Máquinas de Fluidos: Modificação da Teoria de Euler e Análise da Transferência de Energia

Máquinas de Fluidos Modificação da Teoria de Euler Introdução A equação de Euler fornece uma descrição simples sem perdas do desempenho do impelidor Na realidade devido às perdas mecânicas e hidráulicas no impelidor e na carcaça da bomba o seu desempenho é menor que o estimado pela Equação de Euler As perdas conduzem a uma menor altura que a teórica e a uma maior potência absorvida pelo impelidor O resultado é uma redução do seu rendimento Na análise da transferência de energia as velocidades características eram representadas como vetores únicos cada um sendo considerado como representativo do fluido sobre uma dada seção de passagem Em uma máquina real as velocidades raramente são uniformes sobre uma dada área Esse aspecto é particularmente importante dentro do canal de uma máquina centrífuga onde mesmo para escoamentos considerados ideais no sentido de ausência de atrito turbulência e separação o perfil não poderá ser considerado totalmente uniforme Máquinas de Fluidos Modificação da transferência de energia Máquinas de Fluidos Distribuição da pressão Em primeiro lugar devese considerar que a transferência de energia do impelidor para o fluido deve implicar em uma diferença de pressão entre as faces das pás ou seja com alta pressão no lado da face de ataque e baixa pressão no lado da face de fuga tal como representado na Fig1 Fig 1 Lados de alta e baixa pressão nas faces do impelidor Modificação da transferência de energia Máquinas de Fluidos Distribuição da pressão Devido à baixa pressão na face de fuga deverá haver uma velocidade relativa maior do fluido nessa face O contrário ocorrerá na outra face O resultado disso é que não há um perfil de velocidade uniforme na direção radial Somente na face de pressão o fluido deixa a pá tangencialmente adquirindo uma componente circunferencial na face da baixa pressão Esse comportamento é mostrado na Fig 2 Fig 2 Velocidade relativa na saída do impelidor em função da diferença de pressão Modificação da transferência de energia Máquinas de Fluidos Distribuição da pressão Mesmo comportamento que na Fig 2 mostrado agora na Fig 2a Fig 2a Distribuição dos vetores de velocidade ao longo do impelidor cinco posições em função da diferença de pressão das pás Modificação da transferência de energia Máquinas de Fluidos Distribuição da pressão O desvio das trajetórias relativas provoca uma diminuição da seção útil de escoamento do fluido próximo das bordas de saída das pás havendo portanto aumento no valor da velocidade relativa na saída W2i que passa a ser W2r conforme representação na Fig 3 Fig 3 Efeito da mudança da trajetória da velocidade relativa no triângulo de velocidades na saída Modificação da transferência de energia Máquinas de Fluidos Distribuição da pressão Fig 3a Bloqueio da passagem no impelidor devido à operação em baixas vazões Modificação da transferência de energia Máquinas de Fluidos Circulação relativa A distribuição da velocidade relativa no canal do rotor é também afetada pela recirculação relativa do fluido devido ao efeito de inércia das partículas desse fluido Estas partículas retêm sua orientação no espaço conforme a representação da Fig 4 Fig 4 Circulação relativa dentro do canal do impelidor Modificação da transferência de energia Máquinas de Fluidos Circulação relativa A superposição desses efeito aumenta a velocidade na parte de trás da pá menor pressão e reduz a velocidade na face de ataque O resultado é uma componente na direção tangencial oposta a Cu2 na descarga e um componente adicional na direção Cu1 na entrada conforme a Fig 5 Fig 5Triângulos de velocidades na entrada e na saída mostrando o efeito da circulação relativa Modificação da transferência de energia Máquinas de Fluidos Circulação relativa Outro efeito é o da velocidade não uniforme na direção radial Pode ser mostrado que a altura produzida com o perfil de velocidade não uniforme é menor do que a produzida por um perfil reto Stepanoff 1993 demonstra essa característica comparando Ht para um perfil reto e para um perfil linear trapezoidal Evidentemente a