dos números reais determinar o valor lógico V ou F dc cada uma das seguintes proposições a V x f e R x2 1 0 b 3 x G R x 2 10 c 3 x G R 4x 3 1 2x d V x GR x2 3x 2 0 p 3 x G R 3x2 2x 1 0 f 3 x G R 3x2 2x 1 0 g V x G R x 22 x 2 4x 4 12 Sendo A 2 3 8 9 dar um seguintes proposições a v x G A x 5 12 b c V x G A x 2 1 d e V x A 0 x 0 0 contraexem plo para cada uma das V x G A x é primo V x G A x c par V x 6 A x 72 Resolução a Para x 78 c 9 temos x 5 12 Logo cada um desses três números c um contraexemplo b Os números 4 6 8 e 9 não são primos c portanto cada um deles c um contraexemplo c Não há contraexemplo porque a proposição é verdadeira d Os números 3 5 7 c 9 são ímpares e portanto cada um deles é um contraexemplo e Não há contraexemplo porque a proposição é verdadeira f Os números 5 c 7 não dividem 72 e portanto cada um deles é um contraexemplo 13 Sendo A 3 5 7 9 dar um contraexemplo para cada uma das seguintes proposições a V x e A x 3 7 b V x A x é ímpar c V x A x é primo d V x A x x J 14 Dar a negação das proposições do Exercício 13 15 Dar a negação de cada uma das seguintes proposições a V x E A pX A 3 x G A qx b 3 x e A px V V xGA qx c 3 x A px V V x e A q x d 3 x A px V x G A q x 16 Dar a negação de cada uma das seguintes proposições a V x x 2 7 M 3 x x2 3 3 b 3 x x 9 V V x 2x 5 7 17 Demonstrar i py 3 x e A px5 y e A ii y x A px py yG A iii V x G A px 3 x G A px 18 Demonstrar i V x px A qx V x px A V x qx ii 3 x px a qx 3 x px A 3 x qx iii 3 x px v qx 3 x px V 3 x qx iv V x px V V x qx V x px v qx 1 8 6 EDGAF5D DE A L E N C A R F IL H O Capítulo 17 Quantificação de Sentenças Abertas Com Mais de Uma Variável 1 QUANTIFICAÇÃO PARCIAL Consideremos p ex a expressão 3 x fez A 2x y 7 sendo A 1 2 3 4 5 o universo das variáveis x e y Lsta expressão que se pode Iet Existe pelo menos um xG A para o qual se tem 2x y 7 não é uma proposição visto que o seu valor lógico embora não dependa de x variável aparente depende ainda de y variável livre Portanto é uma sentença aberta em y cujo conjuntoverdade é 1 2 3 4 pois somenie para y 5 não existe x fc A tal que 2x y 7 Analogamente a expressão V y A 2x y 10 sendo A l 2 34 5 o universo das variáveis x e y que se pode ler Para Lodo y E A se tem 2x y I0 lambem não é uma proposição mas unia sentença aberta em x variável livre cujo conjuntoverdade é l 2 pois somente para x I ou x 2 sc tem 2x y 10 para todo y A De um modo geral dada uma sentença aberta com mais de uma variável a aplicação de um quantificador referido a uma das variáveis transforma a sentença aberta dada numa outra sentença aberta com menos uma variável livre Logo a aplicação sucessiva de quantífieadores acaba por transformar uma sentença aberta com mais de uma variável numa proposição 2 QUANTIFICAÇÃO MÚLTIPLA Toda a sentença aberta precedida de quantificadores um para cada variávei isto é com todas as variáveis quantificadas é uma proposição pois assume um dos valores lógicos V ou F Assim p ex são proposições as seguintes expressões i V x G Aj V y B px y ij V x G A 3 y G B p x y iii 3 X G A V y G B V z G C px y z Exemplos 1 Consideremos os conjuntos H J orge Cláudio Paulo M Sucly Carmen e seja px y a sentença