Frequência Naturais e Equação do Movimento

Vibrações Trabalho 04 Problema Um automóvel é modelado como mostra a figura Considere que m é a massa do carro IG é o momento de inércia de massa em relação ao C G do automóvel m1 e m2 são respectivamente as massas dos conjuntos pneurodasuspensão dianteira e traseira k1t e k2t são respectivamente as constantes de rigidez do pneus dianteiro e traseiro k1 e k2 são respectivamente as constantes de rigidez da suspensão dianteira e traseira c1 e c2 são respectivamente as constantes de amortecimento da suspensão dianteira e traseira l1 e l2 são respectivamente as distâncias do eixo dianteiro e traseiro ao C G θ é o deslocamento angular do C G do automóvel x é o deslocamento vertical do C G do automóvel x1 e x2 são respectivamente os deslocamentos verticais das suspensões dianteira e traseira y1 e y2 são os desníveis do solo sob os pneus dianteiro e traseiro respectivamente Considere que m 400 kg m1 55 kg m2 60 kg IG 1100 kgm2 l1 1 4 m l2 1 5 m k1 14000 Nm k2 10000 Nm kt1 kt2 200000 Nm c1 1300 Nsm e c2 1200 Nsm y2 x2 C G y1 x1 kt2 kt1 m2 m1 l2 l1 m JG θ c1 c2 k1 k2 x Deduza as equações de movimento Determine as frequências naturais e formais modais Desprezando o amortecimento e considerando y1 0 e y2 0 determine os deslo camentos xt x1t x2t e θt usando o método de desacoplamento de equações Defina as condições iniciais justificando a motivação Determine e represente em gráfico os deslocamentos xt x1t x2t e θt quando o automóvel passa por uma lomdada Análise os deslocamento quando o automóvel tem velocidade horizontal de 40 kmh e 80 kmh Utilize uma função senoidal para representar a elevação da lombada Não despreze o amortecimento Instruções gerais Entregar relatório em papel A4 até 05092024 Trabalho deve ser realizado em grupo de 3 até 5 estudantes Critérios de Avaliação Metodologia utilizada 40 pontos Resultados e discussões 30 pontos Organização e clareza 30 ponto VIBRAÇÕES TRABALHO 04 Problema Um automóvel é modelado como mostra a figura Considere que m carro IG é o momento de inércia de massa em relação ao C G do autom são respectivamente as massas dos conjuntos pneurodasuspensão dianteir e k2t são respectivamente as constantes de rigidez do pneus dianteiro e t são respectivamente as constantes de rigidez da suspensão dianteira e tras respectivamente as constantes de amortecimento da suspensão dianteira e são respectivamente as distâncias do eixo dianteiro e traseiro ao C G θ é angular do C G do automóvel x é o deslocamento vertical do C G do a x2 são respectivamente os deslocamentos verticais das suspensões dianteir e y2 são os desníveis do solo sob os pneus dianteiro e traseiro respectivamen que m 400 kg m1 55 kg m2 60 kg IG 1100 kgm² l1 14 k1 14000 Nm k2 10000 Nm kt1 kt2 200000 Nm c1 1300 Ns Nsm 1 Dedução das equações de movimento Para obter as equações de movimento existem duas principais abordagens a mecânica newtoniana baseado na mecânica vetorial e a mecânica analítica com base na Equação de Lagrange Como principal vantagem da utilização da Equação de Lagrange em relação a Mecânica Newtoniana é que a abordagem de Lagrange se baseia na energia do sistema não sendo necessário se preocupar com direção das forças e ou forças internas que não realizam trabalho Dessa forma para obter as equações de movimento de um sistema é necessário construir 3 funções a função que descreve a energia cinética do sistema a função que descreve a energia potencial do sistema e a energia dissipada nos amortecedores sendo todas definidas em função de um conjunto de coordenadas generalizadas independentes que são capazes de descrever o estado do sistema de forma única e completa Para este sistema iremos utilizar um conjunto de