Análise Dimensional em Máquinas de Fluidos

Máquinas de Fluidos Análise dimensional 1 Introdução Esta técnica é um método que permite que um grupo de variáveis possuindo uma relação física possam ser arranjados de tal maneira que forneçam informações úteis sobre o comportamento geral e principalmente permitam a determinação experimental desta relação Assim uma relação física particular pode ser determinada por n variáveis que pode ser formalmente definida por meio da equação Se o número de variáveis for muito grande mesmo seis por exemplo a determinação experimental do efeito de uma única variável será muito difícil porque muitas vezes a variação desta variável influirá no comportamento das demais Por exemplo a equação da perda de pressão ou carga de uma tubulação reta é dada por Máquinas de Fluidos 2 1 2 n f 3 2 1 p f f L D V Introdução A análise dimensional permite que estas variáveis sejam agrupadas em um número menor de grupos adimensionais cada um contendo duas ou mais variáveis e o número de grupos será o mínimo necessário para incluir todas as variáveis no mínimo uma vez e representar desta forma a relação entre elas Obs O que iremos aplicar em seguida é o Teorema dos números s de E Buckingham proposto em 1914 elaborado a partir do método das dimensões proposto por Lord Rayleigh no seu livro The Theory of Sound de 1877 Embora creditado a E Buckingham essa ideia já havia aparecido anteriormente em publicações independentes devido a A Vaschy 1892 e D Riabouchinsky 1911 Máquinas de Fluidos 3 Teorema de Buckingham O Teorema de VaschyBuckingham ou teorema dos números s estabelece que uma equação física completa tal como a Eq 1 pode ser expressa na forma de números termos s onde cada representa um produto de potências de algumas das variáveis em termos das dimensões primárias comprimento L massa M e tempo T formando um grupo adimensional Assim a Eq 1 poderia ser representada como onde cada e cujo produto resultante será adimensional quando cada for expresso em termos das dimensões primárias Em cada alguns dos expoentes a b x serão zero e então cada conterá somente algumas das variáveis O número máximo de termos independentes nk será sempre menor que o número de variáveis n e em geral é igual ao número de dimensões primárias k Máquinas de Fluidos 4 1 1 2 3 f n 3 1 2 3 n k 1 2 a b n x Teorema de VaschyBuckingham Teorema de Buckingham As outras combinações possíveis poderão ser formadas através de uma combinação de potências de dois ou mais termos s que também formarão grupos adimensionais O conceito de grupos adimensionais Números s como relações entre grandezas geométricas quantidades cinemáticas e dinâmicas e propriedades de fluidos conduz à ideia de similaridade ou semelhança Se as condições de operação são tais que todos os termos s tem o mesmo valor então condições físicas exatamente similares são obtidas não importando os valores individuais das variáveis em separado Máquinas de Fluidos 5 Teorema de VaschyBuckingham Teorema de Buckingham Uma semelhança física completa exige Semelhança geométrica todas as relações de dimensões lineares são as mesmas em qualquer ponto isto é as formas geométricas são similares independentemente do tamanho Semelhança cinemática as relações de velocidades são as mesmas isto é os triângulos de velocidades que representam as condições de escoamento são similares Semelhança dinâmica mesma relação entre forças em qualquer ponto do problema Máquinas de Fluidos 6 Teorema de VaschyBuckingham Teorema de Buckingham Utilidade Permite a operação com modelos em escala reduzida Assim os protótipos de grandes máquinas e grandes potências podem ser construídos com uma margem de erro aceitável tendo em vista os dados de operação levantados em modelos e generalizados pela teoria da semelhança física Máquinas de Fluidos 7 Teorema de VaschyBuckingham Teorema de VaschyBuckingham Vamos supor por exemplo a equação que contém 6 variáveis e que deverão ser expressas em termos das 3 dimensões primárias Desta forma nk633 s serão