aberta em H x M x é irmão de y A proposição V x G H 3 y G B px y se pode ler Para todo x de H existe pelo menos um y de M tal que x é irmão de y Em outros termos Cada homem de H c irmão de Suely ou de Carmen A proposição 3 y G M V x G H p x y se pode lêr Pelo menos uma das mulheres de M é irmã de todos os homens de H Obscrvesc que mudando a ordem dos quantificadorcs obtémse uma proposição diferente 2 A proposição V x G N V y G N x y7 x 2 y2 se pode ler Quaisquer que sejam x e y pcrlcnccntcs a N x y 2 é maior que x2 y 2 Esta proposição também se pode escrever V x y G N x y2 x2 y2 ou x f y2 x1 y2 V x y G N e é obviamente verdadeira V enquanto que a proposição x y 2 x2 y 2 V x y G R c falsa F Costumase para simplificar a notação omitir a indicação do domínio de cada variável e escrever p ex x y2 x2 2xy y2 V x y o que é verdadeiro cm N e em R 188 E D G A R O DE A L E N C A R F IL H O 3 Consideremos os conjuntos A 1 2 3 4 e B 0 2 4 6 8 e a sen tença aberta em A x B 2x y 8 A proposição V x e A 3 y 6 B 2x y 8 é verdadeira V pois para x 1 2 3 4 temos y 6 4 2 QG B A proposição V y G B 3 x G A 2x y 8 é falsa F pois para y 8 temos x 0 A A proposição 3 y G B V x e A 2x y 8 também c falsa F pois não existe um y G B tal que para todo x E A seja 2x y 8 Analogamente também é falsa F a proposição 3 x G A Y y G B 2x y 8 I N IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 189 3 COMUT ATIVIDADE DOS QUANT1 FICADORES I Quantificadores da mesma espécie podem ser comutados V x V y px y v y V x px y 3 xj 3 y px y 3 y i x px y II Quantifica dores de espécies diferentes nâo podem em geral ser comutados Exemplificando seja a sentença aberta x é filho de y o universo das variáveis x e y sendo o conjunto 11 dos seres humanos A proposição V x 3 y x é filho dcy é verdadeira V mas a proposição 3 y V x x é filho de y é falsa F Seja agora a sentença aberta y x o universo das variáveis x c y sendo o conjunto N dos números naturais A proposição V x 3 y y x c verdadeira V mas a proposição 3 y V x y x é falsa F 4 NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COM QUANT1 FICADORES A negaçao de proposições com mais dc um quantificador se obtém mediante a aplicação sucessiva das regras para negação de proposições com um único quantifi cador segundas regras de negação de DB MORGAN 1xem ptos 1 Negação de proposições com dois quantificadorcs da mesma cspécic V x v y px y 3 x V y px y 3 x 3 y p x y 3 x 3 ypx y V x H 3 y px y V x V y p x y 2 Negação de proposições com dois quantificadores de espécies diferentes V x 3 y px y 3 x 3 y px y j 3 x V y px y 3 x V y px y V x V y px y V x 3 y p fx y 3 Negação de proposições com três quantificadores H 3 x 3 y V z px y zj V x 3 y V zpx y z V x V y 3 z p x y z EXERCÍCIOS I Sendo 1 2 3 4 5 o universo das variáveis x e y determinai o conjunto verdade de cada uma das seguintes sentenças abertas 00 3 y 2x y 7 b V 2x y 10 190 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 191 I 2 Sendo l 2 9 10 o universo das variáveis x e y determinar o con i juntoverdade dc cada uma das seguintes sentenças abertas a V y x y 14 b 3 y x y 14 3 Sendo 1 2 3 o universo das variáveis x e y determinar o valor lógico