Eletromagnetismo - Lista de Exercicios Resolucao de Problemas

Eletromagnetismo I 2º Sem2024 2ª Lista de Exercícios 1 Uma esfera condutora de raio a contendo uma carga elétrica q está imersa em uma casca esférica dielétrica de raio interno a e raio externo b Calcule a polarização as densidades de cargas de polarização o campo e o deslocamento elétrico Calcule também a carga de polarização e a carga elétrica total 2 Um longo cilindro de raio a constituído de material de permissividade elétrica ε é colocado em um campo elétrico constante Calcule o potencial e o campo elétrico em pontos internos e externos ao cilindro 3 Em um meio dielétrico onde existe um campo elétrico uniforme é feita uma cavidade esférica de raio a Calcule o potencial e o campo elétrico no interior e no exterior da cavidade 4 Em um meio dielétrico onde existe um campo elétrico uniforme é feita uma longa cavidade cilíndrica de raio a Calcule o potencial e o campo elétrico em pontos internos e externos a cavidade 5 Uma carga pontual está imersa em um meio material de permissividade elétrica elétrica ε1 e situada à uma distância d de uma superfície plana de permissividade elétrica ε2 Encontre o potencial elétrico em todos os pontos do espaço 6 Partindo da lei de Gauss no vácuo na forma diferencial mostre que para meios materiais onde existem cargas elétricas de polarização vale a relação D ρ em que D ε0E P é o deslocamento elétrico sendo P a polarização 7 Um capacitor de placas paralelas separadas por uma distância d é preenchido com uma placa de material de constante dielétrica kd de espessura b em que b d Calcule a polarização o potencial o campo e o deslocamento elétrico no interior desse capacitor Calcule também a capacitância 8 Em um capacitor de placas paralelas de comprimento l e separação d é inserida um chapa de material condutor de comprimento l e espessura a sendo d a Calcule o potencial o campo o deslocamento elétrico e a capacitância dessa configuração de cargas 9 Duas placas metálicas de comprimento c e largura l separadas por uma distância d contendo uma densidade de cargas elétricas σ formam um capacitor Um material não condutor de comprimento a largura l espessura d e constante dielétrica kd1 e um outro material de comprimento b largura l espessura d sendo a b c e constante dielétrica kd2 são inseridos em seu interior Calcule a polarização o potencial o campo o deslocamento elétrico e a capacitância 10 Um cilindro de comprimento l e raio a possui uma polarização constante ao longo do seu eixo de simetria Calcule o potencial o campo elétrico e o deslocamento elétrico em pontos situados