Lista 1 - Cálculo 3 2022-1

Respostas: 1. A única EDO não-separável é a do item (c). As soluções podem ser obtidas por meio do website www.wolframalpha.com. Basta digitar a EDO e, se for o caso, sua condição inicial. Exemplos: Para saber a resposta da questão 1 (a) digite equation solving dx/dt = 6-x, x(0)=1. Para obter a solução de x = sen t + e^-4t digite equation solving dx/dt = sin[t] + exp[-4t]. 2. Estude o sinal do lado direito da EDO e conclua que ele inviabiliza que a EDO tenha solução. 3. Qual é o domínio da função ln t ? 4. Resulta ser c1 = -1 e c2 = 1. Cada restrição está associada a uma constante. 5. Use o WolframAlpha. Note que a resposta do item (b) pode ser dada independentemente do item (a). (a) Após 5 anos, o volume despejado é de ≈ 136,6 m³. (b) Qual ferramenta do cálculo diferencial permite investigar o comportamento de uma função para grandes valores de seu argumento? A taxa de poluição se estabiliza em 40 m³/ano. Bons estudos! Lista 1 – EB301 (Cálculo III) – Turma A Prof. Dr. Diego Samuel Rodrigues FT-UNICAMP Eu ouço, eu esqueço. Eu vejo, eu lembro. Eu faço, eu aprendo. 0. Estude técnicas básicas de primitivação: substituição, por partes, frações parciais, etc. Aliás, um erro comum é escrever ∫ 1/x dx = ln x (errado!). O correto é: ∫ 1/x dx = ln|x| + C. Pela definição de primitiva, verifique que o módulo de fato deve estar presente na solução da integral indefinida acima. E como se calcula ∫ ln x dx ? 1. Classificar uma EDO é crucial para saber se um dado método é ou não aplicável para resolvê-la. Classifique as EDOs abaixo quanto a ordem, linearidade, homogeneidade e autônoma ou não-autônoma. Aproveitando, resolva os itens cujas EDOs forem separáveis. Lembre-se de diferenciar entre resolver um PVI e resolver somente uma EDO. (a) \( \begin{cases} \dot{x} = 6 - x\\ x(0) = 1 \end{cases} \) (b) \( 7t² + \, \frac{d}{dt} \left( \cos²(3t) \right) = \frac{dx}{dt} \) (c) x˙ = t² + x² (d) (1 + t)x˙ - x = 0 (e) \( \begin{cases} \dot{x} = (x - 2t)² - 7\\ x(0) = 0 \end{cases} \) Tome u = x - 2t e veja que assim a EDO anterior se torna separável. Expresse a resposta final como em termos das variáveis originais: x = x(t) e t. 2. Existe alguma função real de uma variável real x = x(t) que seja solução da EDO a seguir? 2x˙⁴ + x² = -1 Por quê? 3. Mostre que x = ln t é solução de t˙x + x˙ = 0 no intervalo (0, ∞), mas não no intervalo (-∞, ∞). 4. Determine c1 e c2 tais que x(t) = c1 e²t + c2e t + 2 sen t satisfaça a condição inicial \(\begin{cases} x(0) = 0\\ \dot{x}(0) = 1 \end{cases} \) Por que ela consiste de duas restrições? 5. Poluição de reservatórios de água. A taxa segundo a qual determinados poluentes são introduzidos em um ecossistema depende, dentre outros fatores, do tempo, do nível de produção industrial dos estabelecimentos próximos, etc. Suponha uma indústria despejando seus dejetos industriais em uma lagoa durante todo o ano. Denotemos por V o volume em m³ de poluentes acumulados na lagoa após t anos. A taxa à qual a lagoa está sendo contaminada se expressa por dV/dt e o volume de poluentes que se acumulou na lagoa durante o intervalo [t1, t2] é dado por1 \( \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{dV}{dt} \right) dt. \) Considere a situação específica a taxa de variação do volume de poluentes é dada por \( \frac{dV}{dt} = \frac{200t}{5t + 4} \) expressa em m³/ano. Se t = 0 corresponde ao instante quando foram iniciadas as atividades industriais, determine: (a) Após 5 anos, qual o volume de poluentes despejados na lagoa? (b) Com o passar dos anos, a taxa de poluição tende a estabilizar-se? Se sim, para qual valor? 1 Differentiating is like squeezing toothpaste out of the tube. Integrating is like putting the toothpaste back into the tube. Math Professor Quotes