Frequência

Vibrações Trabalho 03 Problema Considere uma máquina de lavar roupa industrial suportada por duas colunas de aço e por duas barras de aço conforme mostrado na figura Considere também que a massa da máquina vazia é 50 kg e que a massa da roupa a ser lavada é 25 kg Assumindo que a máquina opera a 2000 x rpm no qual x é a soma dos dois últimos dígitos do registro acadêmico de todos os integrantes do grupo dimensione as barras e as colunas para que a frequência de operação seja 20 superior à frequência natural do sistema Além disso determine a máxima força transmitida para cada suporte das barras na condição de operação Instruções gerais Entregar relatório em papel A4 até 14082024 Relatório não deve ter mais de 10 páginas Trabalho deve ser realizado em grupo de 3 até 5 estudantes Critérios de Avaliação Modelo matemático e hipóteses adotadas 40 pontos Resultados e discussões 30 pontos Organização e clareza 30 ponto Vibrações Trabalho 03 Problema Considere uma máquina de lavar roupa industrial suportada por duas colunas de aço e por duas barras de aço conforme mostrado na figura Considere também que a massa da máquina vazia é 50 kg e que a massa da roupa a ser lavada é 25 kg Assumindo que a máquina opera a 2000 x rpm no qual x é a soma dos dois últimos dígitos do registro acadêmico de todos os integrantes do grupo dimensione as barras e as colunas para que a frequência de operação seja 20 superior à frequência natural do sistema Além disso determine a máxima força transmitida para cada suporte das barras na condição de operação Instruções gerais Entregar relatório em papel A4 até 14082024 Relatório não deve ter mais de 10 páginas Trabalho deve ser realizado em grupo de 3 até 5 estudantes Critérios de Avaliação Modelo matemático e hipóteses adotadas 40 pontos Resultados e discussões 30 pontos Organização e clareza 30 ponto Vibrações Trabalho 03 Problema Considere uma máquina de lavar roupa industrial suportada por duas colunas de aço e por duas barras de aço conforme mostrado na figura Considere também que a massa da máquina vazia é 50 kg e que a massa da roupa a ser lavada é 25 kg Assumindo que a máquina opera a 2000 x rpm no qual x é a soma dos dois últimos dígitos do registro acadêmico de todos os integrantes do grupo dimensione as barras e as colunas para que a frequência de operação seja 20 superior à frequência natural do sistema Além disso determine a máxima força transmitida para cada suporte das barras na condição de operação CG barra barra coluna coluna roupa Instruções gerais Entregar relatório em papel A4 até 14082024 Relatório não deve ter mais de 10 páginas Trabalho deve ser realizado em grupo de 3 até 5 estudantes Critérios de Avaliação Modelo matemático e hipóteses adotadas 40 pontos Resultados e discussões 30 pontos Organização e clareza 30 ponto Soma dos dígitos da matrícula x198 Velocidade de operação da máquina w2000x w2000198 w2198 rot min 1min 60 s 2π rad 1rot w2301746rad s As roupas executam um movimento plano que pode ser decomposto segundo as direções horizontal e vertical do plano do movimento Essas direções serão os eixos X e Y ilustrados na figura abaixo As roupas executam um movimento circular e a máquina executa um movimento eliptico cuja excentricidade depende das rigidez das colunas e barras Para simplificar o projeto as barras e colunas ser adotadas com a mesma geometria Serão ambas cillindricas massiças com mesmo diâmetro e comprimento e de mesmo material Tanto as barras