Dipolo Eletrico Campo Eletrico e Materiais Isolantes - Resumo Completo

Dipolo elétrico cujo momento de dipolo é p q d Submetendo esse dipolo a um campo elétrico por placas paralelas E σ ε₀ î F q E F q E q E q q q q F q E q E 0 F 0 ta parado ou em movimento retilíneo uniforme Torço r F T rx F rx F por simplicidade r 0 T rx F rx q E T q rx E T p E de como mas não translado não tem força mas tem torque Energia UU U U q V q V V E d l V σε₀ dx V σ ε₀ x V σε₀ x V σε₀ x d cosθ U q σε₀ x d cosθ σε₀ x U q σε₀ x σε₀ d cosθ σ ε₀ x U q d E cosθ p E cosθ p E Resumo F 0 Sim translação T p E Max de torsão V p E vai rotacionar de modo a minimizar a energia Se p E U pE Se p E U 0 Se p E U pE Expansão multipola do potencial elétrico Vr 14πε₀ ρr r r d v Condição r r r²r 0 r r r² r² 2r r12 r r r² r² 2 r r cosθ12 r r r² 1 2 rr cosθ rr²12 r r r 1 2 rr cosθ rr² 12 1xn 1 nx nn12 x² X0 r r1 r1 1 9r cosθ 12 rr2 38 12 122rr cosθ rr²² r r1 r1 1 rr cosθ 12 rr2 38 4 rr cosθ r r1 1r 1 rr0 rr1 cosθ rr² 32 cos² θ 12 r r1 1r l0 rrl Plcosθ r r Polinomio de Legendre P₀cosθ 1 P₁cosθ cosθ P₂cosθ 12 3 cos² θ 1 Vvecr frac14 pi epsilon0 int rhovecrprime frac1rprime suml0inftyleftfracrprimerrightl Plcos heta d omegaprime Campo elétrico de Materiais Isolante elétrico Q0 Vvecr fracvecp cdot vecr vecrprime4 pi epsilon0 vecr vecrprime 3 Vvecr frac14 pi epsilon0 int fracrhovecrprimevecr vecrprime d omegaprime Delta Vvecr fracdp cdot vecr vecrprime4 pi epsilon0 vecr vecrprime3 Delta Vvecr frac14 pi epsilon0 int fracd vecp vecr vecrprimevecr vecrprime3 pra ter potencial tem q ter diferença de dipolo rho fracdQd omega distribuindo de formas diferentes muitas o campo elétrico vai ser diferente vecp fracd vecpd omega polarização elétrica Vvecr frac14 pi epsilon0 int fracvecpvecrprime cdot vecr vecrprimevecr vecrprime3 d omegaprime Potencial de dipolos vecp eq 0 paraléletico vecp 0 p eq 0 vecp 0 ferreléletico p eq 0 p eq 0 antiferreléletico vecp 0 vecp 0 dielétrico Se p 0 e P0 Esse é o dielétrico Da para passar da fase paramagnética para ferromagnética Se um elétron fica livre ele para a ser conduto p é a fonte primária Vvecr frac14 pi epsilon0 left vecPvecr cdot ablas frac1vecr vecs right identidade vetorial abla phi vecF abla phi cdot vecF phi abla cdot vecF ablas cdot Big fracvecPvecrvecr vecs Big ablas frac1vecr vecs cdot vecPvecr frac1vecr vecs ablas cdot vecP vecr Vr 14πε₀ r P r r r ³ dv 14πε₀ r P r r r ds Uma esfera ferroelettrica de raio a e polarização P P₀ k Vz P₀ a² 4πε₀ 4π ₀r z² a² u² 2za u du 1 za u²12 Vextz P0 6 ε0 z³ 2a z³ 2 a³ 2z² a Vextz P0 