Análise de Circuitos no Domínio de Frequência: Polos e Zeros Complexos

Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos Forma alternativa para encontrar as raízes de um polinômio do segundo grau 2 𝑠2 𝑥𝑠 𝑦 𝑠 𝑎 𝑗𝑏𝑠 𝑎 𝑗𝑏 𝑎 𝑥 2 𝑏 𝑦 𝑎2 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos Exemplo 3 𝑠2 𝑥𝑠 𝑦 𝑠 𝑎 𝑗𝑏𝑠 𝑎 𝑗𝑏 𝑎 𝑥 2 𝑏 𝑦 𝑎2 𝑠2 5𝑠 4 0 𝑎 5 2 25 𝑏 4 252 𝑗15 𝑠 25 𝑗 𝑗15 𝑠 25 𝑗 𝑗15 0 𝑠 25 15 𝑠 25 15 0 𝒔 𝟏 𝒔 𝟒 𝟎 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos Exemplo 4 𝑠2 𝑥𝑠 𝑦 𝑠 𝑎 𝑗𝑏𝑠 𝑎 𝑗𝑏 𝑎 𝑥 2 𝑏 𝑦 𝑎2 𝑠2 2𝑠 4 0 𝑎 2 2 1 𝑏 4 252 2 𝑠 1 𝑗 2 𝑠 1 𝑗 2 0 𝒔 𝟏 𝒋𝟐 𝒔 𝟏 𝒋𝟐 𝟎 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos Para funções de transferência com singularidades complexas é interessante representar os polinômios no formato 𝑠2 𝑥𝑠 𝑦 para que se possa obter parâmetros que indicam características sobre o circuito ao comparar com a expressão 𝑠2 2𝜁𝜔𝑛𝑠 𝜔𝑛2 Onde temos 5 𝜁 Fator de amortecimento 𝜔𝑛 Frequência de ressonância Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos 6 Polos complexos H s 1 𝑠22𝜁𝜔𝑛𝜔𝑛2 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos 7 Zeros complexos H s 𝑠2 2𝜁𝜔𝑛 𝜔𝑛2 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos 8 A ocorrência do pico de ressonância está diretamente associada ao fator de amortecimento Para 𝜁 1 2 teremos uma característica amortecida na frequência 𝜔𝑛 Para 𝜁 1 2 o descolamento na frequência 𝜔𝑛 permanece em 3 𝑑𝐵 Para 𝜁 1 2 ocorrerá a ressonância e aparecerá um pico de ressonância no diagrama Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos 9 Este pico de ressonância acontece na frequência 𝜔𝑟 𝜔𝑛 1 2𝜁2 com uma amplitude de 𝑀𝑝 20 log10 1 2𝜁 1𝜁2 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos 10 Os procedimentos para a obtenção do diagrama de Bode real permanecem os mesmos utilizados para as funções de transferência com polos reais No diagrama assintótico o pico de ressonância pode ser representado de maneira simplificada com a elevação em magnitude Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos 11 Exemplo Considerando a função de transferência 𝐻 𝑠 100 𝑠25𝑠100 encontre as raízes do sistema a frequência de ressonância o fator de amortecimento e trace o diagrama de bode da função 𝜔𝑛2 100 𝜔𝑛 100 10 2𝜁𝜔𝑛 5 𝜁 5 2𝜔𝑛 5 20 025 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos 12 Exemplo Considerando a função de transferência 𝐻 𝑠 100 𝑠25𝑠100 encontre as raízes do sistema a frequência de ressonância o fator de amortecimento e trace o diagrama de bode da função 𝜁 025 Como 𝜁 0707 existe um pico de ressonância na frequência 𝜔𝑟 Sendo 𝜔𝑟 10 1 2 0252 93541 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Com amplitude de 20log10 1 2025 120252 66 𝑑𝐵 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos 13 Exemplo Considerando a função de transferência 𝐻 𝑠 100 𝑠25𝑠100 encontre as raízes do sistema a frequência de ressonância o fator de amortecimento e trace o diagrama de bode da função 𝐻 𝑠 100 𝑠 25 𝑗96824𝑠 25 𝑗96824 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos 14 𝐻 𝑠 100 𝑠 25 𝑗96824𝑠 25 𝑗96824 𝐻 𝑗𝜔 100 𝑗𝜔 25 𝑗96824𝑗𝜔 25 𝑗96824 𝐻 𝑗𝜔 100 25 𝑗 𝜔 96824 25 𝑗 𝜔 96824 𝐻 𝑗𝜔 100 252 𝜔 96824 2 252 𝜔 96824 2 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos 15 𝐻 𝑗𝜔 100 252 𝜔 96824 2 252 𝜔 96824 2 𝑯𝒅𝑩𝜔 20 log10 100 252 𝜔 96824 2 252 𝜔 96824 2 𝐻 𝑗𝜔 0 atan 𝜔 96824 25 atan 𝜔 96824 25 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos 16 𝑯𝒅𝑩 001 105772 106𝑑𝐵 𝑯𝒅𝑩 𝜔𝑟 630 𝑑𝐵 𝑯𝒅𝑩 𝜔𝑛 602 𝑑𝐵 𝑯𝒅𝑩 987 612 𝑑𝐵 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos 17 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos 18 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos 19 Exercício 1 Considerando a função de transferência 𝐻𝑠 10 𝑠24𝑠29 encontre as raízes do sistema a frequência de ressonância o fator de amortecimento e trace o diagrama de bode da função Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos 20 Exercício 1 Considerando a função de transferência 𝐻𝑠 10 𝑠24𝑠29 encontre as raízes do sistema a frequência de ressonância o fator de amortecimento e trace o diagrama de bode da função Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos 21 Exercício 2 Considerando a função de transferência 𝐻𝑠 𝑠25𝑠100 𝑠1 𝑠100 encontre as raízes do sistema a frequência de ressonância o fator de amortecimento e trace o diagrama de bode da função Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos 22 Exercício 2 Considerando a função de transferência 𝐻𝑠 𝑠25𝑠100 𝑠1 𝑠100 encontre as raízes do sistema a frequência de ressonância o fator de amortecimento e trace o diagrama de bode da função Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos 23 Exercício 3 Considerando a função de transferência 𝐻𝑠 𝐼 𝑠 𝑉𝑖𝑛 𝑠 encontre as raízes do sistema a frequência de ressonância e o fator de amortecimento 𝑅 𝑉𝑖𝑛 𝑠𝐿 1 𝑠𝐶 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos 24 Exercício 3 Considerando a função de transferência H s 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝐼𝑖𝑛 encontre as raízes do sistema a frequência de ressonância e o fator de amortecimento 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑅 𝑠𝐿 1 𝑠𝐶 𝐼𝑖𝑛 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Bode com polos e zeros complexos 25 Exercício 4 Trace o diagrama de bode assintótico para os circuitos abaixo considerando 𝑉𝑜𝑢𝑡 como saída e 𝑉𝑖𝑛 como entrada a b c d 𝑉𝑖𝑛 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑅 𝐿 𝑉𝑖𝑛 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑅 𝐿 𝑉𝑖𝑛 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑅 𝐶 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑉𝑖𝑛 𝑅 𝐶 OBRIGADO UNISINOS DESAFIE O AMANHÃ