necessários Selecionando arbitrariamente 1 2 e 3 estas terão que ser combinadas com 4 5 e 6 fornecendo assim 3 termos s Quando cada variável for expressa em sua forma dimensional isso é com as 3 dimensões primárias teremos os termos s Máquinas de Fluidos 8 1 2 3 4 5 6 f 1 1 1 1 4 3 2 1 1 d repetem c a b 2 2 2 2 5 3 2 1 2 d c b a 3 3 3 3 6 3 2 1 3 d c b a Cálculo dos termos s Supor por exemplo a equação 4 5 6 7 Teorema de Buckingham Agora cada uma destas equações necessita ser adimensional e esta condição pode ser obtida colocando cada grupo de igual a M0L0T0 isto é Desta forma obtémse equações simultâneas para os expoentes de M L e T mas resultando em 3 equações com 4 incógnitas que são os expoentes das equações A solução passa então pela eliminação de uma incógnita elevando cada lado da equação a uma potência igual ao recíproco de seu expoente visto que cada lado é adimensional Máquinas de Fluidos 9 Teorema de VaschyBuckingham 0 0 0 4 3 2 1 1 1 1 1 L T M d c a b 0 0 0 5 3 2 1 2 2 2 2 L T M d c b a 0 0 0 6 3 2 1 3 3 3 3 L T M d c b a 8 9 10 Teorema de Buckingham É conveniente eliminar sempre o termo que foi combinado Por exemplo cada lado é elevado à potência 1d Assim a Eq 8 pode ser escrita como ou onde Para os outros dois conjuntos se procede de forma semelhante Isto é equivalente à tomarse para 4 5 e 6 um expoente unitário Assim conseguese 3 equações e 3 incógnitas a b e c que podem ser facilmente resolvidas Máquinas de Fluidos 10 Teorema de VaschyBuckingham 11 12 0 0 0 4 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 L T M d d d c d b d a 1 2 3 4 0 0 0 a b c M L T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d d d d c c d b b d a a 13 Teorema de Buckingham Aplicações às turbomáquinas É importante para um exame detalhado do comportamento das pás e de impelidores de turbomáquinas em geral e muito útil na análise das características globais destes equipamentos Estamos interessados na relação de pressão taxa de massa torque etc em conjunto com o tamanho velocidade e as propriedades do fluido Como primeira etapa devese claramente definir o problema e pensar quais variáveis são importantes É importante pensar fisicamente sobre o problema e com suas restrições Por exemplo podese variar todas as variáveis independentemente Isso é se a força peso de um objeto for dada pela Eq 14 existe 2 variáveis independentes desconsiderandose g Máquinas de Fluidos 11 Teorema de VaschyBuckingham 14 volume específica massa g L F 3 Teorema de Buckingham Variáveis selecionadas 1 Vazão volumétrica Q m3s L3T 2 Altura H m L 3 Velocidade de rotação N rps 1T 4 Diâmetro do impelidor D m L 5 Massa específica do fluido kgm3 ML3 6 Viscosidade absoluta kgm s MLT 7 Aceleração da gravidade g ms2 LT2 8 Energia específica E Jkg L2T2 A altura H produzida por uma bomba não é uma dimensão linear mas sim a energia transferida ao líquido por unidade de peso do líquido Dessa forma existe uma relação entre a energia específica e a altura conforme a Eq 16 Máquinas de Fluidos 12 Teorema de VaschyBuckingham 2 2 2 T L L T L gH E m N Nm N J Peso Energia H 15 16 Teorema de Buckingham Portanto das 8 variáveis em questão se podem utilizar para descrever o comportamento da máquina apenas 6 Q E N D e Estas grandezas são representadas por três dimensões fundamentais o comprimento L o tempo T e a massa M De acordo como o teorema de VaschyBuckingham se podem formar nk 63 termos adimensionais A relação entre estas grandezas pode ser expressa por uma função Se forem selecionadas E D e como variáveis independentes teremos que Máquinas de Fluidos 13 Teorema de VaschyBuckingham f Q E N D 0 17 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 2 1 z y x z y x z y x D E N D E Q D E 18 19 20 Teorema de Buckingham Então fazendo toda a solução desde o começo para o primeiro 1 Chamando e substituindo 22 na Eq 21 resulta em Igualando a Eq 23 com as 3 grandezas fundamentais conforme a Eq 12 Máquinas de Fluidos 14 Teorema de VaschyBuckingham 1 1 1 1 1 d c b a Q E D 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d