Análise de Circuitos no Domínio de Frequência: Polos e Zeros

Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Polos e zeros Uma função 𝐹𝑠 no domínio das frequências complexas pode ser representada pela razão entre dois polinômios fatorados 𝐹 𝑠 𝑁𝑢𝑚 𝐷𝑒𝑛 𝐾 𝑠 𝑧1 𝑠 𝑧2 𝑠 𝑧𝑛 𝑠 𝑝1 𝑠 𝑝2 𝑠 𝑝𝑛 2 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Polos e zeros 𝐹 𝑠 𝑁𝑢𝑚 𝐷𝑒𝑛 𝐾 𝑠 𝑧1 𝑠 𝑧2 𝑠 𝑧𝑛 𝑠 𝑝1 𝑠 𝑝2 𝑠 𝑝𝑛 Onde K é um ganho constante As raízes do polinômio do numerador 𝑧1 𝑧2 𝑧𝑛 são os zeros de 𝐹𝑠 As raízes do polinômio do denominador 𝑝1 𝑝2 𝑝𝑛 são os polos de 𝐹𝑠 3 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Polos e zeros Representação no plano S O diagrama de polos e zeros é a representação gráfica dos polos e zeros no plano S onde os polos são representados por um X e os zeros por um circulo 4 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Polos e zeros Representação no plano S Exemplo 𝐹 𝑠 10 𝑠5 𝑠3𝑗4 𝑠3𝑗4 𝑠𝑠10𝑠6𝑗8𝑠6𝑗8 K 10 Zeros 5 3j4 3j4 Polos 0 10 6j8 6j8 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Polos e zeros Exercício Identifique e represente o ganho k os polos e zeros de Fs 𝐹 𝑠 5𝑠 5 𝑠2 6𝑠 8 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Polos e zeros Exercício Identifique e represente o ganho k os polos e zeros de Fs 𝐹 𝑠 5𝑠5 𝑠26𝑠8 𝐹 𝑠 5𝑠1 𝑠2𝑠4 K 5 Zeros 1 Polos 2 4 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Transformada inversa de Laplace Para obter a resposta dos circuitos no domínio do tempo é necessário realizar a transformada inversa de Laplace Para realizar a transformada inversa utilizando a tabela devese expandir a resposta no domínio das frequências em frações parciais Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Transformada inversa de Laplace Exemplo Encontre a transformada inversa de Laplace da função 𝐹 𝑠 𝐹 𝑠 𝑠 3 𝑠 1𝑠 2 a1 s 1 a2 s 2 𝑎1 𝑠 1 𝑠 3 𝑠 1 𝑠 2 𝑠1 1 3 1 2 2 𝑎2 𝑠 2 𝑠 3 𝑠 1 𝑠 2 𝑠2 2 3 2 1 1 𝐹 𝑠 𝑠 3 𝑠 1𝑠 2 a1 s 1 a2 s 2 2 s 1 1 s 2 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Transformada inversa de Laplace Exemplo Encontre a transformada inversa de Laplace da função 𝐹 𝑠 𝐹 𝑠 𝑠 3 𝑠 1𝑠 2 a1 s 1 a2 s 2 2 s 1 1 s 2 𝑓 𝑡 ℒ1 2 𝑠 1 ℒ1 1 𝑠 2 𝑓 𝑡 2𝑒𝑡 𝑒2𝑡 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Transformada inversa de Laplace Expansão em frações parciais método dos resíduos com polos múltiplos 𝐹 𝑠 𝐵 𝑠 𝑠 𝑝 𝑛 𝑏1 𝑠 𝑝 1 𝑏2 𝑠 𝑝 2 𝑏𝑛 𝑠 𝑝 𝑛 𝑏𝑘 1 𝑛 𝑘 𝑑𝑛𝑘 𝑑𝑠𝑛𝑘 𝑠 𝑝 𝑛 𝐵 𝑠 𝐴 𝑠 𝑠𝑝 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Transformada inversa de Laplace Exemplo Encontre a transformada inversa de Laplace da função 𝐹 𝑠 𝐹 𝑠 𝑠2 2𝑠 3 𝑠 1 3 b1 𝑠 1 1 𝑏2 𝑠 1 2 𝑏3 𝑠 1 3 𝑏1 1 3 1 𝑑31 𝑑𝑠31 𝑠 1 3 𝑠2 2𝑠 3 𝑠 1 3 𝑠1 1 𝑏2 1 3 2 𝑑21 𝑑𝑠21 𝑠 1 3 𝑠2 2𝑠 3 𝑠 1 3 𝑠1 0 𝑏3 1 3 3 𝑠 1 3 𝑠2 2𝑠 3 𝑠 1 3 𝑠1 2 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Transformada inversa de Laplace Exemplo Encontre a transformada inversa de Laplace da função 𝐹 𝑠 𝐹 𝑠 𝑠2 2𝑠 3 𝑠 1 3 b1 𝑠 1 1 𝑏2 𝑠 1 2 𝑏3 𝑠 1 3 𝐹 𝑠 1 𝑠 1 1 0 𝑠 1 2 2 𝑠 1 3 𝑓 𝑡 𝑒𝑡 𝑡2𝑒𝑡 1 𝑡2 𝑒𝑡 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Transformada