circulação relativa é menor em impelidores com elevado número de pás e em impelidores com pás mais estreitas 2 2 2 2 2 2 2 2 12 1 cot m m m m t C C C g C U g U H 1 Modificação da transferência de energia Máquinas de Fluidos Fig 6 Distribuições da velocidade relativa para diferentes impelidores ms Modificação da transferência de energia Máquinas de Fluidos Ângulo de descarga real Da análise da Fig 4 mostrada novamente podese observar que a alteração da trajetória da velocidade relativa apresenta o efeito da diminuição do ângulo de descarga do fluido desde o valor de 2 até 2 Por sua vez na entrada o ângulo 1 aumentará para 1 permitindo uma prérotação maior Fig 7Triângulos de velocidades na entrada e na saída mostrando o efeito da circulação relativa Modificação da transferência de energia Máquinas de Fluidos Parte não ativa da pá A diferença de pressão entre as duas faces da pá do impelidor desaparece na ponta da pá Isso significa que nem toda extensão da pá é ativa Na Fig 8 está representada a distribuição de pressão medida entre as pás de um impelidor de bomba centrífuga Essas medidas mostram que a diferença de pressão entre as duas faces do impelidor apresenta um máximo perto da sucção e desaparece perto da borda de saída Essa distribuição não representa perdas adicionais simplesmente significa que cada pá pode transmitir somente uma parte da energia que é obviamente menor do que aquela determinada pela Equação de Euler Fig 8 Distribuição de pressões entre os canais de um impelidor de bomba centrífuga Rendimentos Máquinas de Fluidos Toda altura de elevação em uma turbomáquina é gerada pelo impelidor As outras partes da máquina não contribuem em nada para a altura mas ao contrário geram inevitáveis perdas hidráulicas mecânicas e por vazamentos Na Fig 9 são mostrados os componentes de uma bomba que causam perdas mecânicas e hidráulicas Rendimentos Máquinas de Fluidos Perdas mecânicas Incluem as perdas nos mancais atritos nas gaxetas selos etc além do atrito do fluido com o disco do impelidor Rendimentos Máquinas de Fluidos Perdas volumétricas ou por vazamentos Causadas pela redução da carga útil da bomba Dividemse em 1 Perdas volumétricas exteriores Fugas ou vazamentos através da folga entre o eixo e caixa da bomba Pode ser reduzida ou eliminada através de vedação adequada selos mecânicos por exemplo 2 Perdas volumétricas interiores Devido à recirculação de parte do líquido que sai do impelidor para sua entrada novamente devido à diferença entre as pressões de sucção e descarga Esse líquido recirculante atrita contra a caixa e a face externa da coroa do impelidor e pelos labirintos consumindo potência fornecida pelo impelidor conforme Fig 10 Figura 10 Recirculação do líquido através de um impelidor fechado e de um impelidor aberto Rendimentos Máquinas de Fluidos Perdas volumétricas ou por vazamentos Figura 10a Perdas por vazamentos internos e labirintos dos anéis de vedação Rendimentos Máquinas de Fluidos Perdas volumétricas ou por vazamentos Figura 10b Efeito da folga no anel de desgaste no desempenho da bomba Critério de manutenção dos anéis de desgaste Considerase que o momento de troca dos anéis de desgaste seja quando a folga for superior a 110 do diâmetro do anel Exemplo Considerando um anel com diâmetro de 100 mm 394 o valor correspondente a 110 em milímetros será de aproximadamente 04 mm Rendimentos Máquinas de Fluidos Perdas hidráulicas Ocorrem em toda a trajetória do escoamento bocal de sucção canal do impelidor na voluta ou difusor e bocal de descarga São causadas por 1 Atrito 2 Turbulência e descolamento do escoamento da superfície da pá causados por mudanças de direção bruscas São chamadas de perdas por choque Através de simulação ou análise experimental cada vez mais os fenômenos envolvidos no escoamento em uma turbomáquina são compreendidos e auxiliam no projeto de novos equipamentos O que será apresentado aqui é uma avaliação simplificada das perdas internas de uma turbomáquina através de uma análise empíricoexperimental Rendimentos Máquinas de Fluidos Perdas por atrito Em todos os canais desde o bocal de sucção até o bocal de descarga não existe um único trecho