a³3 ε0 z³ a z Para pontos internos z a z a z a z a z a Vintz P0 6 ε0 z³ z az² a² 3 z a z az² a² 3 a Vintz P0 6 ε0 z³ z² a²z a z a z a z a z a Vintz P0 6 ε0 z³ 2 z³ 2 z a² 2 z a² Vintz P0 z 3 ε0 0 z a Checando Vinta Vexta Vinta P0 a 3 ε0 P0 a³ 3 ε0 a² Vexta Para o campo elétrico Interno Eintz k z P0 z 3 ε0 k P0 3 ε0 isso tem uma interpretação esse campo vai tender a destruir a polarização e em seguida a polarização vai para baixo vai reorientar para baixo Eextz k z P0 a³ 3 ε0 z³ k 2 P0 a³ 3 ε0 z⁴ Lei de Gauss revisitada E ρ ε0 é particulas só para cargas livres ρp P E ρl ρp ε0 ρl cargas livres ρp cargas ligadas E 1 ε0 ρ P ε0 E ρ P ε0 E P ρ ε0 E P ρ chamamos de D vetor deslocamento elétrico D ε0 E P D ρ lei de gauss geral serve para cargas elétricas livres no vácuo e para cargas ligadas Com partículas PE ε0 χE E Material linear PE ε0 χ E D ε0 E ε0 χ E D ε0 1 χ E D ε E ε ε0 1 χ permissividade elétrica do meio Cenário ρ 0 D ρ DdS Q E ε0 4 π ε0 r² n D Q S Q 4 π r² D0 ε0 E E D ε0 E Q 4 π ε 0 r² E q 4 πε r² n DdS Q D Q S Q 4 π r² D ε E E D ε E Q 4 πε r² Campos Materiais V 1 4 pi epsilon0 rhopr rr dV 1 4 pi epsilon0 sigmapr rr ds rhop del p sigmap p n p dq dv P dp dv densidade polarização momento dipolo Exemplo Carga pontual colocada em uma material com permissividade elétrica E Calcule D E P D dS Q inv D ds cosθ Q inv D ds Q inv D Qinv S D q 4 pi r2 No material D q 4 pi r2 n cap p EE E D epsilon q 4 pi r2 epsilon campo elétrico no meio material Χ é sempre positivo ou 0 No vácuo seria Ev q 4 pi epsilon0 r2 campo no vácuo Em q 4 pi r2 kd epsilon0 E kd epsilon0 Em 1 kd q 4 pi epsilon0 r2 Em 1 kd Ev Em q 4 pi kd epsilon0 r2 q 4 pi epsilon0 r2 a carga vai ficar blindada é a carga positiva mais uns elétrons que ela atraiu e por isso qrf é menor que q Para polarização D epsilon0 E P P D epsilon0 E P q 4 pi r2 epsilon0 q 4 pi epsilon0 r2 P q 4 pi r2 1 epsilon0 epsilon n cap Note que se E epsilon0 P 0 Não tem polarização Vazio P n cap q 4 pi r2 epsilon epsilon0 epsilon ou P n cap q 4 pi r2 kd epsilon0 epsilon0 kd epsilon0 n cap q 4 pi r2 kd 1 kd Em Ev Epol Epol Em Ev Epol q 4 pi epsilon r2 q 4 pi epsilon0 r2 n cap Epol q 4 pi r2 1 epsilon 1 epsilon0 n cap Epol lambda q 4 pi r2 epsilon0 epsilon epsilon epsilon0 Epol n cap q 4 pi r2 epsilon epsilon0 epsilon 1 epsilon0 p Epol P epsilon0 de s négativo P q 4 pi epsilon0 epsilon epsilon0 epsilon n cap ρp del P del q 4 pi epsilon0 epsilon epsilon0 epsilon n cap ρp q 4 pi epsilon epsilon0 epsilon del n cap lembre que 4 pi delta r delta n 0 se n 0 delta n se n 0 ρp q 4 pi epsilon