inversa de Laplace Expansão em frações parciais método algébrico Passo 1 Expandese a função deixando as constantes como variáveis e multiplicase ambos os lados da equação pelo denominador da função Passo 2 Igualase os coeficientes das potências semelhantes de s para obter as constantes Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Transformada inversa de Laplace Expansão em frações parciais método algébrico Exemplo Transforme 𝐹 𝑠 para o domínio do tempo 𝐹 𝑠 𝑠2 12 s s 2 s 3 A s B s 2 C s 3 𝑠2 12 𝐴 𝑆 s s 2 s 3 𝐵 𝑠 2 s s 2 s 3 𝐶 𝑠 3 s s 2 s 3 𝑠2 12 𝐴 𝑠 2 𝑠 3 𝐵𝑠 𝑠 3 𝐶𝑠𝑆 2 𝑠2 12 A s2 5s 6 B s2 3s Cs2 2s Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Transformada inversa de Laplace Expansão em frações parciais método algébrico Exemplo Transforme 𝐹 𝑠 para o domínio do tempo 𝐹 𝑠 𝑠2 12 s s 2 s 3 A s B s 2 C s 3 𝑠2 12 A s2 5s 6 B s2 3s Cs2 2s 𝑠2 12 𝑠2 𝐴 𝐵 𝐶 𝑠 5𝐴 3𝐵 2𝐶 6𝐴 𝑠2 1 𝐴 𝐵 𝐶 𝑠1 0 5𝐴 3𝐵 2𝐶 𝑠0 12 6𝐴 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Transformada inversa de Laplace Expansão em frações parciais método algébrico Exemplo Transforme 𝐹 𝑠 para o domínio do tempo 𝐹 𝑠 𝑠2 12 s s 2 s 3 A s B s 2 C s 3 12 6𝐴 𝐴 2 1 𝐴 𝐵 𝐶 2 𝐵 𝐶 1 B 1 C 0 5𝐴 3𝐵 2𝐶 2𝐶 5𝐴 3𝐵 10 31 C 2𝐶 10 3 3𝐶 𝐶 7 𝐵 1 𝐶 1 7 8 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Transformada inversa de Laplace Expansão em frações parciais método algébrico Exemplo Transforme 𝐹 𝑠 para o domínio do tempo 𝐹 𝑠 𝑠2 12 s s 2 s 3 A s B s 2 C s 3 2 s 8 s 2 7 s 3 𝑓 𝑡 2 8𝑒2𝑡 7𝑒3𝑡 𝑢𝑡 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Transformada inversa de Laplace Exercícios Obtenha a transformada inversa de Laplace dos sinais abaixo 𝑎 𝐹 𝑆 6 𝑠2 𝑠1 𝑠3 𝑠4 𝑏 𝐹 𝑠 10𝑠24 𝑠 𝑠1 𝑠2 2 𝑐 𝐹 𝑠 4 𝑠1 𝑠3 𝑑 𝐹 𝑠 12 𝑠2 2 𝑠4 𝑦 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑦 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔𝑥 𝑔 𝑥 2 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Transformada inversa de Laplace Exercícios Encontre a expressão de xt a partir de Xs 𝑋 𝑠 𝑠2 2𝑠 5 s 3 s 5 2 Resposta 𝑥 𝑡 2𝑒3𝑡 1 10𝑡 𝑒5𝑡 𝑦 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑦 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔𝑥 𝑔 𝑥 2 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Transformada inversa de Laplace Exercícios Encontre a expressão de xt a partir de Xs 𝑋 𝑠 𝑠2 6𝑠 7 𝑠2 3𝑠 2 Resposta 𝑥 𝑡 𝛿 𝑡 2𝑒𝑡 𝑒2𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛ô𝑚𝑖𝑜𝑠 Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Transformada inversa de Laplace Determine 𝑖 𝑡 para 𝑡 0 no circuito abaixo considerando que a chave esteve na posição a por um longo período de tempo Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Transformada inversa de Laplace Determine 𝑣 𝑡 para 𝑡 0 no circuito abaixo considerando que a chave esteve na posição b por um longo período de tempo Análise de circuitos no domínio de frequência Prof Armando Leopoldo Keller Transformada inversa de Laplace Determine 𝑣 𝑡 para 𝑡 0 no circuito abaixo considerando 𝑉𝑠 20 𝑉