Curvas Teóricas de Funcionamento de Bombas Centrífugas

Máquinas de Fluidos Tema 4 Curvas teóricas de funcionamento bombas centrífugas 1 Curvas teóricas A equação básica de Euler pode ser trabalhada de forma a estabelecer a relação teórica entre a altura Ht e a vazão Q de uma bomba centrífuga conforme a equação vista na apresentação anterior De acordo com o ângulo de saída ou descarga do fluido 2 há três situações 2 90 pás voltadas em orientação contrária ao sentido de rotação do impelidor para trás Fig c 2 90 pás retas na saída Fig b 2 90 pás voltadas no mesmo sentido da rotação do impelidor para frente Fig a Máquinas de Fluidos a b c 2 Curvas teóricas Os triângulos de velocidades em função da geometria da pás são apresentados abaixo onde as letras entre parênteses referemse à figura anterior Máquinas de Fluidos Triângulos de velocidades na entrada e na saída para diferentes valores de 2 u2 W u2 W c b a 3 Obs A velocidade U2 representa sempre a distância entre os vértices da velocidade absoluta C2 e da relativa W2 Curvas teóricas A velocidade absoluta na entrada C1 está orientada de forma radial isso é não existe componente de C1 na direção circunferencial Cu10 Essa é a condição usual de projeto Apenas quando se utilizam pás guias ou indutores na entrada do impelidor podemos ter Cu10 pois nesse caso essas pás alteram a direção natural do escoamento Na forma usual Máquinas de Fluidos g U C H u t 2 2 1 Bomba centrífuga com pás guias na entrada 4 Obs Na verdade também quando a vazão de operação difere da vazão nominal da bomba Mais sobre indutores Um indutor é um impelidor axial com um baixo número de pás que é colocado imediatamente a montante do impelidor da bomba centrífuga e gira na mesma velocidade de rotação que o impelidor da bomba Nas bombas multiestágios é instalado a montante do primeiro estágio A tarefa do indutor é reduzir o NPSH exigido pela bomba o que é obtido aumentando a pressão estática a montante do impelidor O escoamento em vórtice prérotação na direção da rotação do impelidor a jusante do indutor desempenha um papel importante Máquinas de Fluidos 5 Indutor em uma bomba mostrado em vermelho Assistir o vídeo httpswwwyoutubecomwatchvxmoY9gn0AvI Curvas teóricas Considerando o triângulo de velocidades na descarga saída da bomba Máquinas de Fluidos 2 2 2 u u W U C Triângulo de velocidades na saída 2 2 2 2 cot m u C U C 2 2 2 2 2 cot u C m t C g U U H 2 2 2 2 2 tan g C U g U H m t 2 3 4 5 u2 W 2 2 cos 2 W Wu 2 2 2 W C sen m 2 2 2 2 2 cos tan u m W C sen g U C H u t 2 2 2 2 2 2 2 2 cos tan 1 cot m u C W sen 6 2 2 2 cot m u C W Curvas teóricas Como a vazão Q é igual ao produto da velocidade radial ou meridiana Cm2 pela área de descarga A2 normal à Cm2 Máquinas de Fluidos 2 2 1 1 A C A C Q m m 1 1 1 1 1 2 D b rb A Impelidor a radial e b misto 2 2 1 1 1 1 shroud hub r r b A 2 2 2 2 2 2 D b r b A 2 2 2 2 2 2 shroud hub r r b A Radial Misto 6 7 8 9 10 Hub cubo do impelidor Shroud capa do impelidor 7 onde b1 é a largura do impelidor 1b Curvas teóricas Substituindo a equação 6 em 5 Para uma dada máquina com geometria constante girando a uma rotação N constante então U2 A2 e 2 são fixos e assim Ht é uma função linear simples onde a única variável é a vazão Q onde Máquinas de Fluidos 2 2 2 2 2 tan gA Q U g U Ht K Q K Ht 2 1 g U K 2 2 1 2 2 2 2 g tan A U K 11 12 13 14 2 2 Cm A Q 2 2 2 2 2 tan g C U g U H m t 8 Curvas teóricas Nessas equações K1 é o ponto de interseção da reta no eixo y ou Ht e K2 é a inclinação da reta a qual determina se a linha Ht vs Q é positiva ou negativa nesse caso somente o valor de tan 2 poderá assumir valores positivos ou negativos ou nula isso é para e para Essa linha reta interceptará o eixo da altura Ht em U2 2g e o eixo da velocidade Cm2 ou vazão Q em U2 tan 2 como mostrado na figura abaixo Máquinas de Fluidos tan 2 0 tanb2 0 Características ideais de altura e vazão de acordo com a teoria de Euler 2 90 2 tan K Q K Ht 2 1 g U K 2 2 1 2 2 2 2 g tan A U K 2 K K2 2 0 K 9 Curvas teóricas Algumas configurações particulares podem dar origem a certas situações interessantes Para β2 90 Nesse caso a altura Ht é constante ou seja independente da vazão a linha é paralela ao eixo da vazão Do triângulo de velocidades temse que Considerando Cu10 a altura teórica total que o impelidor fornece ao líquido é Máquinas