epsilon0 epsilon 4 pi delta r ρp 0 se n 0 ρp se n 0 σp p n qf 4πε0 r2 ε ε0 ε s n σp qf 4πεa2 ε ε0 ε a é o raio da carga pontual Qp σp dS Qp qf 4πεa2 ε ε0 ε dS Qp qf 4πεa2 ε ε ε0 4πa2 Qp qf ε ε0 ε qf Kd ε0 ε0 Kd ε0 Qp qf Kd 1 Kd QT qf Qp qf qf Kd 1 Kd QT Kd qf Kd qf qf Kd QT qf Kd qf Φ Condições de contorno para os campos D dS Q E dl 0 I Deslocamento D D1n D1 normal D1t D1 tangente D dS D1 dS1 D2 dS2 D30 dS3 o Q D1n D1t dS1 D2n D2t dS2 Q D1n dS1 D2n dS2 σ dS Q Vamos considerar que D1 e D2 são constantes D1n dS1 S1 D2n dS2 S2 σ dS S D1n D2n S σ S D1n D2n σ se existe condição de contorno para componente normal e se σ 0 D1n D2n Campo Eletrico E E dl 0 caminho 3 e caminho 4 vão se cancelar E dl E1 dl1 E2 dl2 E3 dl3 E4 dl4 0 E1n E1t dl1o E2n E2t dl2o 0 E1t dl1 E2t dl2 0 E1t dl1 E2t dl2 0 E1t dl1 l1 E2t dl2 l2 0 E1t E2t l 0 E1t E2t 0 E1t E2t Calcular o deslocamento D o campo E a polarização P o potencial V e a capacitância C de um capacitor de placas paralelas com material de permissividade elétrica E Deslocamento DdS Q DdScosθ Ds Q D QS D σSS σ como D sempre segue a mesma direção do campo D σk D σk Campo D EE E DE E σkE Polarização D ε0E P σk ε0 σkE P P kε0σε σ kε0 ε ε P ε0 ε ε σk Potencial V Edl C Vz Edzk C Edz C Ez C V σε z tomando C0 fazendo suposição que ao se calcular diferença de potencial começa na origem apenas modulo de E integrando contra o sentido do campo Capacitância C QV V VF Vi Vd V0 σ dε V σdε VF σdε Vi σ0ε C QV εQσd em função da carga C QV εQσSd σS Q εqSεσS dQ dd em função da área C εSd Kdε0Sd em função de como se fosse um capacitor com vácuo ε0 Calcular os deslocamentos os campos as polarizações os potenciais e as capacitâncias de um capacitor de placas paralelas com material de permissividades elétricas E1 e E2 de acordo com a figura Deslocamento DdS Q DS 1 Q1 D1 Q1S D1 Sσ1S D1 σ1 D1 σ1k DS 2 Q2 D2 Q2S D2 Sσ2S D2 σ2 D2 σ2k Porém na região de contorno separação dos meios temos o σla sendo σ 0 Portanto como D1n D2n σ D1 D2 0 D1 D2 e portanto σ1 σ2 e pra efeito de conta chamaremos apenas de σ portanto D1 σk D2 σk Campos D εE D1 ε1E1 E1 D1ε1 E1 σkε1 D2 ε2E2 E2 D2ε2 E2 σkε2 Polarização D εE0 P 1 σk σkε1 ε0 P1 P1 ε0ε1 1 σk 2 σk σkε2 ε0 P2 P2 ε0ε2 1 σk Para o potencial V E dℓ C V₁ E₁ k dz C₁ V₁z E₁z C₁ σε₁z C₁ ad V₂ E₂ k dz C₂ V₂z E₂z C₂ σε₂z C₂ 0a V₂0 0 C₂ 0 C₂ 0 V₂z σε₂z V₁a V₂a σε₁a C₁ σε₂a C₁ σε₂ σε₁a 1ε₂ 1ε₁σa V₁z σε₁z 1ε₂ 1ε₁σa ad V₁d σε₁d 1ε₂ 1ε₁σa Para a diferença de potencial ΔV V₁d V₁0 V₁d σε₁d 1ε₂ 1ε₁σa ΔV dε₁ ε₁ ε₂ε₁ε₂aσ Para capacitância ΔV ε₁dε₂ε₁ ε₁ ε₂ε₁ε₂aσ QS Q ε₁ε₂Sε₂d ε₁ ε₂a ΔV C