sobre o eixo de simetria z 11 Resolva o problema anterior para pontos fora do eixo z e bem afastados do cilindro 12 Uma barra cilíndrica de comprimento l e raio a possui uma polarização constante e perpendicular ao seu eixo de simetria ie P P0iz Calcule o potencial o campo e o deslocamento elétrico em todos os pontos do espaço 13 Uma casca esférica de raio interno a e raio externo b é colocada em presença de um campo elétrico inicialmente uniforme Determine o campo elétrico em todos os pontos do espaço 14 Uma casca esférica de raio interno a e raio externo b possui uma uma polarização constante P P0ik Calcule o campo elétrico em todos os pontos do espaço 15 Uma longa casca cilíndrica de raio interno a e raio externo b possui uma uma polarização constante ao longo do seu eixo de simetria ie P P0ik Calcule o campo elétrico em pontos sobre o eixo z 16 Uma longa casca cilíndrica de raio interno a e raio externo b possui uma polarização constante e perpendicular ao seu eixo de simetria ie P P0iz Calcule o campo elétrico em pontos internos e externos 17 Um disco de material dielétrico de raio a possui uma densidade constante de cargas elétricas de polarização Calcule o campo elétrico gerado em um ponto situado sobre o eixo de simetria do disco 18 Uma esfera ferroelétrica de raio a possui uma polarização elétrica P P0ik Calcule o potencial e o campo elétrico em um ponto qualquer ① ε1 ε b a P ρP1σPaσPbρP E D Qp Qt Polarização P D ε0E P Dds Q DS Q D Q 4πs2 D Q 4πs2 P Q 4πε0 1 ε0 ε a D ε E E Q 4πε0εs2 a Densidades de cargas de polarização ρp σa σb ρp P ρp r Q 4π 1 ε0 ε r r3 Q 4π 1 ε0 ε r r r3 Q 4π 1 ε0 ε 4π δ r ρp Q 1 ε0 ε δ r Na região n está entre a b ou seja r 0 portanto δ r 0 ρp 0 σa P na Q 4πε0a2 1 ε0 ε na cos 0 Q 4πε0a2 1 ε0 ε σb P nb Q 4πε0b2 1 ε0 ε nb cos 180 Q 4πε0b2 1 ε0 ε Campo E Foi calculado no meio do processo E Q 4πε0εs2 a Deslocamento D Foi calculado no meio do processo D Q 4π r² r Carga de polarização ρp Qp σp dS Q4π a² 1 ε0ε dS1 Q4π b² 1 ε0ε dS2 1º pra dar 0 Carga elétrica total QT QT Qp qf QT 0 qf QT qf Visão de cima 2 coisas para levar em conta Por ser condutor Vaθ0 Podemos assumir campo elétrico constante sendo EE0x A partir da informação do campo como seria o potencial V Edl E0xdx E0 x Em coordenadas cilíndricas é Vrθ E0 rcosθ Agora vamos pegar essa solução que não é desse problema E só um campo constante genérico e forçar na nossa situação usando como arma a solução geral apropriada Solução geral da eq de Laplace 2D Vrθ A0 D0 lnr m1 Am cosmθ Bm sin mθ Cm rm Dm rm em coordenadas cilíndricas 1ª Assunção Nosso calculo V E0 rcosθ pode funcionar nesse caso se r