ed d c z d b y d a x 22 Q D E z y x 1 1 1 1 23 0 0 0 1 1 1 1 L T M Q D E z y x 24 Teorema de Buckingham Substituindo cada uma das variáveis por suas grandezas fundamentais passo conforme definido no Slide 12 Resolvendo para os expoentes Resolvendo agora todos os termos que possuem a dimensão L Resultando na equação Máquinas de Fluidos 15 Teorema de VaschyBuckingham 25 26 0 0 0 3 3 2 2 1 1 1 1 L T M T L L M L T L z y x 0 0 0 1 3 3 2 2 1 1 1 1 1 L T M L T L L M T L z z y x x 0 3 3 2 1 1 1 L L L L L z y x 27 0 3 3 2 1 1 1 z y x 28 0 0 0 1 1 1 1 L T M Q D E z y x 24 Teorema de Buckingham Fazendo a mesma substituição para a dimensão M o que resulta na Eq 30 Usando o mesmo procedimento para a dimensão T de acordo com a Eq 26 Resultando na equação Cuja solução é Máquinas de Fluidos 16 Teorema de VaschyBuckingham 29 30 31 0 1 2 1 x 32 0 1 M M z 1 0 z 0 1 2 1 T T T x 2 1 1 x 33 Teorema de Buckingham Substituindo as duas raízes encontradas Eq 30 e 33 na Eq 28 encontrase a última raiz Substituindo todas as raízes encontradas na Eq 23 que fornece como resultado final para 1 Uma vez que Máquinas de Fluidos 17 Teorema de VaschyBuckingham 34 35 36 2 0 3 30 2 1 2 0 3 3 2 1 1 1 1 1 y y z y x Q D E 0 2 2 1 1 2 12 2 12 1 D gH Q D E Q E gH Teorema de Buckingham Aplicando o mesmo procedimento para os demais números s chegase nas equações e onde é a massa específica a viscosidade absoluta e é viscosidade cinemática pois Máquinas de Fluidos 18 Teorema de VaschyBuckingham 2 1 2 1 2 ND E ND gH 3 1 2 1 2 DE D gH 37 39 em m 2 s 38 Teorema de Buckingham Os 3 números s derivados anteriormente são independentes De acordo com a análise dimensional as relações entre 1 2 e 3 só podem ser estabelecidas experimentalmente Os valores de permanecem constantes para impelidores similares em condições dinamicamente similares sem importar a velocidade de rotação ou o tamanho do rotor pois eles são critérios de escoamento Para aplicações práticas estas expressões serão expandidas usando o fato de que se os valores de são constantes para impelidores similares produtos ou potências também serão constantes e também serão critérios de funcionamento do impelidor Assim Máquinas de Fluidos 19 Teorema de VaschyBuckingham 42 41 40 4 1 3 Q D s N gH NQ 4 3 2 1 2 1 2 1 5 6 1 2 3 Q ND Número de Reynolds para turbomáquinas Rotação específica Coeficiente de vazão Teorema de Buckingham Às expressões anteriores ainda podem ser acrescentadas mais dois números adimensionais Máquinas de Fluidos 20 Teorema de VaschyBuckingham 43 44 Coeficiente de pressão 7 2 2 2 2 1 gH N D 8 3 5 P N D Coeficiente de potência Teorema de Buckingham O método direto de representar a performance de uma dada bomba é plotar H versus Q para vários valores de rotação N tal como se vê na figura abaixo Máquinas de Fluidos 21 Relações de semelhança Curvas caraterísticas de H vs Q de uma bomba centrífuga Teorema de Buckingham Podese utilizar os parâmetros adimensionais para representar todos os tamanhos e em todas as velocidades simplesmente plotandose versus ou seja HN2D2 versus QND3 porque os parâmetros se tornam independentes das variações em N e D Máquinas de Fluidos 22 Relações de semelhança Diagrama adimensional para as características de uma bomba 2 2 7 D N gH 3 6 ND Q Teorema de Buckingham Relações de semelhança Se os efeitos da viscosidade e compressibilidade são desprezados ou considerados como secundários o que é verdade em certos casos podese obter algumas informações úteis utilizandose somente os números 6 7 e 8 Exemplo uma mesma bomba mesmo impelidor e mesmo fluido Nesse caso Assim para duas condições operacionais distintas Para D1 D2 resultando em Máquinas de Fluidos 23 Relações de semelhança 3 6 ND Q 3 2 2 2 3 1 1 1 D N Q D N Q 45 46 ou 1 2 1 2 2 2 1 1 N N Q Q N Q N Q 47 Teorema de Buckingham Realizando a mesma derivação para os números 7 e 8 e reescrevendo a equação derivada anteriormente para 6 temos as 3 importantes relações de semelhança Obs o subíndice 1 indica as condições conhecidas Máquinas de