onde a direção do escoamento a área e a forma do canal sejam constantes Além disso parte do canal dispõe de movimento circular perturbando a distribuição de velocidades e complicando ainda mais o estudo das perdas hidráulicas Nessas condições é difícil calcular as perdas por atrito na turbomáquina com um grau de precisão suficiente para uma generalização Da mecânica dos fluidos foi visto que a perda de pressão por atrito em uma tubulação pode ser dada pela equação de Darcy onde f é o fator de atrito função do Re e da Deq L é o comprimento Deq é o diâmetro equivalente e V a velocidade na seção do raio hidráulico 2 m 2 1 2 2 n i eq f g V g V D L f h 2 Perdas singulares curvas cotovelos válvulas etc Rendimentos Máquinas de Fluidos Para turbomáquinas a determinação exata de L Deq são tarefas difíceis Por essa razão se combinam todas as perdas por atrito em uma única equação simplificada na forma Não está incluído na equação anterior o número de pás z porque elas são paralelas bastando calcular em um só conduto Assim cobre todos os fatores desconhecidos como também os erros causados pela impossibilidade de encontrar uma expressão melhor para os diversos itens que contribuem com a perda de pressão 2 2 2 ou k Q h g k V h f f f f 3 fk Rendimentos Máquinas de Fluidos Da mesma forma podese determinar as perdas por difusão no canal do impelidor e bocal de descarga através de uma equação simplificada Tanto quanto são constantes para uma dada bomba Essas duas expressões podem ser combinadas como A forma dessa equação é uma parábola com a origem coincidente com a origem dos eixos Assim sua representação é 2 2 2 ou k Q h g k V h d d d d 4 fk dk 2 kf Q h h h fd d f fd 5 Figura 11 Representação das perdas por atrito em uma bomba centrífuga Rendimentos Máquinas de Fluidos As perdas no difusor são reduzidas para ângulos entre 4 e 8 Figura 11a Representação das perdas no escoamento em um canal divergente Rendimentos Máquinas de Fluidos Perdas por turbulência ou por choques ou por incidência O escoamento do fluido em uma turbomáquina tende a evitar o choque adaptandose à diferença de ângulos compatíveis adquirindo o que se chama de prérotação na entrada do impelidor Estabelecese um gradiente de velocidades na entrada e na saída do impelidor amortecendo o choque como mostrado na Fig 12 Assim quando o líquido se aproxima do impelidor com um elevado ângulo de ataque as perdas são ocasionadas pela brusca expansão ou difusão após a separação Figura 12 Representação das perdas por choques Rendimentos Máquinas de Fluidos Assumindo que o projeto do impelidor é tal que sua capacidade vazão é igual a QQs a direção de escoamento concorda com o ângulo das pás tanto na entrada quando na saída vazão sem choque ou sem turbulência não ocorrendo perdas adicionais nesses pontos Assim elas só irão ocorrer quando Assim essas perdas podem ser representadas por que representa a equação de uma parábola com seu ponto de mínimo em Qs como mostrado na Fig 13 6 s s Q Q Q Q ou 2 s s s Q k Q h Figura 13 Perdas por choques em função da vazão Rendimentos Máquinas de Fluidos Subtraindo as perdas analisadas da altura ideal de uma máquina onde Hi é o valor ideal calculado com base na direção real das velocidades entrada e saída e os ângulos da pá 1 e 2 A curva real fica então 7 Figura 14 Redução da altura de Euler em função das perdas de uma bomba centrífuga 2 2 s s fd i Q k Q k Q H H Rendimentos Máquinas de Fluidos Como algumas dessas perdas apresentadas impactam também na potência hidráulica fornecida ao líquido pelo impelidor sua representação final é dada conforme a Fig 15 Figura 15 Aumento da potência consumida pela bomba em função das perdas P2 na figura representa a potência de eixo break horse power fornecida pelo acionador da bomba enquanto que Phyd é a potência fornecida pelo impelidor ao fluido Rendimentos Máquinas de Fluidos A figura anterior apresenta a relação real entre H e Q e é chamada de curva de desempenho ou curva característica Na prática essa curva é obtida experimentalmente através de medidas de pressões entre a entrada e as saída da máquina para diversas vazões Ao contrário das bombas de deslocamento