Trabalho Academico - Analise de Sistemas Massa-Mola-Amortecedor com 3 Graus de Liberdade

Trabalho em Grupo Máximo 3 pessoas e mínimo 2 pessoas Dados do Sistema Sistema de 3 graus de liberdade conforme configuração mostrada na Figura 1 Os dados de entrada são m1 2kg m2 5kg m3 1kg k1 4000Nm k2 8000Nm k3 6000Nm c1 100Nsm c2 200Nsm c3 150Nsm F 50eiΩtN Figura1 Sistema de 3 Graus de Liberdade Analisado Itens do Trabalho Equacionamento do movimento de um sistema massamolaamortecedor de três graus de liberdade tanto por Newton como por Lagrange Determinação dos parâmetros modais do sistema frequências naturais fatores de amortecimento e modos de vibrar Resposta em frequência do sistema Resposta temporal do sistema para a vibração livre com condições iniciais x10 10mm x20 x30 5mm 𝑥10 𝑥30 0 𝑥20 1ms Resposta temporal do sistema para a vibração forçada com condições iniciais nulas e variando a frequência de excitação testar excitações iguais as frequências naturais e acima e abaixo destas frequências Discutir os resultados fazer comparações e usar a criatividade para confeccionar o trabalho Capa Método de Newton Diagrama de corpo livre dos blocos Equações de movimento baseadas na segunda lei de Newton 𝑚 𝑥 𝐹 𝑚1𝑥1 𝑘1𝑥1 𝑘2𝑥1 𝑥2 𝑐1𝑥1 𝑐2𝑥1 𝑥2 𝑚2𝑥2 𝑘2𝑥1 𝑥2 𝑘3𝑥2 𝑥3 𝑐2𝑥1 𝑥2 𝑐3𝑥2 𝑥3 𝐹 𝑚3𝑥3 𝑘3𝑥2 𝑥3 𝑐3𝑥2 𝑥3 𝑚1𝑥1 𝑘1𝑥1 𝑘2𝑥1 𝑘2𝑥2 𝑐1𝑥1 𝑐2𝑥1 𝑐2𝑥2 𝑚2𝑥2 𝑘2𝑥1 𝑘2𝑥2 𝑘3𝑥2 𝑘3𝑥3 𝑐2𝑥1 𝑐2𝑥2 𝑐3𝑥2 𝑐3𝑥3 𝐹 𝑚3𝑥3 𝑘3𝑥2 𝑘3𝑥3 𝑐3𝑥2 𝑐3𝑥3 𝑚1𝑥1 𝑘1𝑥1 𝑘2𝑥1 𝑘2𝑥2 𝑐1𝑥1 𝑐2𝑥1 𝑐2𝑥2 𝑚2𝑥2 𝑘2𝑥1 𝑘2𝑥2 𝑘3𝑥2 𝑘3𝑥3 𝑐2𝑥1 𝑐2𝑥2 𝑐3𝑥2 𝑐3𝑥3 𝐹 𝑚3𝑥3 𝑘3𝑥2 𝑘3𝑥3 𝑐3𝑥2 𝑐3𝑥3 𝑚1𝑥1 𝑘1𝑥1 𝑘2𝑥1 𝑘2𝑥2 𝑐1𝑥1 𝑐2𝑥1 𝑐2𝑥2 0 𝑚2𝑥2 𝑘2𝑥1 𝑘2𝑥2 𝑘3𝑥2 𝑘3𝑥3 𝑐2𝑥1 𝑐2𝑥2 𝑐3𝑥2 𝑐3𝑥3 𝐹 𝑚3𝑥3 𝑘3𝑥2 𝑘3𝑥3 𝑐3𝑥2 𝑐3𝑥3 0 𝑚1𝑥1 𝑘1 𝑘2𝑥1 𝑘2𝑥2 𝑐1 𝑐2𝑥1 𝑐2𝑥2 0 𝑚2𝑥2 𝑘2𝑥1 𝑘2 𝑘3𝑥2 𝑘3𝑥3 𝑐2𝑥1 𝑐2 𝑐3𝑥2 𝑐3𝑥3 𝐹 𝑚3𝑥3 𝑘3𝑥2 𝑘3𝑥3 𝑐3𝑥2 𝑐3𝑥3 0 