pontos mt longe com pouca interferência do campo da esfera 2ª Assunção Vamos usar m1 pq na sequência cos 2θ cos 3θ cos 4θ comparando V0θ E0 cosθ e Vrθ A0 D0 lnr A1 cosθ B1 sinθ Crm D1 1r 3ª Assunção A00 D00 A11 B10 Cr E0 D1 nada para assumir V E0 rcosθ m tem r1 termo solto ln r termo tem um coseno m tem senos termo E0 multiplicando r Vrθ cosθ E0 r D1 1r Usando Vaθ 0 Vaθ cosθ E0 a D1 1a 0 E0 a D1 1a 0 E0 a D1 1a D1 E0 a² Vrθ cosθ E0 r E0 a² 1r Vrθ E0 r cosθ 1 a² r² Vrθ E0 r cosθ a²r² 1 Para o campo elétrico E Vrθ E r r θ 1r θ E0 r cosθ a² r² 1 E r r θ 1r θ E0 cosθ r a²r E r E0 cosθ 1 a² r² θ 1r E0 sinθ a²r r 3 Potential e campo eletrico E E0 k V E dl E0 k dz k E0 z Vrθ E0 r cos θ Vrθ l0 Al rl Bl rl1 Plcos θ cos θ l até 1 Vrθ A0 B0 r A1 r B1 r2 cos θ Vint rθ A0 B0 r A1 r B1 r2 cos θ 0a Dirac q B1 0 Vext rθ C0 D0 r C1 r D1 r2 cos θ a E0 r cos θ C0 D0 r C1 r D1 r2 cos θ Vint rθ A1 r cos θ D0 0 C0 0 C1 E0 Vext rθ E0 r cos θ D1 r2 cos θ ordem 1 A0 não pode existir B0 é termo de frio Condição de contorno Vintaθ Vextaθ A1 a cos θ E0 a cos θ D1 a2 cos θ A1 E0 D1 a3 Dnint Dnext σ Eint Vint Eintn n A1 r cos θ A1 cos θ Dintn ϵ0 A1 cos θ Eext Vext Eextn n E0 r cos θ D1 r2 cos θ Dextn ϵ E0 cos θ 2 D1 r3 cos θ E0 A1 cos θ ϵ E0 cos θ 2 D1 a3 cos θ 0 dielétrico E0 A1 ϵ E0 2 D1 a3 A1 ϵ ϵ0 E0 2 D1 a3 E0 D1 a3 ϵ ϵ0 E0 2 D1 a3 E0 D1 a3 ϵ ϵ0 E0 2 ϵ ϵ0 D1 a3 E0 1 ϵ ϵ0 2 ϵ ϵ0 D1 a3 D1 a3 2 ϵ ϵ0 D1 a3 ϵ ϵ0 D1 a3 E0 ϵ0 ϵ ϵ0 D1 2 ϵ ϵ0 a3 D1 E0 a3 ϵ0 ϵ 2 ϵ ϵ0 logo A1 E0 1 a2 E0 a3 ϵ0 ϵ 2 ϵ ϵ0 A1 E0 ϵ ϵ0 ϵ 2 ϵ ϵ0 E0 2 ϵ ϵ0 E0 ϵ0 ϵ 2 ϵ ϵ0 E0 ϵ0 ϵ 2ϵ ϵ0 2 ϵ ϵ0 A1 3 E0 ϵ0 2 ϵ ϵ0 Portanto os potenciais são Vext rθ E0 r cos θ E0 a3 ϵ0 ϵ 2 ϵ ϵ0 cos θ Vint rθ 3 E0 ϵ0 2 ϵ ϵ0 r cos θ 4 5 6 Partindo da Lei de Gauss Mostrar que D ρ livre com D ε0E P E ρ livre ε0 D ε0E P D ε0E P Sabemos que ρp P e E ρ livre ε0 D ε0ρ livre ε0 ρp D ρ livre ρp num material ρ ρ livre ρp ρp ρ ρ livre 7 E kdε0 b d D1dS Q1 D2dS Q2 D1 Q1S σ1 D2 Q2S σ2 D1 σ1 î D2 σ2 î D1 ε0E1 E2 σ1 A ε0 E2 ε E2 σ2 A ε V1 E1dℓ V2 σ2xε C2 V1 σ1xε0 C1 D1n D2n σ 0 D1n D2n σ1 σ2 σ ΔV V2a V10 σ2 dε C2 σ1ε0 0 C1 Condição de contorno Assumir que V10 0 ΔV σ2 d ε0 C2 Outra condição V10 V2c σε0 c σε c C2 σε σε0 c C2 σ ε0 ε ε ε0 c C2 d1 b c ΔV σ d ε0 σ ε0 ε ε ε0 c σ ε0 d ε0 ε c ε σ ε0 d ε0 ε c ε QΔV Q ε0 Sεε σ ε d ε0 ε c ε d ε ε0 c D εo E P D εo P1 D1 εo E1 σ εo σ εo 0 P2 D2 ε E2 σ εo σ ε σ εo σ Kd εo σ 1 1Kd Potencial deslocamento campo capacitiva permissividade eletrica do condutor é igual E DdS Q so D1 σ1 Q1S D2 σ2 Q2S D1 σ1 D2 σ2 D1 σ1 n D2 σ2 n D εo E E1 σ1 n εo E2 σ2 n εo V1 E1 dl1 V2 E2 dl2 V1 σ1 x εo C1 C1 0 potencial do 0 0 V2 σ2 x C2 ε0 V1 a V2 a σ1 a εo