de Fluidos 2 2 2 2 cos U C Cu 18 const g U Ht 2 2 17 g U g U U g U C H u t 2 2 2 2 2 2 u2 C 10 Curvas teóricas Nessa condição a altura total é fornecida ao líquido sob forma de energia cinética Isso somente pode ser realizado pela ação de impulsão já que a velocidade absoluta C2 é maior que a velocidade tangencial U2 Máquinas de Fluidos 11 Curvas teóricas Para β2 90 K2 é positivo e a linha reta tem uma inclinação negativa Nessa categoria podese chegar a obter uma pá onde e portanto Como Isso significa que as pás não transmitem energia ao líquido isso é são inativas Máquinas de Fluidos a2 90 19 0 cos 2 2 2 2 2 g C U g U C H u t cosa2 0 a2 Ou seja 2 deve ser pequeno 12 Curvas teóricas Aplicando a lei dos cossenos nos triângulos de velocidades para as condições de entrada e saída similares aos mostrados abaixo resulta em Na entrada Na saída Nas Eq 20 e 21 os dois últimos termos das equações são Dessa forma essas equações podem ser reescritas como Isolando e Máquinas de Fluidos 20 21 22 23 1 1 1 2 1 2 1 12 cos 2 U C U C W 13 a1 1 Wu1 u1 C 1 U C1 1 W Cm1 a2 b2 Wu2 u2 C 2 U C2 2 W m2 C 2 2 2 2 2 2 2 22 cos 2 U C U C W Cu C cos 1 1 2 1 2 1 12 2 U Cu U C W 2 2 2 2 2 2 22 2 U Cu U C W 2 2 1 2 1 2 1 1 1 W U C U C u 2 2 2 2 2 2 2 2 2 W U C U C u 24 25 Curvas teóricas Lembrando que a altura teórica é dada por Introduzindo nessa equação as Eq 24 e 25 Organizando essa equação chegase na Equação de Euler modificada já apresentada na aula anterior Máquinas de Fluidos 26 27 14 g U C U C H u u t 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 W U C W U C g g U C U C H u u t g W W g U U g C C Ht 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 Curvas teóricas Para β2 90 a altura H aumenta com a vazão da bomba Nesse caso K2 é negativo e a linha reta tem uma inclinação positiva Nessa condição temse que Cu2U2 Ao ser atingido um ângulo β2 tal que Utilizando a Eq 27 e analisando apenas os dois últimos termos da direita correspondentes à altura de pressão Pelo triângulo de velocidades mostrado no canto superior direito quando W2 Wu2 e neste caso Máquinas de Fluidos 30 2 2 2U Cu g U g U U g U C H u t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 W g U H p 31 15 0 4 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 U U U g C U C U g U C U g U H c u u p 32 2 2 2 u u C U W Curvas teóricas Para o caso da conversão da energia cinética utilizando o mesmo triângulo de velocidades como referência C2 Cu2 e ainda Máquinas de Fluidos 33 g U g U g U g C H u c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 1 16 2 2 Cu 2U Curvas teóricas Pode ser notado dos triângulos de velocidade que os valores de C2 e Cu2 crescem à medida que β2 aumenta isso é Ht aumenta quando β2 aumenta Assim pareceria desejável projetarse máquinas com valores de β2 grandes β2 90 Ao mesmo tempo os diagramas mostram que com valores de β2 grandes são obtidas elevadas energias cinéticas de saída C2 Alta energia cinética na saída é raramente requerida pois nesse caso a recuperação de pressão estática por difusão acontece com baixa eficiência devido às perdas de energia por atrito do líquido no impelidor e no difusor da bomba Máquinas de Fluidos 17 Curvas teóricas Com as pás voltadas para trás o líquido é submetido a uma aceleração menos acentuada e as perdas por atrito também são menores apesar do maior trajeto que o líquido tem de percorrer Além disso o alargamento progressivo do canal entre as pás é mais suave o que favorece um melhor escoamento do líquido Nesse caso como a maior parte da energia é de pressão a recuperação da energia cinética em pressão acontece com menores perdas por atrito no difusor melhorando o rendimento Na prática e para bombas centrífugas recomendamse ângulos de descarga β2 entre 15 e 35 com faixa normal entre 20 a 25e ângulos de entrada β1 entre 15 a 50 Máquinas de Fluidos 18 Curvas teóricas Máquinas de Fluidos Variação da velocidade e da pressão ao longo da trajetória do líquido em um bomba centrífuga Pás do impelidor Voluta Difusor 19 Curvas teóricas Curvas teóricas de potência vs vazão Em uma máquina idealizada a potência de entrada potência absorvida ou potência de eixo ou BHP brake horse power é igual à potência fornecida ao líquido pelo impelidor potência útil As correspondentes curvas teóricas de potência vs vazão podem ser obtidas pela