V ou F de cada uma das seguintes proposições a 3 x V y x 2 y 1 b V x 3 yx2 y2 12 c Y x v y x a y2 12 d V x Y y 2 2y 10 e 3 x V v x2 2y 1 0 f V x 3 y x2 2y 10 g 3 x 3 y x2 2y 10 4 Sendo 1 2 3 o universo das variáveis x y e v determinar o valor lógico V ou F de cada uma das seguintes proposições a 3 x V y 3 zx 2 y2 22 b 3 x 3 y V x2 y2 l c 5 Sendo R o conjunto dos números reais determinar o valor lógcoV ou F de cada uma das seguintes proposições a Y y R 3 x e R x y y b V x R 3 y e R x y 0 c Y x G R 3 y G R x y 1 d V y e R 3 x R y x 6 Sendo A 1 2 9 10 determinar o valor lógico V ou F dc cada uma das seguintes proposições a V xG A fJ 3 y e A x y 14 b V x C A Y y e A x y 14 7 Dar a negação de cada uma das seguintes proposições a V x 3 y px v qy b 3 x Y y px V wqy c 3 y 3 x px a qy d V x 3 y px y qy e 3 x Y y px y qx y 8 Dar a negação de cada uma das proposições do Exercício 5 9 Demonstrar i 3 x Y y px y Y y 3 x px y ii 3 y Y x px y V x 3 y px y 10 Conjuntos Limitados Seja A um subconjunto não vazio do conjunto R dos números reais A 0 e AC R Definição 1 üíz se que A é limitado inferiormente ou limitado à esquerda se e somente se 3 a G R V x G A a x Definição 2 Dizse que A c limitado superiormente ou limitado à direita se c somente se 3 b G R V x G A x b Definição 3 Dizsc que A é limitado sc c somente se 3 a b e R V x A a x A b 192 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O Respostas dos Exercícios CAPfTULO 1 1 a V b F c F d F c V 0 F g v h F i V j F k F D F m V n F o V P F q V r V s V t v u F CAPITULO 2 1 a Não está frio b Está frio e está chovendo c Fstá frio ou está chovendo d Fstá chovendo se e somente se está frio e Se está frio então não está chovendo f Está frio ou não está chovendo g Não está frio e não está chovendo h Fstá frio se e somente se não está chovendo i Sc está frio e não está chovendo então está frio 2 a Se Carlos é feliz então Jorge é rico b Jorge c rico ou Carlos não é feliz c Carlos c feliz se e somente se Jorge não é rico d Se Jorge não é rico então Carfos é feliz e Nào c verdade que Jorge não ó rico f Se Jorge não é rico e Carlos é feliz então Jorge é rico 3 a Cláudio fala inglês ou alemão b Cláudio fala inglês e alemão c Cláudio fala inglês mas não alemão d Cláudio não fala inglês e nem alemão c Não é verdade que Cláudio não fala inglês f Não é verdade que Cláudio não fala inglês e nem alemão 4 a Não é verdade que João é gaúcho e Jaime não é paulista b Não é verdade que João não é gaúcho 194 E D G A R D DE A L E N C A F i F IL H O c Não c verdade que João não é gaúcho ou que Jaime não é paulista d S e J o ã o é g a ú c h o e n tã o J a im e n ã o c p a u lista e João não é gaúcho sc e somente sc Jaime não c paulista f Não é verdade que se Jaime não é paulista então João é gaúcho 5 a p A q b p A q c p V q d p A q c p V p A q f p V q 6 a p A q b p V q 0 p A q d p V q A q 7 a p V q A r b p A q V p A r c p A r d q V r A p 8 a x 0 v x 0 b x 0 A y 0 c x l V x y 0 d x 2 x x A x 1 9 a x y 0 A 7 0 V z 0 b x 0 A y z x V z 0 c j x O V x A y 0 d X y A z t V x y A 0 10 a x 0 y 2 b x y 2 z 0 cj x I v z 2 y l d z 5 x fí l A x 2 e x it y x t z 5 A y 5 f x y z A r l 4 x y g x 2 x l V x 