σ2 a C2 εo C2 a σ2 σ1 εo C2 σ a εo V1 σ1 x ε0 V2 σ2 x σ a ε0 σ x σ a ε0 ΔV V2 d V1 0 σ2 d σ a ε0 0 σ a σ d ε0 C Q ΔV C Q ε0 σ a σ d Polarização Potencial Campo Deslocamento Capacitância DdS Q D1 Q1S D2 Q2S D1 σ D2 σ D1 σ n D2 σ n D ε E E1 σ n Kd1 εo E2 σ n Kd2 εo D εo EP P1 D1 εo E1 P2 D2 εo E2 P1 σ n σ n Kd1 εo P2 σ n σ n Kd2 εo P1 σ n 1 1Kd1 P2 σ n 1 1Kd2 Vn E dl2 V1x σ n Kd1 εo dx σ x Kd1 ε0 C1 V2x σ n Kd2 εo dx σ x Kd2 ε0 C2 V10 0 C1 0 V1a V2a σ a Kd1 ε0 σ a Kd2 ε0 C2 C2 σ a Kd1 ε0 σ a Kd2 ε0 C2 Kd2 σ a Kd1 σ a Kd1 Kd2 εo σ a Kd2 Kd1 Kd1 Kd2 εo ΔV V20 V10 0 ΔV σ c Kd2 εo σ a Kd1 Kd2 Kd1 Kd2 εo Kd1 σ a σ a Kd1 Kd2 Kd1 Kd2 εo C Q ΔV C Q Kd1 Kd2 εo Kd1 σ a σ a Kd1 Kd2 L d Kd1 Kd2 εo Kd1 c a Kd1 Kd2 10 Quarentena z1l z20 VgzPo2eo a2gzz12lgzz1lgzz2la2gzz22 VgzPo2eoa2gzl2lgzlgz2la2gz2 12 εo εo a pPo Potencial campo Deslocamento pPosinθcosθ VgθA0D0ln gm0AmcosmθBmsinmθCm gmDm gm Vintgθ0a Vextgθa Vint0θfínito Dm0 D00 A00 todos os termos m1sigue a 0 Vext0θfínito Cm0 D00 A00 VintgθA1cosθB1sinθ C1g B1n0 VintgθA1cosθC1g VintgθA1gcosθ VextgθA1cos g D1gn VextgθD1gncosθ VintgθA1gcosθ VextgθD1gncosθ Dados os constantes 13 Não 14 overrightarrowp P0hatk Calcular overrightarrowE em todos os pontos Vr heta suml0inftyAlrl Blrl1Plcos heta overrightarrowp P0 hat hetacos heta hatdelta sen heta overrightarrowp P0 cos heta hatn P0 sen heta hat heta overrightarrowp tem cos então tem q fzgr aparece cos heta e isso acontece quando a somatória está l 1 por causa do P1cos heta cos heta Vr heta A0 fracB0r A1r fracB1r2 cos heta Vint Vext Va 0a Vab ab Vb b infty Va r heta A0 fracB0r A1r fracB1r2 cos heta rightarrow batei 0 Não pode divergir B0 0 B1 0 Va r heta A0 A1 r cos heta Vab r heta C0 fracD0r C1 r fracD1r2 cos heta rightarrow numa ordem qualquer um termo não rightarrow D0 0 A0 A1An consegue quando com mais de um A0 A1 r cos heta C0 fracD0r C1 r cos heta fracD1r2 cos heta é um caso 0 q sabemos Ent 0 D is 0 Vb r heta F0 fracG0r F1 r fracG1r2 cos heta rightarrow B atei r infty Não pode divergir F1 0 Vb r heta F0 fracG0r fracG1r2 cos heta Vb r heta Vb r heta fracG0r fracG1r2 cos heta mas o certo funciona An com Bn G0 0 pp comparaçao de Vb com Veb Va r heta A0 A1 r cos heta Vab r heta C0 fracD0r C1 r fracD1r2 cos heta Vb r heta F0 fracG0r fracG1r2 cos heta Tam q tem rightarrow índice consistente com as 3 equações Nese caso só vai ter coisas ail A0 0 C0 0 D0 0 F0 0 G0 0 Va r heta A1 r cos heta Vab r heta C1 r cos heta fracD1r2 cos heta Vb r heta fracG1r2 cos heta a com ab quad Va a heta Vab a heta quad A1 a cos heta C1 a cos heta fracD1a2 cos heta quad A1 C1 fracD1a3 Dextm Dintm sigma sigma 0 