Equação de Newton e Lagrangeana

Problema Considere um pêndulo quadrado de massa m e momento de inércia de massa IG preso por duas molas com constantes elásticas k1 e k2 conforme mostrado na figura Obtenha a equação de movimento do pêndulo quadrado usando as formulações de Newton e de Lagrange Linearize a equação de movimento do pêndulo quadrado Considerações iniciais Hipótese adotada A figura é um quadrado de diagonal d As molas sofrem apenas movimento de translação O pêndulo oscila com pequenas deflexões Pontos de referência para a análise Por se tratar de um quadrado há simetria no movimento dos pontos A e B Quando o quadrado oscila o ponto A sofre deslocamento vertical e o ponto B sofre deslocamento horizontal de tal forma que os deslocamentos de A e B são iguais em módulo Coordenada generalizada adotada O pendulo oscila em torno do ponto fixo de um ângulo θ Os deslocamentos dos pontos A e B serão escritos em função de θ Cálculo do deslocamento y do ponto A em função de θ yddcosθd 1cosθ Logo as deformações das molas são mola k 1 xd 1cosθ mola k 2 yd 1cosθ Obtendo o as equações de movimento pelo método de Newton As molas exercem forças restauradoras cujos módulos são dados a seguir F1k1 xk1d 1cosθ F2k2 yk2d 1cosθ Diagrama de corpo livre Usando a segunda lei de Newton no movimento circular TI ponto fixo θ k 1d 1cosθ ak2d 1cosθbm g b 2I Gm d 2 2 θ k 1d 1cosθ ak2d 1cosθbm g b 2I G md 2 4 θ Os braços de alavanca são ad sinθ bd sinθ Substituindo k 1d 1cosθ ak2d 1cosθbm g b 2I G md 2 4 θ k 1d 1cosθ d sinθk 2d 1cosθ d sinθm g dsinθ 2 IG m d 2 4 θ k 1d 2 sinθsinθcosθ k2d 2 sinθsinθcosθmg d sinθ 2 I G md 2 4 θ k1k2d 2sinθsinθcosθmgd sinθ 2 I G md 2 4 θ I G md 2 4 θk1k2d 2 sinθsinθcosθ mgd sinθ 2 0 Obtendo o as equações de movimento pelo método de Lagrange Cálculo da energia potencial U U gravitacionalU elástica U m g y 2 k1 2 x 2 k2 2 y 2 U m g d 1cosθ 2 k1 2 d 1cosθ 2 k2 2 d 1cos θ 2 U mgd 1cosθ 2 k1 2 d 212cosθcos 2θ k2 2 d 212cosθcos 2θ U mgd 1cosθ 2 k1k 2d 2 2 12cosθcos 2θ Cálculo da energia cinética K1 2 I ponto fixo θ 2 K1 2 IGm d 2 2 θ 2 K1 2 IGm d 2 4 θ 2 Função Lagrangeana LKU LK1 2 I Gm d 2 4 θ 2mgd 1cosθ 2 k1k2d 2 2 12cosθcos 2θ Derivando L em relação a θ L θ θ 1 2 I Gm d 2 4 θ 2mgd 1cosθ 2 k1k2d 2 2 12cosθcos 2θ L θ 1 2 I Gm d 2 4 2 θ00 L θ I Gm d 2 4 θ Derivando