ε₁ε₂Sε₂d ε₁ ε₂a Note que 1C ε₂d ε₁ ε₂a ε₁ε₂S 1c ε₂daε₁ε₂S ε₁aε₁ε₂S 1C daε₁S aε₂S 1C₁ 1C₂ 1C 1C₁ 1C₂ aquilo ali não é um capacitor em série mas do ponto de vista da capacitância aquele sistema é equivalente a um capacitor em série 1C 1C₁ 1C₂ Problemas de contorno Equação de PoissonLaplace O foco aqui vai ser encontrar novas maneiras de calcular E r e Vr Lei de Gauss E ρε₀ Vácuo V ρε₀ ² Vr ρε₀ Equação de Poisson para ρ 0 ² Vr 0 Equação de Laplace Lei de Gauss D ρ Materiais D ε₀E P ε₀E P ρ Caso a polarização seja constante P cte ε₀E ρ ε₀V ρ ² Vr ρε Caso seja um material linear p A E P εχE D ε₀E P D ε₀E εχE D ε₀1 χE D εE D ρ εE ρ ε ρ ² Vr ρε Equação de Laplace 1 Coordenadas retangulares ²Vxyz 0 ²Vxyzx² ²Vxyzy² ²Vxyzz² 0 2 Coordenadas esféricas 1r² r r² Vrθ𝜙r 1r²sinθ θ sinθ Vrθ𝜙θ 1r²sin²θ ²Vrθ𝜙𝜙² 0 3 Coordenadas cilíndricas 1r r r Vrθzr 1r² ²Vrθzθ² ²Vrθzz² 0 Em relação a coordenadas esféricas 1 Caso unidimensional Vrθ𝜙 Vr 1r² ddr r² dVrdr ρ𝜀₀ equação de poisson pra coordenadas esféricas Por exemplo Cargas elétricas uniformemente distribuidas em um volume esférico de raio a ρ 0 fora da esfera equação de Laplace dentro da esfera equação de poisson Pontos internos 1r² ddr r² dVrdr ρ𝜀₀ x² x² ddr r² dVrdr ρ𝜀₀ r² ddr r² dVrdr dr ρ𝜀₀ r² dr r² dVrdr ρ3 𝜀₀ r³ C₁ dVrdr ρ3 𝜀₀ r C₁r² dVrdr ρ3 𝜀₀ r C₁r² dr Vr ρ6 𝜀₀ r² C₁r C₂ note que quando r 0 V infinito É uma solução matematicamente possível mas não foy sentido fisicamente Vintr ρ6 𝜀₀ r² C₂ Para pontos externos 1r² ddr r² dVrdr 0 ddr r² dVrdr 0 dr r² dVrdr A₁ dVrdr A₁r² Vextr A₁r A₂ Mas note que para o potencial para pontos muito longe o potencial tende a zero logo Vext r 0 A₂ 0 Vintr ρ6 𝜀₀ r² C₂ Vextr A₁r Eextr Vext r r ρ6 𝜀₀ r² C₂ Eintr r ρ r 3 𝜀₀ Eextr r r A₁r r A₁ r² Condições de contorno D₁n D₂n D₁rra D₃rra 𝜀₀ E₁r 𝜀₀ E₂r ρ a 3 𝜀₀ A₁ a² A₁ ρ a³ 3 𝜀₀ ptt E ext r r ρ a3 3ε 0 r 2 E ext r 4π ρ a3 34π ε 0 r 2 r Q 4π ε 0 r 2 para determinar C2 V inta V exta ρ a 2 6ε 0 C2 ρ a3 3ε 0 a C2 ρ a2 3ε 0 ρ a 2 6ε 0 3 ρ a 2 6ε 0 ρ a 2 2ε 0 ptt V int r ρ a 2 6ε 0 ρ a 2 2ε 0 ρ 6ε 0 3 a 2 r 2 2 Caso em duas dimensões 1 r 2 r r 2 V r θ l r 1 r 2 sin θ θ sin θ V r θ l θ 0 Método de separação de variáveis V r θ R r P θ Assumindo uma solução daeva forma 1 r 2 d dr r 2 d R r dr Rr r 2 sin θ d dθ sin θ d P θ dθ 0 x R r P θ P θ 1 r 2 d dr r 2 d R r dr Rr sin θ d dθ sin θ d P θ dθ 0 1 R r d dr r 2 d R r dr 1 P θ sin θ d dθ sin θ d P θ dθ 0 1 R r d dr r 2 d R r dr 1 P θ sin θ d dθ sin θ d P θ dθ λ d dr r 2 d R r dr λ R r 0 1 sin θ d dθ sin θ d P θ dθ λ P θ 0 d dr r 2 d R r dr λ R r 0 Equação