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Engenharia Ambiental ·
Cálculo 3
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Lista 3 - EB301 (Cálculo III) – Turma A Prof. Dr. Diego Samuel Rodrigues FT-UNICAMP Eu ouço, eu esqueço. Eu vejo, eu lembro. Eu faço, eu aprendo. Exemplo complementar: no método dos coeficientes a determinar, se g(x) = x e3x cos(4x) um “bom chute” é dado considerando-se cada “parte” de g(x) e então seria yp(x) = (Ax+B)(ke3x)(Csen(4x)+D cos(4x)). Acontece que a constante k pode ser fatorada: yp(x) = k[(Ax+B)e3x](Csen(4x)+D cos(4x)). Assim, podemos redefinir as constantes e obter yp(x) = (ax+b)(e3x)(sen(4x)) +(γx+δ)(e3x)(cos(4x)), em que α ≠ kAC, β ≠ kBC, γ ≠ kAD e δ ≠ kBD. Notar que assim passamos a ter 4 constantes (e não mais 5 como anteriormente!). 1. Resolva a EDO \[\frac{dy}{dx} = 3y^2 −6xy + 3x^2 + 1.\] Dica: fator e a EDO e ache uma substituição conveniente. Resposta: y = \[\frac{-1}{3x+c_1} \] ou y = \[\frac{1}{-3x+c_2} + x.\] 2. Resolva a EDO \[\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{y+x}\] Resposta: ln(y^2+x^2) + 2 arctg(\[\frac{y}{x}\]) = c. (Em uma das integrais que surgirão será necessário fazer uma substituição trigonométrica). 3. Para pensar: como resolver a EDO y''' + y'' = 0 ? 4. Resolva a EDO x^2 y'' − 3xy' + 3y = 2x^4 e^x pelo método da variação dos parâmetros, em que as soluções de sua homogênea associada são y1 = x e y2 = x^3 (verifique!). Note que essa EDO não possui coeficientes constantes. 5. Determine a forma da solução particular: (a) y'' −5y' + 6y = 4 (b) y'' −5y' + 6y = e2x (c) y'' − y = e−x + ex (d) y'' − y = − 2 cos (3x) sen(3x) (e) y'' − y = cos^2(2x) − sen^2(2x) (f) y'' − y = − 4 tan (3x) cos (3x) (g) y'' − y = + 2 e^x cos (x) sen(−x) (h) y'' + 9y = x^2 − cos (3x) + 3 sen(4x) (i) y'' − 2y' + y = x^3 e^5x cos (3x) + 7 (j) 2y'' − 4y' +2y = 4^4{e^{sen(3x)}+x^2} (k) y'' − 8y' + 25y = 5x^3 e^−x + 7e^−x (l) y'' − 9y'+14y = 3x^2 − 5sen(2x) + 7xe^{6x} 6. Resolva as EDOs pelo método de redução de ordem, utilizando a solução x1(t) dada (em cada caso, verifique que x1 é solução). (a) t^3 x¨ − 3t^2 x˙ + 4tx = 0, x1(t) = t^2 (b) 4t^2 x¨ + x = 0, x1(t) = t^(√ ln t) (c) t x¨ + x˙ = 0, x1(t) = ln t (d) x¨ − x = 0, x1(t) = cosh t 7. Resolva a EDO de terceira ordem y''' + y'' = e^x cos x utilizando o Ansatz de Euler e a ideia de multiplicar a solução da homogênea por x se por ventura a equação característica apresentar raízes iguais. Para obter as resoluções, você pode utilizar o site www.mathd.com/dif Mãos à obra e bons estudos!
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