quanto as colunas atuam com rigidez axial e flexural ou seja durante a oscilação da máquina segundo os eixos X e Y tanto a barra quanto a coluna sofrem deformação axial e são flexionadas As molas atuam dividindo a carga recebida sofrendo iguais deformações em cada direção cartesiana logo as molas estão atuando de forma paralela A força que as roupas transmitem à máquina é dada pela expressão Fmroupasr w 2 Onde r é o raio do rotor O raio do rotor tem em média 30 milímetros r30mm0030m Para uma posição angular θ da roupa no interior da máquina as componentes cartesianas da força produzida pela rotação das roupas são dadas pela expressão Fxmroupasr w 2sinθ F ymroupasr w 2cosθ Abaixo é apresentado o diagrama de corpo livre das forças atuando no sistema Usando as equações de movimento F xmmáquina x F ymmáquina y Fx2 Kaxial x2 Kflexão xmmáquina x F y2 Kaxial y2 Kflexão ymmáquina y mmáquina x2KaxialKflexão xFx mmáquina y2K axialK flexão yF y Para as barras e colunas com mesma geometria e material as constantes elásticas axial e a flexão são dadas por Kaxial E A L π 4 E D 2 L Kflexão12 EI L 3 12 π 64 ED 4 L 3 3 π 16 E D 4 L 3 Substituindo mmáquina x2 π 4 E D 2 L 3 π 16 E D 4 L 3 xF x mmáquina y2 π 4 E D 2 L 3 π 16 E D 4 L 3 yF y mmáquina x π 2 E D 2 L 3π 8 E D 4 L 3 xFx mmáquina y π 2 E D 2 L 3π 8 E D 4 L 3 yF y Ajustando os parâmetros de forma conveniente D L 200 05 L Logo mmáquina x π 2 E 005 L 2 L 3 π 8 E 005 L 4 L 3 xFx mmáquina y π 2 E 005L 2 L 3 π 8 E 005L 4 L 3 yF y mmáquina x0003927 EL0000007363ELxF x mmáquina y0003927 EL0000007363EL yF y mmáquina x0003934 EL xFx mmáquina y0003934 EL yF y D005 L Completando o modelamento substituindo as forças exercidas pela roupa mmáquina x0003934 EL xmroupasr w 2sinθ mmáquina y0003934 EL ymroupas r w 2cosθ D005 L x 0003934EL mmáquina x mroupas mmáquina r w 2sinθ y 0003934EL mmáquina y mroupas mmáquina r w 2cos θ D005 L Para a configuração utilizada a frequência natural é dada por wn 0003934EL mmáquina A frequencia de operação é 20 superior à frequencia natural wn w 12 wn2301746 12 wn1918121rads Logo as barras e colunas podem ser dimensionadas Supondo que ambas são feitas de borracha estrutural E1GPa E110 9Nm 2 wn 0003934EL mmáquina L mmáquinawn 2 0003934 E L 50kg 1918121rads 2 0003934110 9 Nm 2 L04676 m L4676m D L 2046 76 20 D234 cm Logo Ecoluna1GPaborracha Lcoluna4676cm Dcoluna234 cm Ebarra1GPa borracha Lbarra4676cm Dbarra234 cm As forças dinâmicas que as barras e colunas tranmitem dependem das amplitudes de oscilação nas direções x e y e das constantes elásticas Cálculo da amplitude da força excitadora Fmroupasr w 2 F2500302301746 2 F397352599 N Cálculo da razão de frequência R w wn R2301746 1918121 R12 A amplitude de oscilação da máquina é dada pela expressão MX mr M Y mr R 2 R 21 MX mr MY mr 12 2 12 21 MX mr MY mr 3273 XY3273mroupa r mmáquina XY3273 20kg 0030m 50kg XY003928 m Logo as forças totais transmitidas são dadas por Ftr0003934 EL X Ftr000393410 904676 003928 Ftr7224971N total A força total transmitida deve ser dividida entre duas barras e duas colunas segundo a razão das elasticidades axial e a flexão Ftr axial Kaxial KaxialK flexão Ftr 2 Ftr flexão Kflexão Kaxial Kflexão Ftr 2 Ftr axial 0003927 EL 0003927EL0000007363 EL 7224971 2 Ftr flexão 0000007363 EL 0003927 EL0000007363 EL 7224971 2 Ftr axial 0003927 0003934 7224971 2 Ftr flexão0000007363 0003934 7224971 2 Ftr axial3606058N Ftr flexão67 61 N A figura indica a distribuição das forças transmitidas Soma dos dígitos da matrícula 𝑥 198 Velocidade de operação da máquina 𝑤 2000 𝑥 𝑤 2000 198 𝑤 2198 𝑟𝑜𝑡 𝑚𝑖𝑛 1 𝑚𝑖𝑛 60 𝑠 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 1 𝑟𝑜𝑡 𝑤 2301746 𝑟𝑎𝑑𝑠 As roupas executam um movimento plano que pode ser decomposto segundo as direções horizontal e vertical do plano do movimento Essas direções serão os eixos X e Y ilustrados na figura abaixo As roupas executam um movimento circular e a máquina executa um movimento eliptico cuja excentricidade depende das rigidez das colunas e barras Para simplificar o projeto as barras e colunas ser adotadas com a mesma geometria Serão ambas cillindricas massiças com mesmo diâmetro e comprimento e de mesmo material Tanto as barras quanto as colunas atuam com rigidez axial e flexural ou seja durante a oscilação da máquina segundo os eixos X e Y tanto a barra quanto a coluna sofrem deformação axial e são flexionadas As molas atuam dividindo a carga recebida sofrendo iguais deformações em cada direção cartesiana logo as molas estão atuando de forma paralela A força que as roupas transmitem à máquina é dada pela expressão 𝐹 𝑚𝑟𝑜𝑢𝑝𝑎𝑠 𝑟 𝑤2 Onde r é o raio do rotor O raio do rotor tem em média 30 milímetros 𝑟 30 𝑚𝑚 0030 𝑚 Para uma posição angular θ da roupa no interior da máquina as componentes cartesianas da força produzida pela rotação das roupas são dadas pela expressão 𝐹𝑥 𝑚𝑟𝑜𝑢𝑝𝑎𝑠 𝑟 𝑤2 sin 𝜃 𝐹𝑦 𝑚𝑟𝑜𝑢𝑝𝑎𝑠 𝑟 𝑤2 cos 𝜃 Abaixo é apresentado o diagrama de corpo livre das forças atuando no sistema Usando as equações de movimento 𝐹𝑥 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑥 𝐹𝑦 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑦 𝐹𝑥 2 𝐾𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑥 2 𝐾𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑥 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑥 𝐹𝑦 2 𝐾𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑦 2 𝐾𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑦 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑦 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑥 2𝐾𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝐾𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑥 𝐹𝑥 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑦 2𝐾𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝐾𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑦 𝐹𝑦 Para as barras e colunas com mesma geometria e material as constantes elásticas axial e a flexão são dadas por 𝐾𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝐸 𝐴 𝐿 𝜋 4 𝐸𝐷2 𝐿 𝐾𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 12 𝐸 𝐼 𝐿3 12 𝜋 64 𝐸 𝐷4 𝐿3 3𝜋 16 𝐸𝐷4 𝐿3 Substituindo 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑥 2 𝜋 4 𝐸𝐷2 𝐿 3𝜋 16 𝐸𝐷4 𝐿3 𝑥 𝐹𝑥 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑦 2 𝜋 4 𝐸𝐷2 𝐿 3𝜋 16 𝐸𝐷4 𝐿3 𝑦 𝐹𝑦 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑥 𝜋 2 𝐸𝐷2 𝐿 3𝜋 8 𝐸𝐷4 𝐿3 𝑥 𝐹𝑥 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑦 𝜋 2 𝐸𝐷2 𝐿 3𝜋 8 𝐸𝐷4 𝐿3 𝑦 𝐹𝑦 Ajustando os parâmetros de forma conveniente 𝐷 𝐿 20 005 𝐿 Logo 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑥 𝜋 2 𝐸005𝐿2 𝐿 3𝜋 8 𝐸005𝐿4 𝐿3 𝑥 𝐹𝑥 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑦 𝜋 2 𝐸005𝐿2 𝐿 3𝜋 8 𝐸005𝐿4 𝐿3 𝑦 𝐹𝑦 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑥 0003927 𝐸𝐿 0000007363 𝐸𝐿 𝑥 𝐹𝑥 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑦 0003927 𝐸𝐿 0000007363 𝐸𝐿 𝑦 𝐹𝑦 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑥 0003934 𝐸𝐿 𝑥 𝐹𝑥 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑦 0003934 𝐸𝐿 𝑦 𝐹𝑦 𝐷 005𝐿 Completando o modelamento substituindo as forças exercidas pela roupa 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑥 0003934 𝐸𝐿 𝑥 𝑚𝑟𝑜𝑢𝑝𝑎𝑠 𝑟 𝑤2 sin 𝜃 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑦 0003934 𝐸𝐿 𝑦 𝑚𝑟𝑜𝑢𝑝𝑎𝑠 𝑟 𝑤2 cos 𝜃 𝐷 005𝐿 𝒙 𝟎 𝟎𝟎𝟑𝟗𝟑𝟒 𝑬𝑳 𝒎𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝒙 𝒎𝒓𝒐𝒖𝒑𝒂𝒔 𝒎𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝒓 𝒘𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒚 𝟎 𝟎𝟎𝟑𝟗𝟑𝟒 𝑬𝑳 𝒎𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝒚 𝒎𝒓𝒐𝒖𝒑𝒂𝒔 𝒎𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝒓 𝒘𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝑫 𝟎 𝟎𝟓𝑳 Para a configuração utilizada a frequência natural é dada por 𝑤𝑛 0003934 𝐸𝐿 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 A frequencia de operação é 20 superior à frequencia natural 𝑤𝑛 𝑤 12 𝑤𝑛 2301746 12 𝑤𝑛 1918121 𝑟𝑎𝑑𝑠 Logo as barras e colunas podem ser dimensionadas Supondo que ambas são feitas de borracha estrutural 𝐸 1 𝐺𝑃𝑎 𝐸 1109 𝑁𝑚2 𝑤𝑛 0003934 𝐸𝐿 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝐿 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑤𝑛2 0003934 𝐸 𝐿 50 𝑘𝑔 1918121 𝑟𝑎𝑑𝑠2 0003934 1109 𝑁𝑚2 𝐿 04676 𝑚 𝐿 4676 𝑚 𝐷 𝐿 20 4676 20 𝐷 234 𝑐𝑚 Logo 𝑬𝒄𝒐𝒍𝒖𝒏𝒂 𝟏 𝑮𝑷𝒂 𝒃𝒐𝒓𝒓𝒂𝒄𝒉𝒂 𝑳𝒄𝒐𝒍𝒖𝒏𝒂 𝟒𝟔 𝟕𝟔 𝒄𝒎 𝑫𝒄𝒐𝒍𝒖𝒏𝒂 𝟐 𝟑𝟒 𝒄𝒎 𝑬𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 𝟏 𝑮𝑷𝒂 𝒃𝒐𝒓𝒓𝒂𝒄𝒉𝒂 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 𝟒𝟔 𝟕𝟔 𝒄𝒎 𝑫𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 𝟐 𝟑𝟒 𝒄𝒎 As forças dinâmicas que as barras e colunas tranmitem dependem das amplitudes de oscilação nas direções x e y e das constantes elásticas Cálculo da amplitude da força excitadora 𝐹 𝑚𝑟𝑜𝑢𝑝𝑎𝑠 𝑟 𝑤2 𝐹 250030 23017462 𝐹 397352599 𝑁 Cálculo da razão de frequência 𝑅 𝑤 𝑤𝑛 𝑅 2301746 1918121 𝑅 12 A amplitude de oscilação da máquina é dada pela expressão 𝑀𝑋 𝑚𝑟 𝑀𝑌 𝑚𝑟 𝑅2 𝑅2 1 𝑀𝑋 𝑚𝑟 𝑀𝑌 𝑚𝑟 122 122 1 𝑀𝑋 𝑚𝑟 𝑀𝑌 𝑚𝑟 3273 𝑋 𝑌 3273 𝑚𝑟𝑜𝑢𝑝𝑎 𝑟 𝑚𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑋 𝑌 3273 20 𝑘𝑔 0030 𝑚 50 𝑘𝑔 𝑋 𝑌 003928 𝑚 Logo as forças totais transmitidas são dadas por 𝐹𝑡𝑟 0003934 𝐸𝐿 𝑋 𝐹𝑡𝑟 0003934109 04676003928 𝐹𝑡𝑟 7224971 𝑁 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 A força total transmitida deve ser dividida entre duas barras e duas colunas segundo a razão das elasticidades axial e a flexão 𝐹𝑡𝑟𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝐾𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝐾𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝐾𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝐹𝑡𝑟 2 𝐹𝑡𝑟𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝐾𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝐾𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝐾𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝐹𝑡𝑟 2 𝐹𝑡𝑟𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 0003927 𝐸𝐿 0003927 𝐸𝐿 0000007363 𝐸𝐿 7224971 2 𝐹𝑡𝑟𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 0000007363 𝐸𝐿 0003927 𝐸𝐿 0000007363 𝐸𝐿 7224971 2 𝐹𝑡𝑟𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 0003927 0003934 7224971 2 𝐹𝑡𝑟𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 0000007363 0003934 7224971 2 𝐹𝑡𝑟𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 3606058 𝑁 𝐹𝑡𝑟𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 6761 𝑁 A figura indica a distribuição das forças transmitidas 6761 N 7224971 N 3606048 N 6761 N 6761 N 3606048 N 3606048 N 3606058 N 7224971 N 6761 N 6761 N