0 h y 4 A x y x 5 11 aj x 5 A x 7 V x 6 b x 5 A x 3 x 4 c x 1 V x 1 A x 0 12 a F b V c F d v e F f F g F 13 a V h f b v V c F i F d F k F e V f V g F 14 a V h V b v c F d V e V 0 F g v 15 a V h 1 b V i V c F i v d F è V f V g F 16 a V h V b F c V d F e V 0 F g v 17 a F b F c F d V c V f F g v I N I C I A C A O Á L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 18 a V b V c F 19 a Vp V ou Vp s F d Vp V ou Vp F 20 aj Vp F e Vq V bj Vp F e V q F c Vp V e Vq V id Vp V e V q V e Vp F e Vq V d F o V f F b Vp F c Vp e Vp F f Vp Vp F e Vq F U P q q P V q p V q V v F v F V F V v F F V F F v F F V v F b P q q p q p q v v F F v v F v v F F v F v F F F v v F P q p A q p V q p A q p V q v v v v v v F F v v F v F v v F F F F v d P q p Q t cr p q p v v F v v v F F v v F v v F F F F v v v p q p q p q p q p q V V V V V V F F F V F F F p q q q p q q p V V F F F V F V V F F V F F p q q p q q p p q q p V V F F V F V V V V V V F F F F F V p q p q p q V V V F F V V F F F V F V F V F V F V F 1 3 2 1 4 2 1 3 1 p q r p r q r V V V F V F V V V V V F V F V F V V F F F V V F V F V F F V F F V V F V V F V F V F V V F F V F F F F V F 2 1 3 1 4 1 3 2 1 IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 197 b p q i P r q V r v v v v v v v v v F v v v F v F F F v v v F v F v v v v F F F F v v F F v F F F F v v F F v v F v v v v v F v F v F v F F F v v v F F F v F v v F F F F v F F F F v F v F v v F 1 2 1 4 1 3 2 1 c P q r P P r q V ï v v v v F v F F v F v v v v v F v v v v v F v v v F v F v v F v F F v F F v v v F F v v v v v F F F F F F v v F v F V F v v v v v F v F F v F v v F v v v F F F v F v F v F v v F v v F F F h v F v v F F F F F 1 4 l 3 2 1 5 3 2 1 d P A q r V P c q V r v v v v v v F v F v v F v v v v F F F F v F v v v F v F F v v v F v v F F F v v F F v F v F v F F v v F F F v v v v v F v v v F v F F v v F v v F v v v v F F F F v v v v F F F F F v F F F v F v v F v F v v F 1 2 1 3 1 5 2 1 4 1 3 2 1 198 E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O 3 a VIFV b W F F c FW H d F W F c VFFV I lVFV g W F V 4 a VVVW FFF b VFW VFVF c FVFFVVW d VVVW FFF o W FV FVFV f F F F F W F F 5 a V b F c j F d V e F f V 6 F 7 u F b V c V d V 8 a F b F c V 9 a F b V c F d V e V f v g v h V F j k V d v IO a V b F c V d V e V f v I I a F b V c V d V e V f F ís v h v I 2 a V b V c F d V c V 13 a V b V 14 a F b V c V 15 a q r V q p A q b p A q q i r V q c p V q vr V te q 9 CAPITULO 4 4 a b c g h tautológicas d e 0 contingentes CAPÍTULO 6 8 a F b V c F d V IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A CAPÍTULO 7 199 4 a Está frio e não está chovendo b O pai de Marcos não é pernambucano e a mãe hão é gaúcha c As vendasestão aumentando ou os preços estão diminuindo d lorge não estuda Física ou estuda Química CAPITULO 8 3 a p A q b p v q c p A q d p Aq e q f C Ctr 7 a p v q b p c p A p d p v p c p v q f p g p v p 0 0 p A q i p y p A q V q j p V q A p V q A q k p A p V q A p v q l p A p V q A p V q m p v q V r A p v q V r n p A p V q A r 8 a p a q b p A q c p V 0p A q d p A q e p v q f p 7 q g p V p h p A p i p y q j p A q k p l p v p CAPÍTULO 9 1 a p a q p q b p q p A q c p A p q  q V r A s r a s d x y x 5 A x 5 x x y í x z 