radial r r 2 d 2 R r dr 2 2 r d R r dr λ R r 0 Equação angular θ X cos θ d x d θ sin θ P θ P x d dθ P θ d P x dx dx dθ sin θ d dx P x 1 sin θ sin θ d dx sin θ sin θ d dx P x λ P x 0 d dx sin 2 θ d P x dx λ P x 0 1 cos 2 θ 1 x 2 d dx 1 x 2 d P x dx λ P x 0 Equação diferencial de Legendre P x P l x polinômios λ l l1 Polinômios l P l x P l cos x 0 1 1 1 1 1 2 3 x 1 1 2 3 cos θ 1 2 1 2 3 x 2 1 3 1 2 5 x 2 3 x 1 2 5 cos 2 θ 3 cos θ Fórmula de Rodrigues P l x 1 2 l l d l dx l x 2 1 l Equação Radial r e t R r R t t ln r dt dr 1 r d R r dr d R t dt dt dr 1 r d R t dt d 2 R r dr 2 d dr d R r dr d dr 1 r d R t dt d 2 R r dr 2 1 r 2 d R t dt 1 r 2 d 2 R dt 2 g² 1 g² d²Rt dt² 1 g² dRt dt 2g 1 g dRt dt ll1 Rt 0 d²Rt dt² dRt dt ll1 Rt 0 Eq característica alpha1 l alpha2 l1 Rt Al elt Bl el1t Rt l0 Al elt Bl el1t Rt l0 Al etl Bl etl1 Rt l0 Al gl Bl gl1 Solução geral Vgθ Rg Pθ Vgθ l0 Al gl Bl gl1 Pl cos θ Exemplo Esfera Mauricio condutora descarregada colocada em campo elétrico constante Calcule o campo elétrico e o potencial E σε₀ k E σε₀ k E 0 a γ P P Va 0 E V Vinta Vexta E σε₀ k V σε₀ γ V E₀ γ Na ausência da esfera V E₀ γ E₀ r cosθ Vgθ E₀ g cos θ é válido para gts muito longe da esfera V Vext Vspha A solução geral Vgθ l0 Al gl Bl gl1 Pl cos θ Vext gθ A0 B0 g P0 cosθ A1 g B1 g P1 cosθ A2 g² B2 g² P2 cosθ P0 cosθ 1 P1 cosθ cos θ P2 cosθ 12 3 cos²θ 1 Vext g θ E₀ g cos θ Vext g θ A0 A1 g cosθ A2 g² 12 3 cos²θ 1 por não de isso E₀ tem qm a 0 A1 E₀ Calcule o potencial e o campo elétrico de uma esfera densa carregada inserida dentro de um meio com campo elétrico constante 1α γ Va 0 Leve em conta que Campo do capacito de placas paralelas E σε₀ k V E dl σε₀ k dz k σε₀ z e por motivos algébricos usamos e em coordenadas polares V E₀ z Vgθ E₀ g cos θ Fazendo a solução geral do potencial chegar na nossa solução de potencial Vgθ E₀ cosθ Solução da eq de Laplace 2D em coordenadas esféricas Vgθ l0 Al gl Bl gl1 Pl cos θ Fazemos a assumpção que nesta solução é válida para g Vg E₀ cos θ Fazemos a assumpção também de dizer que apenas os termos l2 da solução é uma aproximação suficientemente boa Vext gθ A0 B0 g P0 cosθ A1 g B1 g P1 cosθ A2 g² B2 g² P2 cosθ simplificando termos e usando a tabela dos polinômios de legendre com cossenos P0 cosθ 1 P1 cosθ cos θ P2 cosθ 12 3 cos²θ 1 Vext gθ A0 B0 1g 1 A1 g B1 1g cos θ A2 g² B2 1g² 3 cos²θ 1 Vext gθ Vr θ B₀r A₁r cos θ B₁r² cos θ B₂ 123 cos²θ 1 consideração física como a esfera é descarregada B₀ 0 B₀r é o potencial de uma carga pontual Vinta Vexta como a esfera é condutora E tem que ser constante e