L em relação a θ L θ θ 1 2 I Gm d 2 4 θ 2mgd 1cosθ 2 k1k2d 2 2 12cosθcos 2θ L θ 0mgd 0sinθ 2 k1k2d 2 2 02 sinθ2cosθ sinθ L θ mgd sinθ 2 k 1k2d 2 2 2sinθ2cosθsinθ L θ mgd sinθ 2 k1k2d 2 sinθcosθsinθ Usando a equação de EulerLagrange d dt L θ L θ 0 d dtI Gm d 2 4 θ mgd sinθ 2 k1k2d 2 sinθcosθsinθ 0 I Gm d 2 4 θ mgd sinθ 2 k 1k2d 2sinθcosθsinθ0 I Gm d 2 4 θ mgd sinθ 2 k1k2d 2 sinθcos θsinθ 0 I G md 2 4 θk1k2d 2 sinθcosθsinθ mgd sinθ 2 0 Linearização da equação de movimento Substituindo 1 equação de ordem 2 por 2 equações de ordem 1 θq θq Logo I G m d 2 4 qk1k2d 2sinθcosθsinθ mgd sinθ 2 0 θq q k1k2d 2 I G md 2 4 sinθcosθsinθ mgd 2I G m d 2 4 sinθ θq Preparando para a linearização qf qθ θg q θ Escrevendo na forma matricial q θ f q f θ g q g θ q θ q θ q k1k2d 2 I G md 2 4 sinθcosθsinθ mgd 2I G m d 2 4 sinθ θ k1k 2d 2 I G md 2 4 sinθcosθsinθ mgd 2I G m d 2 4 sinθ q q q θ q θ q θ 0 k1k2d 2 I G m d 2 4 cosαsin αsinαcosα cos α mgd 2 IG m d 2 4 cos α 1 0 q θ q θ 0 k1k2d 2 I G m d 2 4 cosα sin 2αcos 2α mgd 2I G m d 2 4 cosα 1 0 q θ q θ 0 k1k2d 2 I G m d 2 4 cosαcos 2α mgd 2I G md 2 4 cosα 1 0 q θ Logo q k 1k2d 2 I G m d 2 4 cosαcos 2α mgd 2I G m d 2 4 cosα θ θq Eliminando a variável q θ k1k 2d 2 I G md 2 4 cos αcos2α mgd 2I G md 2 4 cosα θ θ k1k2d 2 IG m d 2 4 cos αcos2α mgd 2I G m d 2 4 cosα θ0 Linearizada em torno de um ângulo α com a vertical Considerando uma linearização em torno da posição de equilíbrio α0 θ k1k2d 2 IG m d 2 4 cos 0cos20 mgd 2I G m d 2 4 cos0 θ0 θ k1k2d 2 IG m d 2 4 11 mgd 2I G m d 2 4 1 θ0 θ k1k2d 2 IG m d 2 4 0 mgd 2I G m d 2 4 1 θ0 θ 0 mgd 2IG m d 2 4 θ0 θ mgd 2I G md 2 4 θ0 Linearizado em tordo da posição de equilíbrio Considerações iniciais Hipótese adotada A figura é um quadrado de diagonal d As molas sofrem apenas movimento de translação O pêndulo oscila com pequenas deflexões Pontos de referência para a análise Por se tratar de um quadrado há simetria no movimento dos pontos A e B Quando o quadrado oscila o ponto A sofre deslocamento vertical e o ponto B sofre deslocamento horizontal de tal forma que os deslocamentos de A e B são iguais em módulo Coordenada generalizada adotada O pendulo oscila em torno do ponto fixo de um ângulo 𝜃 Os deslocamentos dos pontos A e B serão escritos em função de 𝜃 Cálculo do deslocamento 𝑦 do ponto A em função de 𝜃 