2 a p q v p I q b p q p A q I s c x 0 A y t xi x 0 v y x 3 a AD b SIMP c SH d MP e MT f CONJ g SD h ABS i MP j MT k CONJ 1 AD mJSD n SH o SIMP 200 4 a x z b xy E R e y 1 2 f X y 5 a x 0 b 6 a x 4 b y 6 7 a p t c s V t p 8 a r v s c xy 0 v xy 3 9 a p A q v q c x 3 V x 4 c X Z d 3 1 c p q d x 3 c r A t d p b x 3 x é z d xy 6 y 2 b x 3 v 7 2 d x2 4 v y2 9 b P V q d x 2 V x 8 E D G A R D DE ALEIMCAR F lL H O CAPÍTULO 10 5 p q p v r pi r Sofisma CAPITULO 14 1 á 3 0 2 2 a 33 d 0 3 a L 3 4 b e 4 f 4 a 1 2 4 d 0 2 4 g 2 b 12 34 O 5 b 1 0 1 0 0 4 3 c 23 f 6 7 8 c 2 2 f 3 2 c 1 g L 3 9 d 1 3 4 h 3 4 7 9 c 2 2 f 3 3 h L O 5 a 9 10 b 4 10 c 4 9 d 1 6 1 5 3 3 3 5 4 2 4 3 4 5 7 2 8 2 6 3 3 3 6 8 91 6 2 3 3 9 2 3 2 5 3 2 3 4 3 5 4 3 4 5 5 2 5 3 5 4 10 2 2 2 5 3 3 3 6 4 4 5 5 5 2 6 6 6 3 11 2 1 2 0 0 1 0 0 1 1 CAPÍTULO 15 1 a 1 3 5 b 2 4 6 8 c 3 6 d 1 2 4 5 6 2 a 0 1 3 b 0 1 2 4 c 0 2 3 5 d 1 4 5 3 a 4 5 b 0 2 4 c 05 d 5 c 0 1 4 f 12 4 5 4 á 3 1 1 3 b 3 2 0 2 3 c 3 2 1 d 3 1 1 e 3 2 3 5 a 0 2 4 5b 0 2 3 5 c 2 4 d 01 IN IC I A Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 201 6 V p Aq 11 4 Vp q 1 1 C 7 Vpv q Vp A q f 8 Vp A q f T l v p 1 i 9 V p q 13 4 56 7 89 Vq p 1 2 3 4 6 8 v p 4 q 134 68 11 a CAVp n CAVq b Vp U CAVq c CAVp U vq U vr d vq n vr U CAVp n vr u CAVp U vq 202 ED G A R D DE A L EN C A R FILH O CAPÍTULO 16 5 a V íb V c F d V 6 a V x e R2x x b V x R x 2 3x 2 c V x e R x 2 5 2 x d 3 x E R 2x 3x 5x 7 a V b V c F d V e V f V 8 a F b F c V d F 9 a F b V c V d F 10 a 3 x A x t 3 6 b V x E Á x 3 6 c 3 x E Ax2 10 8 d V x E A 2 x 2 x 1 5 11 a V b F c V d F e V f F g V 13 a 3 b Não há a proposição é verdadeira c 9 d Não há a proposição é verdadeira 14 a 3 x e Aj x 3 7 b 3 x A x é par c 3 x A x não é primo d 3 x E A x 1 x 15 a 3 x G A p x V V x E A qx b V x E A px A 3 x E A qx c V x E A px A 3 x A qx d 3 x E A px A 3 x A qx 16 a 3 x x 2 7 V V x x2 1 3 b V xx2 9 A 3 x 2x 5 7 CAPÍTULO 17 l a 1 2 b 2 a 12 3f b 1 2 9 10 3 a V b B c F d F e V f F g V IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A 203 4 a V b F 5 a V bj V c F d V 6 a V b F 7 a 3 x V y px A qy b V x 3 y p x A qyj Y y V xpx v qy d 3 X V y piX y a qy e V x 3 vpxy a qxy 8 a 3 y R V x é R x y y b 3 X G R V y e Rx y 0 c 3 x 6 R V y e R x y l à 3 y ë R V x R y x Bibliografia 1 BOSCH J Simbolismo Lógico Eudeba 1965 2 BURGOS A Iniciación a la Lógica Matemática SC 1973 3 CHEIFETZ y AVENOSO Lógica y Teoría de Conjuntos Alhambra 1974 4 CHAUVINEAU L La Logique Moderne PUF 1966 5 COPI IRVING M Introduction to Logic MacMillan 1963 6 DEANO A Introducción a La Lógica Formal Alianza 1973 7 GARRIDO M Lógica Simbólica Tecnos 1973 8 Hi LBERT y ACKERMANN Lógica TeSrica Tecnos 1968 9 KFMENY SNELL y THOMPSON Matemáticas Finitas Eudeba 1967 10 LIPSCHUTZ S Finite Mathematics Schaum 1966 11 L1GHTSTONE A H Symbolic Logic HarperJ966 1 2 MORA y LEBLANC Lógica Matemática FCE 1965 13 MORENO A Ejercicios de Lógica Eudeba 1973 14 MURO HERMOSA y JACHIMOVICZ Ejercicios de Lógksa Paidós 1974 1 5 MENDELSON E Boolean Algebra Schaum 1970 16 NOVIKOV P S Mathematical Logic Oliver Boyd 1964 17 NUNO J Elementos de Lógica Formal EBVC 1973 18 SUPPES y HILL Lógica Matemática Reverte 1973