paralético Dabm Dam 0 quad rightarrow quad Dabm Dam overrightarrowEam abla Vam quad Eam fracpartialpartial r A1 r cos heta A1 cos heta quad Dam varepsilon0 A1 cos heta varepsilon0 A1 cos heta overrightarrowEabm abla Vabm quad Eabm fracpartialpartial r C1 r cos heta fracD1r2 cos heta C1 cos heta 2 D1 fraccos hetar3 Dabm varepsilon0 leftC1 cos heta 2 D1 fraccos hetar3right P0 cos heta varepsilon0 A1 cos heta varepsilon0 C1 cos heta 2 D1 fraccos hetaa3 P0 cos heta varepsilon0 A1 varepsilon0 C1 2 fracD1a3 P0 A1 C1 2 fracD1a3 fracP0varepsilon0 quad Rightarrow quad A1 C1 frac2 D1a3 fracP0varepsilon0 quad x1 fracP1a3 x1 frac2a3 D1 fracP0varepsilon0 boxed3D1 fracP0 a3varepsilon0 quad A1 C1 fracP03 varepsilon0 ab com b quad Vab b heta Vb b heta quad Rightarrow quad C1 b cos heta fracD1b2 cos heta fracG1b2 cos heta quad Rightarrow quad C1 b D1 fracG1b2 quad Rightarrow quad C1 fracG1 D1b3 boxedDabm Dbm overrightarrowEb abla Vb quad Ebm fracpartialpartial r fracG1r2 cos heta frac2 G1r3 cos heta quad Rightarrow quad Dbm varepsilon0 leftfrac2 G1r3 cos hetaright Dabm varepsilon0 C1 cos heta frac2 D1r3 P0 cos heta varepsilon0 C1 cos heta frac2 D1r3 P0 cos heta varepsilon0 leftfrac2 G1r3 cos hetaright C1 frac2 D1a3 fracP0varepsilon0 frac2 G1r3 quad Rightarrow quad C1 frac2 D1a3 fracP0varepsilon0 frac2 G1a3 frac2 D1a3 fracP0varepsilon0 frac2 G1a3 fracG1 D1a3 G1 D1 2 D1 frac2 a3varepsilon0 P0 quad Rightarrow quad 36 3 D1 fracP0varepsilon0 quad Rightarrow quad frac3a3 G1 D1 P0 quad Rightarrow quad G1 fracP0varepsilon0 leftfraca33right D1 quad Rightarrow quad 3 C1 fracP0varepsilon0 quad Rightarrow quad C1 fracP03 varepsilon0 quad Rightarrow quad G1 C1 a3 D1 quad quad G1 fracP0varepsilon0 leftfraca33right D1 quad C1 a3 D1 fracP0 a33 varepsilon0 quad Rightarrow quad D1 C1 fracP0 a33 varepsilon0 D1 fracP0 1 a33 varepsilon0 e ptt quad G1 fracP0 a33 varepsilon0 fracP0 1 a33 varepsilon0 G1 fracP03 varepsilon0 A1 C1 leftfracP0 a33 varepsilon0 right A1 fracP03 varepsilon0 fracP03 varepsilon0 0 Potanto Va r heta 0 Vab r heta fracP0360 cos heta fracP0 1 a336 r2 cos heta Vb r heta fracPr3 3 varepsilon0 cos heta εᵣC₁cosθ 2D₁cosθb³ P₀cosθε₀ εᵣ2G₁cosθb³ C₁b³ 2D₁ P₀b³ε₀ 2G₁ 2G₁ 2C₁b³ 2D₁ C₁b³ 2D₁ P₀b³ε₀ 2C₁b³ 2D₁ 3C₁b³ P₀b³ε₀ C₁ P₀3ε₀ G₁ C₁b³ D₁ D₁ P₀a³3ε₀ G₁ P₀b³3ε₀ P₀a³3ε₀ P₀b³ a³3ε₀ A₁ C₁ P₀3ε₀ A₁ P₀3ε₀ P₀3ε₀ 0 Vₐr θ A₁r cosθ 0 Vₐbr θ C₁r cosθ D₁cosθr² P₀r cosθ3ε₀ P₀a³cosθ3ε₀r² Vbr θ G₁cosθr² P₀b³ a³ cosθr² 3ε₀ 15 P P₀ k vec r x ˆi y ˆj z ˆk vec r xˆi y ˆj z ˆk vec r vec r x ˆi y ˆj ˆkzz vec r vec r sqrtx2 y2 z z2 vec r vec r sqrtρ2 z z2 Vvec r 14πε₀ ρₚvec r vec r dV 14πε₀ σₚvec r vec r dS ρₚ P 0 σₚ P n σₚ P n₁ P₀ 1 P₀ σₚ P n₂ P₀ 1 P₀ σₚ P n₃ 0 σₚ P n₄ 0 Vr 0 14πε₀ P₀ sqrtρ2 zz2 dS₁ P₀ sqrtρ2 zz2 dS₂ Vvec r 14πε₀ P₀ sqrtρ2 zz2 ρdρdφ P₀ sqrtρ2 zz2 ρdρdφ Vvec r 12ε₀ ₐᵇ P₀ ρ dρ sqrtρ2 zz2 ₐᵇ P₀ ρdρ sqrtρ2 zz2 Vz 12ε₀ P₀ sqrtb² yz² P₀ sqrta² yz² ₐᵇ x dx sqrtx² a² sqrtx²a² C Vₓₜz P₀2ε₀ sqrtb² yz² sqrta² yz² sqrta² yz² sqrtb² yz² P₀ Vᵢₙₜ Vz 12ε₀ P₀ sqrtb² yz² ₀ᵃ P₀ sqrta² yz² ₀ᵃ Vz P₀ 2ε₀ sqrta² yz² sqrtyz² sqrtyz² sqrta² yz² Vz P₀ 2ε₀ sqrta² yz² z₁ z z₂ z sqrta² yz² Diagram of concentric circles with radius a and b vecP P0 hata Potential Vr heta A0 D0 ln r summ eq 0 Am cos m heta Bm sin m hetaCm rn Dn rn Va 0a Vob ab Vb b infty Vr heta A0 D0 ln r summ eq 0 Am cos m heta Bm sin m hetaCm rn Dn rm Va0 heta finite D0 0 Dn 0 Vbinfty heta finite P0 0 Cn 0 Voba heta finite D0 0 vecP P0 cos heta hata P0 sin heta hat heta Am e Bm com m 1 0 A0 0 Var heta A1 cos heta B1 sin heta C1 r A1 r cos heta B1 r sin heta Vob heta A1 cos heta B1 sin hetaC1 r D1 r Vb heta A1 cos heta B1 sin heta D1 r F1 r cos heta G1 r sin heta Doba Dan Dobb Dbn vecP P0 cos heta hata P0 sin heta hat heta Dm epsilon Em Pm Em partial r partial r Vaa heta Voba heta 0 Vaa heta Voba heta A1 a cos heta B1 a cos heta D1 a cos heta rightarrow A1 B1 D1 a2 Eam partial partial r A1 r cos heta A1 cos heta Dam epsilon0 A1 cos heta Eobm partial partial r B1 r cos heta D1 r cos heta B1 cos heta D1 r2 cos heta Dobm epsilon0 P1 r2 cos heta B1 cos heta P0 cos heta epsilon0 A1 cos heta epsilon0 P1 a2 cos heta B1 cos heta P0 cos heta B1 D1 a2 D1 a2 B1 P0 epsilon0 rightarrow 2 D1 a2 P0 epsilon0 D1 P0 a2 2 epsilon0 A1 B1 P0 2 epsilon0 Vbb heta Vobb heta B1 b cos heta D1 b cos heta F1 b cos heta Ebm partial partial r F1 r cos heta F1 r2 cos heta Dbm epsilon0 F1 r2 cos heta Dob epsilon0 P1 r2 cos heta B1 cos heta P0 cos heta epsilon0 F1 b2 cos heta epsilon0 P1 b2 cos heta B1 cos heta P0 cos heta F1 D1 B1 b2 P0 b2 epsilon0 B1 b2 D1 D1 B1 b2 P0 b2 epsilon0 2 B1 b2 P0 b2 epsilon0 rightarrow B1 P0 2 epsilon0 A1 B1 P0 2 epsilon0 A1 P0 2 epsilon0 P0 2 epsilon0 0 A1 0 B1 b2 D1 F1 rightarrow F1 b2 P0 2 epsilon0 P0 a2 2 epsilon0 P0 2 epsilon0 b2 a2 F1 P0 2 epsilon0 b2 a2 No text content Vagθ 0 Vabgθ Po x π 2ε₀ cosa Po a² 2ε₀ a cosθ Vbgθ Po 2ε₀ b² a² cosθ 17 Disco E σp P n constante r x i y j z k r x i y j z k r r xx i yy j zz k r r xx² yy² zz² x² y² z² Vr 14πε₀ ρv r r dV 14πε₀ σp r r dS Vr 14πε₀ σp r² z² dS Vr 14πε₀ ₀²π₀ σp r dθ dr r² z² Vr σp 2ε₀ ₀ᵃ r dr r² z² x dx x² a² x² a² C Vr σp 2ε₀ a² r² r² E V E z σp 2ε₀ a² r² z k σp 2ε₀ 1 2z 2a² z² k σp 2ε₀ z a² z² 1 k Blank page no text 18 P P0 k Potencial e campo eletrico V 14πε0 Prrr dV ρp P n 2 P0 k