𝑦 𝑑 𝑑 cos 𝜃 𝑑1 cos𝜃 Logo as deformações das molas são mola 𝑘1 𝑥 𝑑1 cos𝜃 mola 𝑘2 𝑦 𝑑1 cos 𝜃 Obtendo o as equações de movimento pelo método de Newton As molas exercem forças restauradoras cujos módulos são dados a seguir 𝐹1 𝑘1 𝑥 𝑘1 𝑑1 cos 𝜃 𝐹2 𝑘2 𝑦 𝑘2 𝑑1 cos𝜃 Diagrama de corpo livre Usando a segunda lei de Newton no movimento circular 𝑇 𝐼𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑓𝑖𝑥𝑜 𝜃 𝑘1 𝑑1 cos 𝜃 𝑎 𝑘2 𝑑1 cos 𝜃 𝑏 𝑚 𝑔 𝑏 2 𝐼𝐺 𝑚 𝑑 2 2 𝜃 𝑘1 𝑑1 cos 𝜃 𝑎 𝑘2 𝑑1 cos 𝜃 𝑏 𝑚 𝑔 𝑏 2 𝐼𝐺 𝑚 𝑑2 4 𝜃 Os braços de alavanca são 𝑎 𝑑 sin𝜃 𝑏 𝑑 sin𝜃 Substituindo 𝑘1 𝑑1 cos 𝜃 𝑎 𝑘2 𝑑1 cos 𝜃 𝑏 𝑚 𝑔 𝑏 2 𝐼𝐺 𝑚 𝑑2 4 𝜃 𝑘1 𝑑1 cos 𝜃 𝑑 sin 𝜃 𝑘2 𝑑1 cos𝜃 𝑑 sin 𝜃 𝑚 𝑔 𝑑 sin𝜃 2 𝐼𝐺 𝑚 𝑑2 4 𝜃 𝑘1𝑑2sin𝜃 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑘2𝑑2sin𝜃 sin𝜃 cos𝜃 𝑚𝑔𝑑 sin𝜃 2 𝐼𝐺 𝑚 𝑑2 4 𝜃 𝑘1 𝑘2𝑑2sin𝜃 sin𝜃 cos𝜃 𝑚𝑔𝑑 sin𝜃 2 𝐼𝐺 𝑚 𝑑2 4 𝜃 𝑰𝑮 𝒎𝒅𝟐 𝟒 𝜽 𝒌𝟏 𝒌𝟐𝒅𝟐𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒎𝒈𝒅 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟐 𝟎 Obtendo o as equações de movimento pelo método de Lagrange Cálculo da energia potencial 𝑈 𝑈𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑈𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑈 𝑚 𝑔 𝑦 2 𝑘1 2 𝑥2 𝑘2 2 𝑦2 𝑈 𝑚 𝑔 𝑑1 cos𝜃 2 𝑘1 2 𝑑1 cos 𝜃 2 𝑘2 2 𝑑1 cos𝜃 2 𝑈 𝑚𝑔𝑑1 cos 𝜃 2 𝑘1 2 𝑑21 2 cos 𝜃 cos2 𝜃 𝑘2 2 𝑑21 2 cos 𝜃 cos2 𝜃 𝑈 𝑚𝑔𝑑1 cos 𝜃 2 𝑘1 𝑘2𝑑2 2 1 2 cos 𝜃 cos2 𝜃 Cálculo da energia cinética 𝐾 1 2 𝐼𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑓𝑖𝑥𝑜 𝜃 2 𝐾 1 2 𝐼𝐺 𝑚 𝑑 2 2 𝜃 2 𝐾 1 2 𝐼𝐺 𝑚 𝑑2 4 𝜃 2 Função Lagrangeana 𝐿 𝐾 𝑈 𝐿 𝐾 1 2 𝐼𝐺 𝑚 𝑑2 4 𝜃 2 𝑚𝑔𝑑1 cos 𝜃 2 𝑘1 𝑘2𝑑2 2 1 2 cos 𝜃 cos2 𝜃 Derivando L em relação a 𝜃 𝐿 𝜃 𝜃 1 2 𝐼𝐺 𝑚 𝑑2 4 𝜃 2 𝑚𝑔𝑑1 cos 𝜃 2 𝑘1 𝑘2𝑑2 2 1 2 cos 𝜃 cos2 𝜃 𝐿 𝜃 1 2 𝐼𝐺 𝑚 𝑑2 4 2 𝜃 0 0 𝐿 𝜃 𝐼𝐺 𝑚 𝑑2 4 𝜃 Derivando L em relação a 𝜃 𝐿 𝜃 𝜃 1 2 𝐼𝐺 𝑚 𝑑2 4 𝜃 2 𝑚𝑔𝑑1 cos 𝜃 2 𝑘1 𝑘2𝑑2 2 1 2 cos 𝜃 cos2 𝜃 𝐿 𝜃 0 𝑚𝑔𝑑0 sin𝜃 2 𝑘1 𝑘2𝑑2 2 0 2 sin 𝜃 2 cos 𝜃 sin𝜃 𝐿 𝜃 𝑚𝑔𝑑 sin 𝜃 2 𝑘1 𝑘2𝑑2 2 2 sin𝜃 2 cos 𝜃 sin𝜃 𝐿 𝜃 𝑚𝑔𝑑 sin 𝜃 2 𝑘1 𝑘2𝑑2sin𝜃 cos𝜃 sin 𝜃 Usando a equação de EulerLagrange 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝜃 𝐿 𝜃 0 𝑑 𝑑𝑡 𝐼𝐺 𝑚 𝑑2 4 𝜃 𝑚𝑔𝑑 sin𝜃 2 𝑘1 𝑘2𝑑2sin 𝜃 cos 𝜃 sin 𝜃 0 𝐼𝐺 𝑚 𝑑2 4 𝜃 𝑚𝑔𝑑 sin 𝜃 2 𝑘1 𝑘2𝑑2sin 𝜃 cos𝜃 sin𝜃 0 𝐼𝐺 𝑚 𝑑2 4 𝜃 𝑚𝑔𝑑 sin𝜃 2 𝑘1 𝑘2𝑑2sin𝜃 cos 𝜃 sin 𝜃 0 𝑰𝑮 𝒎𝒅𝟐 𝟒 𝜽 𝒌𝟏 𝒌𝟐𝒅𝟐𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒎𝒈𝒅 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟐 𝟎 