ptt Vinta Vexta 0 Vexta θ 0 A₁ a B₁a² cos θ B₂ 123 cos²θ 1 0 para que isso 0 cada termo tem que se anular A₁ a B₁a² 0 B₁ A₁ a³ então como A₁ E₀ ent B₁ E₀ a³ Vextr θ A₁ r cos θ B₁r² cos θ Vextr θ E₀ r cos θ E₀ a³r² cos θ Vete Vext parece VDIPOLO VDIP P r 4πε₀ r² Pmelo 4πε₀ r² Pmelo 4πε₀ r² E₀ a³ cos θ r² po 4πε₀ E₀ a³ momento dipolo Para o campo elétrico E V E r θ r Vr θ 1r Vθ E r θ r E₀ cos θ 2 E₀ a³ r³ cos θ θ E₀ sin θ E₀ a³ r³ sin θ Eextr θ r 1 2 a³ r³ E₀ cos θ θ a³ r³ 1 E₀ sin θ e o campo interior é igual a 0 Eint 0 Note que E d𝑆 Qε₀ En Qε₀S σε₀ σ ε₀ En σ ε₀ 1 2a³ a³ E₀ cos θ σ 3ε₀ E₀ cos θ dipolo eletrico p σ r p x i y j z k 3ε₀ E₀ cosθ a² sin θ dθ dφ p ₀π ₀2π a sin θ cosφ x a sin θ sinφ y a cos θ k σ a² sin θ dθ dφ por conta de ₀2π cos φ dφ e ₀2π sin φ dφ 0 p k 2π 3ε₀ E₀ a³ ₀π cos²θ sin θ dθ μ cos θ du sin θ dθ μ² du μ³3 cos³ θ3 π 0 13 1 4 p k 2π 3ε₀ E₀ a³ 23 p k 4πε₀ E₀ a³ momento dipolo Exemplo Esfera dielétrica com campo elétrico E E0 k diferente da esfera condutora Vr θ E dl E0 z E0 r cos θ Vr θ l0 Al rl Bl rl1 Pl cos θ como tem um cos θ na nossa solução Se um l até 1 para forap aparecer P1 cos θ que é igual a cos θ Vext r θ A1 r cos θ B1r2 cos θ a Vint r θ C1 r cos θ D1 r2 cos θ 0a Determinar aos 4 coeficientes Usando sistema formado pelas condições de contorno Note que tem um problema com D1 r2 quando r0 Para evitar esse problema temos impor que D10 Note que r a implica dizer que nossa solução V E0 r cos θ é válida Portanto comparando nossa solução A1 E0 Vext E0 r cos θ B1 r2 cos θ Vint C1 r cos θ Para determinar o resto das constantes que faltam duas vamos usar algumas condições de contorno Quando r a vale 1 Dintt Dextt σt no case do problema σ 0 2 Eintt Eextt se tem cargas de polarização N tem cargas livres 3 Vint a θ Vext a θ Por ja tem o potencial vamos começar com Vint a θ Vext 0 θ C1 a cos θ E0 a cos θ B1 a2 cos θ C1 E0 B1 a3 duas incógnitas precisa de mais duas A próxima condição que vamos usar vai ser Eintt Eextt já que da para calcular por V E Eintt V r r Vint θ 1r θ Vint Eintt r r C1 r cos θ θ 1r θ C1 r cos θ Eint r C1 cos θ θ C1 sin θ Eext r r E0 r cos θ B1 r2 cos θ θ 1r θ E0 r cos θ B1 r2 cos θ Eext r E0 cos θ 2 B1 r3 cos θ θ E0 sin θ B1 r3 sin θ Eintt Eextt et so tangencial Ent so vai valor pra C1 sin θ e E0 sin θ B1 r3 sin θ logo C1 sin θ E0 sin θ B1 a3 sin θ C1 E0 B1 a3 Note que é deu a mesma coisa Não ajudou em nada Tô aì só para demonstrar Vamos usar a condição de contorno certo Dintt Dextt Calculando D primário Usando D ε E E C1 cos θ ε0 E0 cos θ 2 B1 a3 cos θ C1 ε0 ε E0 2 B1 