Fluidos 24 Relações de semelhança 47 48 1 2 1 2 N N Q Q 49 H H N N 2 1 2 2 1 2 3 1 3 2 1 2 N N P P abs abs Teorema de Buckingham Então existe uma relação simples entre a velocidade da máquina N e as variáveis de performance isto é QN HN2 e PN3 Assim podemos estender a informação obtida num único teste e a uma velocidade fixa De acordo com a figura abaixo e para condições de operação similares Máquinas de Fluidos 25 Relações de semelhança Características de desempenho previstas em função da rotação N Teorema de Buckingham Da mesma maneira uma série de curvas características Potência vs Vazão podem ser obtidas de uma curva PxQ conhecida com QN e PN3 Por exemplo Considere o estudo experimental de um modelo de bomba centrífuga cujos resultados são mostrados na figura abaixo onde são mostradas as relações de potência absorvida vs vazão volumétrica A letra M representa os valores medidos em um modelo Desejase estimar o valor da potência do protótipo a ser desenvolvido Pp para uma bomba operando na vazão Qp e rotação Np Máquinas de Fluidos 26 Relações de semelhança p7 gHm Nm 2Dm 2 gH p N p 2Dp 2 H p Hm N p Nm æ è çç ö ø 2 Dp Dm æ è çç ö ø 2 50 51 52 53 Fator de escala 𝜋6 𝑄𝑚 𝑁𝑚𝐷𝑚 3 𝑄𝑝 𝑁𝑝𝐷𝑝 3 𝑄𝑝 𝑄𝑚 𝑁𝑝 𝑁𝑚 𝐷𝑝 𝐷𝑚 3 Teorema de Buckingham O coeficiente de potência E então Resolvendo isso para uma série de pontos da curva M a curva P pode ser obtida O rendimento do protótipo também pode ser extrapolado utilizandose a sugestão de Moody et al 1942 Máquinas de Fluidos 27 Relações de semelhança p8 c Pabsm rNm 3Dm 5 Pabsp rN p 3Dp 5 1hp 1hm Dm Dp æ è çç ö ø 1 5 Pabsp Pabsm N p Nm æ è çç ö ø 3 Dp Dm æ è çç ö ø 5 54 55 56 Teorema de Buckingham Sugerese que algum cuidado deva ser exercido no procedimento por causa de algumas incertezas 1 A proporção da rugosidade da superfície para qualquer macro dimensão pode não ser a mesma entre o modelo e o protótipo Como resultado as características de escoamento podem ser diferentes 2 Mesmo entre duas macro dimensões as proporções podem variar como a relação entre folgas e diâmetros 3 Se o fluido a ser manuseado for totalmente diferente com viscosidades muito variadas entre o modelo e o protótipo é possível que a projeção esteja errada No entanto a extrapolação ou previsão pode ser tomada como uma estimativa justa do desempenho do protótipo Máquinas de Fluidos 28 Relações de semelhança Teorema de Buckingham Exemplo 1 Uma bomba centrífuga é projetada para um projeto de abastecimento de água da cidade Antes de iniciar a fabricação da bomba um modelo de um oitavo do tamanho da bomba é construído e os testes são executados no modelo As observações experimentais são apresentadas na tabela abaixo É necessário extrapolar o desempenho da bomba protótipo a uma velocidade de 600 rpm Particularidades do modelo Diâmetro de saída do impelidor Dm 01 m Velocidade Nm 1500 rpm Particularidades do protótipo Diâmetro de saída do impelidor Dp 08 m Velocidade Np 600 rpm Máquinas de Fluidos 29 Relações de semelhança ModeloTeste 1 2 3 4 5 Altura Hm m 58 51 41 32 21 Vazão Qm m3s 0011 00152 0019 0022 0026 Potência Pm kW 0802 0927 099 0958 085 Teorema de Buckingham Utilizandose como exemplo o ponto 3 da tabela anterior Hm 41 m Qm 0019 m3s e Pabsm 099 kW A altura do protótipo é A vazão volumétrica do protótipo é A potência útil do modelo é dada por Máquinas de Fluidos 30 Relações de semelhança H p Hm N p Nm æ è çç ö ø 2 Dp Dm æ è çç ö ø 2 41 600 1500 æ èç ö ø 2 08 01 æ èç ö ø 2 4198m Qp Qm N p Nm æ è çç ö ø Dp Dm æ è çç ö ø 3 0019 600 1500 æ èç ö ø 08 01 æ èç ö ø 3 389m3 s Putilm gQmHm 981m s2 1000kg m3 0019m3s 41m 7642W 07642kW Teorema de Buckingham Conforme a tabela anterior a potência absorvida pelo modelo foi de Pabsm 099 kW Assim seu rendimento pode ser calculado como Assim pela Eq 56 o rendimento estimado do protótipo fica A potência útil do protótipo pode ser calculada como Máquinas de Fluidos 31 Relações de semelhança hm Putilm Pabsm 0762 099 077 Putilm gQmHm 981m s2 1000kg m3 389m3s 41984m 16021472W 160215kW hp 1 1hm Dm Dp æ è çç ö ø 02 1 1077 01 