Linearização da equação de movimento Substituindo 1 equação de ordem 2 por 2 equações de ordem 1 𝜃 𝑞 𝜃 𝑞 Logo 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 𝑞 𝑘1 𝑘2𝑑2sin𝜃 cos 𝜃 sin𝜃 𝑚𝑔𝑑 sin 𝜃 2 0 𝜃 𝑞 𝑞 𝑘1 𝑘2𝑑2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 sin𝜃 cos𝜃 sin𝜃 𝑚𝑔𝑑 2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 sin 𝜃 𝜃 𝑞 Preparando para a linearização 𝑞 𝑓𝑞 𝜃 𝜃 𝑔𝑞 𝜃 Escrevendo na forma matricial 𝑞 𝜃 𝑓 𝑞 𝑓 𝜃 𝑔 𝑞 𝑔 𝜃 𝑞 𝜃 𝑞 𝜃 𝑞 𝑘1 𝑘2𝑑2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 sin 𝜃 cos 𝜃 sin 𝜃 𝑚𝑔𝑑 2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 sin𝜃 𝜃 𝑘1 𝑘2𝑑2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 sin𝜃 cos 𝜃 sin𝜃 𝑚𝑔𝑑 2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 sin𝜃 𝑞 𝑞 𝑞 𝜃 𝑞 𝜃 𝑞 𝜃 0 𝑘1 𝑘2𝑑2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 cos𝛼 sin𝛼 sin 𝛼 cos𝛼 cos 𝛼 𝑚𝑔𝑑 2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 cos 𝛼 1 0 𝑞 𝜃 𝑞 𝜃 0 𝑘1 𝑘2𝑑2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 cos 𝛼 sin2 𝛼 cos2 𝛼 𝑚𝑔𝑑 2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 cos 𝛼 1 0 𝑞 𝜃 𝑞 𝜃 0 𝑘1 𝑘2𝑑2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 cos 𝛼 cos2𝛼 𝑚𝑔𝑑 2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 cos𝛼 1 0 𝑞 𝜃 Logo 𝑞 𝑘1 𝑘2𝑑2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 cos 𝛼 cos 2𝛼 𝑚𝑔𝑑 2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 cos𝛼 𝜃 𝜃 𝑞 Eliminando a variável q 𝜃 𝑘1 𝑘2𝑑2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 cos 𝛼 cos2𝛼 𝑚𝑔𝑑 2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 cos𝛼 𝜃 𝜽 𝒌𝟏 𝒌𝟐𝒅𝟐 𝑰𝑮 𝒎𝒅𝟐 𝟒 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 𝒎𝒈𝒅 𝟐 𝑰𝑮 𝒎𝒅𝟐 𝟒 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝜽 𝟎 Linearizada em torno de um ângulo 𝜶 com a vertical Considerando uma linearização em torno da posição de equilíbrio 𝛼 0 𝜃 𝑘1 𝑘2𝑑2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 cos 0 cos 20 𝑚𝑔𝑑 2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 cos0 𝜃 0 𝜃 𝑘1 𝑘2𝑑2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 1 1 𝑚𝑔𝑑 2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 1 𝜃 0 𝜃 𝑘1 𝑘2𝑑2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 0 𝑚𝑔𝑑 2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 1 𝜃 0 𝜃 0 𝑚𝑔𝑑 2 𝐼𝐺 𝑚𝑑2 4 𝜃 0 𝜽 𝒎𝒈𝒅 𝟐 𝑰𝑮 𝒎𝒅𝟐 𝟒 𝜽 𝟎 Linearizado em tordo da posição de equilíbrio