coordenadas descrito por Como o sistema possui 4 graus de liberdade e as variáveis acima são independentes esse conjunto consegue definir a posição do sistema em qualquer instante de tempo Energia cinética do sistema Energia potencial do sistema Energia dissipada nos amortecedores do sistema A equação de Lagrange para uma coordenada q qualquer é dada por Assim aplicando para cada uma das coordenadas temos que 1 Logo 2qθ Lθ IGθ ddt Lθ IGθ Lθ k1l1cosθxl1senθ x1 k2l2cosθx l2senθ x2 Dθ c1l1cosθẋl1 θ cos θ x1 c2l2cosθẋ l2θcosθ x2 Logo JGθ k1l1cosθx l1senθ x1 k2 l2cosθx l2senθ x2 c1l1cos 3q x1 Lx1 m1x1 ddt Lx1 m1x1 Lx1 k1x l1senθ x1 kt1x1 y1 Dx1 c1ẋ l1 θ cos θ x1 Logo m1x1 k1x l1senθ x1 kt1x1 y1 c1 ẋ l1 θ cos θ x1 0 Logo Substituindo os valores dos parâmetros temos que 2 Frequências naturais e modos de vibração As frequências naturais são a solução da seguinte equação Logo temos que essa matriz é dada por Com o auxílio do software MATLAB temos que os autovalores desta matriz são Para se obter os modos de vibração devese resolver a equação acima e obter o valor de x para cada frequência Resolvendose esse sistema indeterminado temos que Resolvendose esse sistema indeterminado temos que Resolvendose esse sistema indeterminado temos que Resolvendose esse sistema indeterminado temos que É importante ressaltar que os modos normais foram normalizados ou seja todos possuem norma 1 3 Solução do problema desconsiderandose o amortecimento e as perturbações externas Ao se desconsiderar o amortecimento e as perturbações externas temos a seguinte equação Portanto Então 4 Simulação da transposição de uma lombada Para simular o sistema completo transpondo uma lombada considerando amortecimento iremos utilizar o software MATLAB para a solução numérica do sistema de equações diferenciais obtido que modela o problema Os códigos e os resultados para as duas velocidades 40 e 80kmh estão expostos abaixo V 40kmh V80kmh clear all close all clc Solução do problema tspan 0 3 tyode45eqcarrotspan00000000 solução da equaçao diferencial no intervalo de t0 a tt210s figure1 subplot311 plotty2LineWidth2 grid xlabelTempo s ylabel Deslocamento Vertical do veículo m titleDeslocamento vertical do centro de massa do veículo subplot312 hold on plotty6LineWidth2Colorred plotty8LineWidth2Colorblue grid xlabelTempo s ylabel Deslocamento vertical dos pneus m titleDeslocamento vertical dos pneus legendx1x2 hold off subplot313 plotty4linewidth2Colorblue grid xlabelTempo s ylabel Deslocamento angular do veículo rad titleDeslocamento angulare function dydx eqcarrotx dydx1 dxvdt dydx2 xvt dydx3 dphidt dydx4 phi dydx5 dthetadtdydx6 thetadydx7 dx1dt dydx8 x1 dydx9 dx2dt dydx10 x2 dydx11 dx3dt dydx12 x3 dydx13 dx4dt dydx14 x4 Definição dos parâmetros vel8036 ms velocidade em metros por segundo m 400 Kg Jg 1100 Kgm2 m1 55 Kg m2 60 Kg l1 14 m l2 15 m k1 14000 m k2 10000 m c1 1300 Nm c2 1200 Nsm kt1 200000 Nm kt2 200000 Nsm ybdpistat y1 ybd ybtpistatl1l2vel y2 ybt M diagmJgm1m2 K k1k2 l1k1k2l2 k1 k2k1l1k2l2 k1l12k2l22 k1l1 k2l2k1 k1l1 k1kt1 0k2 k2l2 0 k2kt2 C c1c2 l1c1c2l2 c1 c2c1l1c2l2 c1l12c2l22 c1l1 c2l2c1 c1l1 c1 0c2 c2l2 0 c2 F 0 00 0kt1 00 kt2 Xp x1x3x5x7 X x2x4x6x8 Xpp M1Fy1y2KXCXp dydx1 Xpp1 dydx2 x1 dydx3 Xpp2 dydx4 x3 dydx5 Xpp3 dydx6 x5 dydx7 Xpp4 dydx8 x7 dydxdydx function ybpistat vel8036 ms velocidade em metros por segundo Obstáculo 1 d1 10 m largura do quebramolas d0 1 m distância antes do quebra molas y0 04 m altura do quebramolas Tempos referentes as mudanças de pista t1 d0vel tempo para chegar no obstáculo dt21 d1vel tempo para transpor o obstáculo t2 t1dt21 tempo após o obstáculo w2pidt21frequencia tal que em t2 yb0 Definiçao da pista if t t1 yb 0 elseif t t2 yb y02sinwtt1 yb y02sinwtt1 else yb 0 end