positivo as bombas centrífugas operando em rotação constante podem fornecer qualquer vazão ou capacidade desde zero até um valor máximo dependente do tamanho da bomba condições de projeto e de sucção A altura total desenvolvida pela bomba a potência consumida pelo eixo e o seu rendimento são funções da vazão Q Uma curva característica é apresentada na Fig 16 Curvas características de bombas centrífugas Máquinas de Fluidos Figura 16 Curva características de uma bomba centrífuga Curvas características de bombas centrífugas Máquinas de Fluidos Figura 17 Curva características de uma bomba centrífuga para diferentes diâmetros de impelidor Na prática estas curvas também mostram as características da máquina para outros diâmetros de impelidor que será analisado posteriormente Curvas características de bombas centrífugas Máquinas de Fluidos Figura 18 Curvas características de uma bomba centrífuga em função da rotação específica O formato do impelidor radial axial ou misto a largura e o ângulo entrada e saída do impelidor afetam a forma das curvas características e que está relacionada ao número adimensional rotação específica conforme visto anteriormente 34 H Q N Ns onde N é a rotação da bomba em rpm Q é a vazão em m3s e H é a altura em m Analisando as dimensões da equação anterior verificase que ela não é adimensional Essa equação utilizando essas unidades e também em unidades americanas galão gpm e ft tornaramse usuais e por isso são aqui utilizadas Obs no caso de bombas de múltiplos estágios a altura por estágio deverá ser utilizada na Eq 8 Da mesma forma para bombas com impelidor de dupla entrada utilizase a vazão volumétrica por olho de impelidor 8 Curvas características de bombas centrífugas Máquinas de Fluidos Figura 19 Curvas características de uma bomba centrífuga em função da rotação específica Qual é a importância da forma das curvas de potência Como pode ser observado na figura nas bombas de baixa rotação específica radiais e mistas lentas a potência absorvida é mínima para a condição de vazão zero Para as bombas mistas rápidas e axiais para a mesma condição a potência é máxima Assim as bombas centrífugas lentas devem ter partida na condição de vazão zero registro de descarga fechado Já para as bombas rápidas mistas ou axiais o registro de descarga deve estar aberto Nessas condições a potência de partida sempre será a mínima Curvas características de bombas centrífugas Máquinas de Fluidos Figura 20 Curva inclinada rising As curvas H vs Q apresentadas na Fig 19 possuem diferentes denominações Figura 21 curva ascendentedescendente drooping Figura 22 Curva altamente descendente steep A altura desenvolvida na vazão zero shutoff é menor que a desenvolvida para outras vazões Existe uma grande diferença entre a altura na vazão zero e a desenvolvida na vazão de projeto Rotores estreitos β2 pequenos Bombas com poucas pás Figura 23 Curva plana flat Pouca variação da altura em função da vazão Rotores largos β2 grandes Bombas com muitas pás Determinação das curvas características Máquinas de Fluidos O desempenho de uma bomba é descrito pelas curvas de altura e potência absorvida em função da vazão A partir das medidas uma curva de rendimento pode ser calculada Esses parâmetros são medidos em uma bancada de testes que imita as características de um sistema onde a bomba vai ser instalada Variando a resistência ao escoamento um número de valores correspondentes à vazão diferença de pressão potência absorvida e velocidade podem ser medidos para criar a curva de desempenho como mostrado na Fig 24 Figura 24 Conjunto de pontos experimentais para a determinação da curva de desempenho de uma bomba centrífuga Determinação das curvas características Máquinas de Fluidos Geralmente são determinados de 10 a 15 pontos experimentais desde a condição de vazão zero shutoff até a vazão máxima e depois de maneira inversa da vazão máxima até o shutoff A medição da vazão é feita geralmente utilizando um medidor de vazão do tipo eletromagnético O esquema básico de uma bancada é mostrado na Fig 25 Para obter boas medições o perfil de velocidade deve ser uniforme e nãorotacional causado pela bomba curvas e