Análise de Circuitos no Domínio de Frequência - Integral de Convolução

Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução 2 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Assim como utilizamos a função de transferência no domínio das frequências para obter as características de um determinado sistema podendo conhecer a saída do sistema para um determinado sinal de entrada No domínio do tempo possuímos a integral de convolução que possui a mesma finalidade 3 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução 4 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Possuindo um sinal de entrada 𝑥𝑡 e a resposta ao impulso ℎ𝑡 é possível determinar a saída 𝑦 𝑡 através da integral de convolução que é definida por 𝑦 𝑡 න 𝑥 𝜆 ℎ 𝑡 𝜆 𝑑𝜆 5 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Outra forma de representar a convolução é utilizando o operador 𝑦 𝑡 𝑥 𝑡 ℎ𝑡 6 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução 𝑦 𝑡 න 𝑥 𝜆 ℎ 𝑡 𝜆 𝑑𝜆 𝑥 𝑡 ℎ𝑡 A convolução consiste basicamente em inverter um dos sinais no domínio do tempo realizar o deslocamento e a multiplicação ponto a ponto com o segundo sinal e integrar o produto com o auxilio da variável fictícia 𝜆 7 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Este processo também pode ser realizado utilizando a representação gráfica dos sinais de modo que facilite os cálculos 8 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Exemplo Tendo os sinais 𝑥1 𝑡 e 𝑥2𝑡 determine o sinal 𝑦 𝑡 𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡 9 𝑥1 𝑡 2𝑢 𝑡 2𝑢𝑡 1 𝑥2 𝑢 𝑡 1 𝑢𝑡 3 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Invertendo o sinal 𝑥1 𝑡 substituindo 𝑡 por 𝜆 10 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Deslocando o sinal 𝑥1 𝜆 em t 11 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Substituindo 𝑡 por 𝜆 no sinal 𝑥2 𝑡 12 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Considerando 𝑥1 como a resposta ao impulso podemos calcular a resposta ao sinal 𝑥2 𝑦 𝑡 𝑥2 𝜆 𝑥1 𝑡 𝜆 𝑑𝜆 13 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução A integral será resolvida por partes a representação gráfica nos auxilia a determinar os intervalos de integração uma vez que procuramos a área da região com sobreposição Na figura abaixo para diferentes valores de 𝑡 nenhum dos sinais se sobrepõem para 𝑡 1 logo 𝑦1 𝑡 0 0 𝑡 1 14 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Para 1 t 2 os sinais não se sobrepõem completamente logo temos que 𝑦2 𝑡 න 1 𝑡 2 1 𝑑𝜆 2 𝑡 1 1 𝑡 2 15 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Para 2 t 3 os sinais se sobrepõem completamente logo temos que 𝑦3 𝑡 න 𝑡1 𝑡 2 1 𝑑𝜆 2 𝑡 𝑡 1 2 2 𝑡 3 16 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Para 3 t 4 os sinais se sobrepõem parcialmente logo temos que 𝑦4 𝑡 න 𝑡1 3 2 1 𝑑𝜆 2 3 𝑡 1 8 2𝑡 3 𝑡 4 17 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Para t 4 os sinais já não se sobrepõem mais logo temos que 𝑦5 𝑡 0 𝑡 4 18 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução A resposta completa da integral de convolução é a soma das integrais parciais 𝑦 𝑡 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦4 𝑦5 𝑦 𝑡 0 0 𝑡 1 2𝑡 2 1 𝑡 2 2 2 𝑡 3 8 2𝑡 3 𝑡 4 0 𝑡 4 19 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução 𝑦 𝑡 0 0 𝑡 1 2𝑡 2 1 𝑡 2 2 2 𝑡 3 8 2𝑡 3 𝑡 4 0 𝑡 4 20 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Exemplo de solução por transformada de Laplace 21 𝑥1 𝑡 2𝑢 𝑡 2𝑢𝑡 1 𝑥2 𝑢 𝑡 1 𝑢𝑡 3 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Exemplo de solução por transformada de Laplace 22 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Exemplo animado 23 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Exercício 1 Realize a convolução dos sinais 𝑥1 e 𝑥2 utilizando a integral de convolução e verifique o resultado realizando a convolução utilizando a transformada de Laplace 24 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Exercício 2 Realize a convolução dos sinais 𝑔t e 𝑢𝑡 utilizando a integral de convolução e verifique o resultado realizando a convolução utilizando a transformada de Laplace 25 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Exercício 3 Realize a convolução dos sinais xt e y𝑡 utilizando a integral de convolução e verifique o resultado realizando a convolução utilizando a transformada de Laplace 26 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Exercício 4 Realize a convolução dos sinais xt e h𝑡 utilizando a integral de convolução e verifique o resultado realizando a convolução utilizando a transformada de Laplace 27 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Exercício 5 Realize a convolução dos sinais xt e h𝑡 utilizando a integral de convolução e verifique o resultado realizando a convolução utilizando a transformada de Laplace 28 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Exercício 6 Realize a convolução dos sinais xt e h𝑡 utilizando a integral de convolução e verifique o resultado realizando a convolução utilizando a transformada de Laplace 29 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Exercício 7 Realize a convolução dos sinais xt e h𝑡 utilizando a integral de convolução e verifique o resultado realizando a convolução utilizando a transformada de Laplace 30 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Integral de convolução Exercício 8 Realize a convolução dos sinais f1t e f2𝑡 utilizando a integral de convolução e verifique o resultado realizando a convolução utilizando a transformada de Laplace 31 OBRIGADO UNISINOS DESAFIE O AMANHÃ