Condução de Calor em Regime Transiente: Método Espacial

Condução de calor em regime transiente 2 MÉTODO ESPACIAL Processos com gradiente de temperatura no sólido O método da capacitância global MCG gradiente de temperatura no interior do sólido pode ser considerado desprezível dTdx 0 Método Espacial gradientes de temperatura no interior do meio NÃO SÃO DESPREZÍVEIS Bi 01 Txt 3 Método Espacial ME Os problemas de condução de calor transiente são descritos pela equação do calor unidimensional sem geração e coordenadas retangulares por A solução dessa equação fornece a variação da temperatura com o tempo e com a coordenada espacial ou seja Txt Para resolver esta equação determinar a distribuição de temperatura Txt é necessário especificar 1 condição inicial e 2 condições de contorno Condição inicial no tempo t0 todo o volume do sólido encontrase na mesma temperatura Condições de contorno 2 condição na superfície para t0 tx t T x T 1 2 2 iT 0x T 1 simetria no plano central da parede 0 x T 0 x T h T L t x T k L x L x L 4 Assim além de dependente da posição x e do tempo t T também depende de uma série de parâmetros físicos ou O problema pode ser resolvido analiticamente ou numericamente Adimensionalização das equações para diminuir a dependência da temperatura e arranjar as variáveis em grupos 1Temperatura adimensional 𝜃 θ deve estar no intervalo 0θ1 T T θ T T θ i i T T T T θ θ θ i i Método Espacial ME TTx t Ti T L k h 5 2 Coordenada espacial adimensional ou posição relativa 𝑥 onde L é a semi espessura da parede plana x deve estar no intervalo 0x1 do centro à superfície 3 Tempo adimensional 𝑡 𝑜𝑢 𝐹𝑜 onde t é equivalente ao adimensional número de Fourier 4 Número de Biot Bi Equação do calor x x L Fo L αt t 2 Fo θ x θ 2 2 tx t T x T 1 2 2 𝐵𝑖 ℎ𝐿𝑐𝑡 𝑘 6 Condição inicial e de contorno onde Bi é o número de Biot Na forma adimensional a dependência funcional pode ser representada como 1 θ x 0 0 x θ t1 θ Bi x θ f x FoBi θ iT 0x T 0 x T 0 x T h T L t x T k x L 7 Método espacial Para uma dada geometria a distribuição transiente de temperatura é uma função universal de x Fo e Bi Isso é a solução não depende de valores particulares de Ti T L k α ou h Soluções analíticas exatas para problemas de condução transiente foram obtidas para muitas geometrias e condições de contorno simples A resolução pode envolver várias técnicas analíticas e numéricas incluindo a transformada de Laplace e outras método de separação de variáveis método das diferenças finitas e dos elementos finitos f x FoBi θ Fo θ x θ 2 2 8 Soluções analíticas aproximadas Parede plana Cilindro longo e Esfera Caso das paredes planas com espessura 2L e LctL A solução aproximada é considerar somente o primeiro termo da Válida para Fo 02 Temperatura ou onde representa a temperatura adimensional no plano central x 0 Fo cosξ x C exp ξ θ 1 2 1 1 θ cosξ x θ 1 o T iT T To Fo C exp ξ θ 2 1 1 o qo Método de separação de variáveis consiste em expandir a função arbitrária da série de Fourier Fo θ x θ 2 2 1 n 1 12 n Fo cos ξ x C exp ξ θ 2L 9 Os coeficientes C1 e ξ1 em radianos são calculados por Os valores de C1 e ξ1 são tabelados para cada geometria em função de Bi Por exemplo 1 1 1 1 sen 2ξ ξ 2 4senξ C Bi ξ tanξ 1 1 10 Quantidade total de energia que deixou ou entrou a parede até um dado instante de tempo t é obtida através da aplicação de um balanço de energia de uma condição inicial t0 até qualquer tempo t0 Ou onde a integração é realizada no volume da parede Esse resultado pode ser adimensionalizado pela introdução da grandeza Qo é a energia interna inicial da parede em relação à temperatura do fluido Essa equação também representa a máxima transferência de energia que poderia ocorrer se o processo se estendesse até t acum sai ent E E E E0 E t Q T dV tx T ρc Q i p T ρc V T Q i p o 11 Supondo propriedades constantes a razão entre a quantidade total de energia transferida a partir da parede ao longo do intervalo de tempo t e a transferência máxima possível é dada por Integrando E os valores de C1 e ξ1 podem ser obtidos diretamente na tabela θ dv 1 V 1 V dV T T T tx T Q Q 0 i i o 0 1 1 o θ ξ senξ 1 Q Q 12 Para cilindro longo infinito utilizase uma idealização que permite utilizar a hipótese de condução unidimensional na direção radial Razoável para Lre10 Temperatura C1 e 1 dependem de Bi Para testar o método Bi01 ME recalcular Bi usando Lctre e Posição relativa centro r0 r0 superfície rre r1 Jo é a função de Bessel tabelada Fo J ξ r C exp ξ θ 1 o 2 1 1 r re r Soluções analíticas aproximadas Parede plana Cilindro longo e Esfera 𝐵𝑖 ℎ𝑟𝑒 𝑘 𝐵𝑖 ℎ𝑟𝑒2 𝑘 𝐹𝑜 𝛼𝑡 𝑟𝑒2 13 Centro do cilindro Jo101 Quantidade de energia transferida no processo e J1 é a função de Bessel tabelada J ξ ξ 2θ 1 Q Q 1 1 1 o o T iT T T Fo C exp ξ θ o 2 1 1 o θ Jo ξ r θ 1 o 14 Funções de Bessel de 1ª ordem cilindro 15 Temperatura Similarmente para uma esfera de raio re C1 e 1 dependem de Bi Para testar o método Bi01 ME recalcular Bi usando Lctre e Posição relativa centro r0 r0 superfície rre r1 ξ r sen r ξ 1 Fo C exp ξ θ 1 1 2 1 1 Soluções analíticas aproximadas Parede plana Cilindro longo e Esfera r re r 𝐵𝑖 ℎ𝑟𝑒 𝑘 𝐵𝑖 ℎ𝑟𝑒3 𝑘 𝐹𝑜 𝛼𝑡 𝑟𝑒2 16 No centro Então Quantidade de energia transferida no processo ξ r sen r ξ 1 θ θ 1 1 o T Ti T To Fo C exp ξ θ 2 1 1 o ξ cosξ ξ sen ξ 3θ 1 Q Q 1 1 1 3 1 o o Coefficients used in the oneterm approximation to the series solutions for transient onedimensional conduction Coefficients used in the oneterm approximation to the series solutions for transient onedimensional conduction Bessel Functions of the First Kind Exemplo1 Uma placa de aço carbono AISI 1010 de 100 mm de espessura está inicialmente a uma temperatura uniforme de 300 ºC e é aquecida em um forno a 700ºC h500 Wm²K a Quanto tempo leva para que uma temperatura mínima de 550 ºC seja atingida b Neste tempo qual a temperatura máxima c Qual a energia transferida para a placa neste período de tempo Exemplo2 Um cilindro longo com 30 mm de diâmetro inicialmente a uma temperatura uniforme de 730ºC é subitamente resfriado pela imersão em um grande banho de óleo que se encontra a uma temperatura constante de 77 ºC h 50 Wm²K Considerar as propriedades do cilindro k17 WmK cp1600 JkgK e 400 kgm³ a Calcule o tempo para que a temperatura na superfície atinja 230ºC b Neste tempo quais as temperaturas em no centro do cilindro e r75 mm c Qual o calor total transferido no processo Considerar um comprimento do cilindro de 1 m