válvulas Assim as tomadas de pressão deverão seguir as recomendações mínimas mostradas nessa figura Figura 25 Esquema básico de uma bancada de testes Sistema fechado Sistema aberto American Stadard for Centrifugal Pumps Hydraulic Institute Centrifugal pump tests ABNT MB 1032 Bombas hidráulicas de fluxo classe C ensaios de desempenho e de cavitação Determinação das curvas características Máquinas de Fluidos As tomadas de pressão são projetadas de forma que a velocidade na tubulação afete o menos possível a leitura da pressão estática Para balancear possíveis distorções do perfil de velocidade cada tomada de pressão possui 4 furos simétricos ao tubo conectadas a um único transdutor ou transmissor de pressão representando uma pressão média nesse ponto Figura 26 Anel piezométrico para medição da pressão e detalhe do orifício para conexão ao anel e tubo Determinação das curvas características Máquinas de Fluidos Em um teste o que é medido é a diferença de pressão estática entre a entrada e a saída da bomba Pest A altura é então calculada de acordo com a Eq 9 A diferença de pressão total é calculada com base às três contribuições onde Ptot é a diferença de pressão total através da bomba em Pa Pest é a diferença de pressão estática através da bomba em Pa dada pela leitura da diferença entre as pressões dos dois transdutores de pressão Pgeo é a diferença de pressão devido a diferença entre as alturas dos dois transdutores de pressão em Pa A pressão estática é calculada por 9 g P H total 10 11 est e est s est P P P geo din est total P P P P Determinação das curvas características Máquinas de Fluidos A diferença de pressão dinâmica é determinada pela Eq 12 onde V representa a velocidade média do escoamento Na prática essa diferença está associada à diferença entre as velocidades de sucção e descarga que dependem do diâmetro da tubulação na entrada e na saída da bomba Conhecendo a vazão e os diâmetros então onde D é o diâmetro interno da tubulação em m os subíndices representam e entrada e s saída A diferença de pressão pela altura é calculada por onde z é a diferença da posição vertical entre os pontos de conexão dos dois transdutores de pressão entrada e saída em m Se um transdutor de pressão diferencial é utilizado z 0 12 13 z g Pgeo 14 2 2 2 1 2 1 d s din V V P em Pa 1 1 4 2 1 4 4 2 s d din D D Q P Determinação das curvas características Máquinas de Fluidos Os fabricantes geralmente fornecem as curvas características para um conjunto família de bombas para uma dada rotação fixa e diversos diâmetros de impelidores como mostrado na Fig 27 Figura 27 Conjunto de curvas características de famílias de bombas Determinação das curvas características Máquinas de Fluidos As curvas características de cada modelo de bomba para uma dada rotação fixa e diversos diâmetros de impelidores são mostradas na Fig 28 Figura 28 Conjunto de curvas características de uma bomba centrífuga mostrando as linhas de isorendimento Rendimentos máximos de uma bomba Máquinas de Fluidos A Fig 29 apresenta curvas de rendimentos esperados em bombas centrífugas em função da rotação específica e da capacidade vazão A curva superior pontilhada mostra o máximo rendimento teórico possível que serve de referência para o projeto de bombas e as curvas de rendimentos associados às bombas produzidas atualmente Pode ser notado também que quanto maior for a capacidade da bomba para o BEP best efficiency point maior será seu rendimento Para uma mesma capacidade o rendimento aumenta em função do aumento da rotação específica A figura também mostra que bombas de baixa capacidade sempre apresentam baixos rendimentos Figura 29 Rendimento esperado das bombas centrífugas em função da rotação específica e da capacidade vazão A rotação específica é calculada utilizando a Eq 8 No eixo superior as unidades utilizadas são N é a rotação da bomba em rpm Q é a vazão em m3s e H é a altura em m No eixo inferior as unidades utilizadas são N é a rotação da bomba em rpm Q é a vazão em gpm galões por minuto e H é a altura em ft Bibliografia Stepanoff AJ 1993 Centrifugal and axial flow pumps Theory design and application John Wiley Máquinas de Fluidos