seguinte expressão Então substituindo Ht pela Eq 12 Resultando em Máquinas de Fluidos t W t t gQH mgH P 27 t H t K Q gQ K P 2 1 28 2 2 1 gK Q gK Q P 29 20 Curvas teóricas De acordo com o ângulo de descarga do fluido 2 há 3 situações 2 90 K20 e teremos uma parábola tangente à reta na origem 2 90 K20 e reta crescente 2 90 K2 0 e a curva também é uma parábola tangente à reta na origem e acima dela Esse formato não é utilizado em bombas reais As curvas de potência para essas três situações são mostradas na figura abaixo As máquinas com 2 90 apresentam um ponto cuja potência é máxima O motor elétrico normalmente que atende esse ponto atende qualquer outro ponto da curva Máquinas de Fluidos gK Q Pt 1 21 Rendimentos Toda altura energia produzida por uma turbomáquina é gerada pelo impelidor Todas as demais partes não contribuem em nada para a altura mas ao contrário produzem inevitáveis perdas hidráulicas mecânicas e vazamentos Como a equação de Euler é baseada em princípios ideais as expressões de rendimento são necessárias para relacionar o trabalho ideal ao comportamento real dos fluidos Duas expressões são normalmente utilizadas para esse fim Rendimento hidráulico ηh Rendimento global ηb ou rendimento da bomba onde o termo representa a potência útil da máquina e o termo Pabs representa a potência absorvida isso é a potência requerida pelo acionador motor Máquinas de Fluidos t h H H 30 31 abs abs b P QgH P mgH absorvida Potência útil Potência 22 Prérotação A prérotação é uma característica inerente às máquinas de fluido cujas causas ainda são motivo de estudos Em uma condição ideal o líquido deve se aproximar do impelidor de tal forma que os ângulos do líquido estejam em correta relação com os ângulos das pás Isso significa um fluxo axial de velocidade uniforme na entrada do impelidor Deve haver na entrada do impelidor um tubo reto com comprimento suficiente para amortecer ou acomodar qualquer irregularidade do escoamento devido às curvas válvulas ou outros acessórios existentes na tubulação Se isso ocorre o triângulo de velocidade na entrada será representado pela figura abaixo Máquinas de Fluidos 23 Prérotação Quando a aproximação ao olho do impelidor é tal que o líquido apresente prérotação antes de sofrer o efeito das pás do impelidor o termo subtrativo da Eq 15 mostrada anteriormente não é igual a zero isso é Cu1 0 Assim a curva Ht vs Q é obtida da seguinte maneira Definindo Essa equação é similar à Eq 5 e representa uma linha reta cortando o eixo da altura Ht no ponto sendo paralela ao eixo da vazão quando β1 90 e decrescente quando β1 90 linha EF vermelha da figura abaixo Nessa situação a altura de Euler é obtida através da subtração ou soma das ordenadas da linha EF linha vermelha daquelas da linha AC linha azul Máquinas de Fluidos g U C U C H u u 1 1 2 2 15 1 1 1 2 1 1 tan g C U g U H m g U 2 1 16 24 Prérotação Muitas vezes em condições diferentes daquelas de projeto o líquido adquire uma prérotação assumindo um trajeto de mínima resistência para entrar no impelidor com o mínimo de impacto Para vazões superiores às de projeto a prérotação será oposta ao sentido de rotação do impelidor ou negativa e o triângulo de velocidades será como o mostrado abaixo Nesse caso o termo subtrativo da Eq 15 muda de sinal e uma maior altura é obtida Máquinas de Fluidos 15 g U C U C H u u t 1 1 2 2 25 Prérotação Para vazões menores que às de projeto a prérotação será no mesmo sentido de rotação do impelidor ou positiva e o triângulo de velocidades será como o mostrado abaixo Nesse caso o termo subtrativo da Eq 15 faz com que a altura da máquina diminua Máquinas de Fluidos g U C U C H u u t 1 1 2 2 15 26 Prérotação A prérotação pode ser causada devido aos fluxos reversos no impelidor assimetrias nos canais de descarga ou pelas condições do próprio impelidor mas não pelo movimento do impelidor pois se assim fosse a prérotação seria sempre positiva A utilização de pás guias ou de indutores em bombas centrífugas poderia ser uma opção para o controle da prérotação mas na maioria das vezes não é uma opção economicamente viável ao contrário do que acontece em turbinas Máquinas de Fluidos Indutor em uma bomba centrífuga 27 Bibliografia Stepanoff AJ 1993 Centrifugal and axial flow pumps Theory design and application John Wiley Máquinas de Fluidos 28