08 æ èç ö ø 02 0849 Teorema de Buckingham Rotação específica O têrmo 5 tal como comentado anteriormente é conhecido como rotação específica Ns Um certo valor de Ns expressa todos os valores das variáveis operacionais Q H e N que conduzem à condições de escoamento semelhantes em turbomáquinas geometricamente semelhantes Assim a rotação específica é um parâmetro teórico usado para determinar o tipo de impelidor a ser utilizado e por consequência o tipo de bomba mais adequado A determinação da rotação específica permite Escolher o tipo de impelidor mais adequado para uma dada aplicação Relacionar o tipo de impelidor com o rendimento da bomba Orientar o projeto de novos impelidores Verificar se uma bomba irá trabalhar próximo ao ponto de melhor rendimento mesmo não conhecendose a curva de xQ Máquinas de Fluidos 32 Relações de semelhança Teorema de Buckingham O tipo de impelidor de uma bomba está associado com a rotação específica conforme mostrado na figura abaixo Máquinas de Fluidos 33 Relações de semelhança Teorema de Buckingham Uma curva clássica de rendimento versus rotação específica Ns pode ser vista na figura abaixo Da curva QxH percebese que Ns pode ter qualquer valor entre zero e infinito para uma mesma turbomáquina Então para fins práticos Ns deve ser calculado apenas para o ponto de melhor eficiência e Ns passa assim a ser um critério de projeto pois cada turbomáquina tem sua máxima eficiência dentro de uma faixa estreita de Ns Esta faixa é diferente para cada classe Máquinas de Fluidos 34 Relações de semelhança Valores rendimento versus Ns Teorema de Buckingham Uma abordagem muito mais familiar e estabelecida há muito tempo para seleção do formato de máquina tira proveito de dois outros grupos adimensionais conhecidos a rotação específica e o diâmetro específico definido como São chamados de específicos por ser a rotação específica Ns proporcional a rotação N enquanto que o diâmetro específico Ds é proporcional a D A utilização desses dois adimensionais como recomendação para as faixas de aplicação dos tipos de bombas e ventiladores foi mostrado por Cordier 1953 Posteriormente Balje 1981 expandiu a ideia de Cordier 1953 apresentando diagramas estatísticos do rendimento de turbomáquinas em função da rotação específica e do diâmetro específico mostradas a seguir Máquinas de Fluidos 35 Relações de semelhança Ds D gH 14 Q12 57 Baljé O 1981 Turbomachines Wiley Sons Teorema de Buckingham Máquinas de Fluidos 36 Relações de semelhança Teorema de Buckingham Máquinas de Fluidos 37 Relações de semelhança Teorema de Buckingham Para mostrar a importância dos parâmetros adimensionais para a análise do rendimento de uma turbomáquina podese retornar às equações de Ns e Ds Eq 41 e 57 já mostradas Substituindo nessas duas equações as correspondentes aos coeficientes de vazão e de pressão Resultam em Máquinas de Fluidos 38 Relações de semelhança 58 41 Ns NQ12 gH 34 Ds D gH 14 Q12 57 p6 j Q ND3 Q jND3 p7 y gH N 2D2 gH yN 2D2 Ns N ND3j 12 yN 2D2 34 j 1 2 y 3 4 Ds D yN 2D2 14 ND3j 12 y 1 4 j 1 2 59 Teorema de Buckingham A figura abaixo apresenta o desempenho de bombas e turbinas em relações aos coeficientes de pressão ψ e de vazão φ De forma similar podese demostrar que o rendimento de uma turbomáquina é uma função que depende desses mesmos dois parâmetros Máquinas de Fluidos 39 Relações de semelhança h f jy 60 Turbomachine Efficiency Capacity Coefficient Teorema de Buckingham Máquinas de Fluidos 40 Relações de semelhança Exemplo 2 Uma turbina hidráulica com impelidor de 112 m de diâmetro trabalha com uma altura manométrica de 101 m de água vazão de 3 m3s e produz uma potência de 2542 kW a uma velocidade de 375 rpm Considere que é necessário desenvolver um modelo dessa turbina para teste em laboratório Para isso foi desenvolvido um modelo de ¼ do tamanho da turbina A altura máxima disponível no laboratório é de 10 m de coluna de água Encontre a vazão necessária para ser planejada a velocidade na qual o modelo deve ser testado e a potência de saída do modelo