a3 deslocamento interno e deslocamento externo Finalmente podemos resolver o sistema E0 B1 a3 C1 ε0 ε E0 2 B1 a3 C1 1 ε0 ε E0 2 ε0 ε 1 B1 a3 ε ε0 ε E0 2 ε0 ε ε B1 a3 B1 ε0 ε 2 ε0 ε E0 a3 B1 ε ε0 2 ε0 ε E0 a3 Agora para desenhar C1 C1 E0 1 a3 ε ε0 2 ε0 ε E0 C1 2 ε0 ε ε ε0 2 ε0 ε E0 C1 3 ε0 E0 2 ε0 ε esse é o termo que vem da esfera que se polariza Portanto o potencial interno Vr θ 3 ε0 2 ε0 ε E0 r cos θ E0 potencial externo Vr θ E0 r cos θ ε ε0 a3 2 ε0 ε E0 r2 cos θ Esfera Ferromagnética de raio a com polarização vecP P0 hatk Determine potencial e campo elétrico n tem cargas elétricas livres aqui vecP P0 hatk P0 hatr cos heta hat heta sin heta abla cdot vecD rho abla cdot epsilon0 vecE vecP rho epsilon0 abla abla V rho abla2 V fracrhoepsilon0 que nesse problema n tem cargas livres Pbt abla2 V 0 Vr heta suml0infty leftAl rl fracBlrl1 rightPlcos heta Tm q fazer Vint Vext anti Vintr heta A1 r cos heta fracB1r2 cos heta quad 0a Vextr heta C1 r cos heta fracD1r2 cos heta quad 0infty Determine A B C D Análise inicial r rightarrow 0 diverge rightarrow fracB1r2 portanto B1 tem q ser B1 0 r rightarrow infty diverge rightarrow C1 r cos heta portanto C1 tem q ser C1 0 Vintr heta A1 r cos heta Vextr heta fracD1r2 cos heta Vinta Vexta A1 a cos heta fracD1a2 cos heta A1 fracD1a3 Eintn fracpartialpartial r leftA1 r cos heta right A1 cos heta Eextn fracpartialpartial r leftfracD1r2 cos hetaright frac2 D1r3 cos heta Dextn epsilon0 Eextn epsilon0 frac2 D1r3 cos heta Pext0 Dintn epsilon0 Eintn Pintn Dintn epsilon0 A1 cos heta P0 cos heta Dintn Dextn epsilon0 A1 cos heta P0 cos heta 2 epsilon0 D1 fraccos hetaa3 epsilon0 fracD1a3 P0 2 epsilon0 fracD1a3 P0 left2 epsilon0 epsilon0right fracD1a3 D1 fracP0 a33 epsilon0 A1 fracD1a3 fracP0 a33 epsilon0 a3 A1 fracP03 epsilon0 begincases Vint fracP03 epsilon0 r cos heta Vext fracP0 a33 epsilon0 r2 cos heta endcases Para o campo interno vecEint abla Vint hatr fracpartialpartial r leftfracP03 epsilon0 r cos hetaright hat heta frac1r fracpartialpartial heta leftfracP03 epsilon0 r cos hetaright vecEint hatr fracP03 epsilon0 cos heta hat heta fracP03 epsilon0 sin heta vecEint fracP03 epsilon0 left hatr cos heta hat heta sin heta right fracP03 epsilon0 hatr cos heta hat heta sin heta vecEint fracP03 epsilon0 hatk note que é no sentido oposto da polarização vecP P0 hatk Para o deslocamento interno vecDint epsilon0 leftfracP03 epsilon0 hatk right P0 hatk vecDint left1 frac13right P0 hatk frac23P0 hatk Ex 3 Casca esférica de raio a com σ𝑟 σ0 cos θ Determina V 𝐸 e 𝐷 𝐸 𝑑 𝑆 Qme 𝜀0 𝐸int d 𝑆 0 Eint 0