𝑚1𝑥1 𝑐1 𝑐2𝑥1 𝑐2𝑥2 𝑘1 𝑘2𝑥1 𝑘2𝑥2 0 𝑚2𝑥2 𝑐2𝑥1 𝑐2 𝑐3𝑥2 𝑐3𝑥3 𝑘2𝑥1 𝑘2 𝑘3𝑥2 𝑘3𝑥3 𝐹 𝑚3𝑥3 𝑐3𝑥2 𝑐3𝑥3 𝑘3𝑥2 𝑘3𝑥3 0 Escrevendo na forma matricial 𝑚1 0 0 0 𝑚2 0 0 0 𝑚3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑐1 𝑐2 𝑐2 0 𝑐2 𝑐2 𝑐3 𝑐3 0 𝑐3 𝑐3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑘1 𝑘2 𝑘2 0 𝑘2 𝑘2 𝑘3 𝑘3 0 𝑘3 𝑘3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 𝐹 0 Substituindo os valores 𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟓 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒙 𝟑 𝟑𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝟑𝟓𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒙 𝟑 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟖𝟎𝟎𝟎 𝟎 𝟖𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟒𝟎𝟎𝟎 𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟎 𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟔𝟎𝟎𝟎 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝟎 𝟓𝟎𝒆𝒊𝛀𝒕 𝟎 Método de Lagrange Energias cinéticas dos blocos 𝑇1 1 2 𝑚1 𝑥1 2 𝑇2 1 2 𝑚2 𝑥2 2 𝑇3 1 2 𝑚3 𝑥3 2 Energia cinética total 𝑇 𝑇1 𝑇2 𝑇3 𝑇 1 2 𝑚1 𝑥1 2 1 2 𝑚2 𝑥2 2 1 2 𝑚3 𝑥3 2 Energias potenciais das molas 𝑈1 1 2 𝑘1 𝑥12 𝑈2 1 2 𝑘2 𝑥1 𝑥22 𝑈3 1 2 𝑘3 𝑥2 𝑥32 Energia potencial total 𝑈 𝑈1 𝑈2 𝑈3 𝑈 1 2 𝑘1 𝑥12 1 2 𝑘2 𝑥1 𝑥22 1 2 𝑘3 𝑥2 𝑥32 Energia dissipada em cada amortecedor 𝐹1 1 2 𝑐1 𝑥12 𝐹2 1 2 𝑐2 𝑥1 𝑥22 𝐹3 1 2 𝑐3 𝑥2 𝑥32 Energia total dissipada 𝐹 𝐹1 𝐹2 𝐹3 𝐹 1 2 𝑐1 𝑥12 1 2 𝑐2 𝑥1 𝑥22 1 2 𝑐3 𝑥2 𝑥32 Lagrangeana 𝐿 𝑇 𝑈 𝐿 1 2 𝑚1 𝑥1 2 1 2 𝑚2 𝑥2 2 1 2 𝑚3 𝑥3 2 1 2 𝑘1 𝑥12 1 2 𝑘2 𝑥1 𝑥22 1 2 𝑘3 𝑥2 𝑥32 Derivando L em relação às velocidades 𝐿 𝑥1 𝑚1 𝑥1 𝐿 𝑥2 𝑚2 𝑥2 𝐿 𝑥3 𝑚3 𝑥3 Derivando em relação às posições 𝐿 𝑥1 𝑘1𝑥1 𝑘2𝑥1 𝑥2 𝐿 𝑥2 𝑘2𝑥1 𝑥2 𝑘3𝑥2 𝑥3 𝐿 𝑥3 𝑘3𝑥2 𝑥3 Derivando a energia dissipada 𝐹 𝑥1 𝑐1𝑥1 𝑐2𝑥1 𝑥2 𝐹 𝑥2 𝑐2𝑥1 𝑥2 𝑐3𝑥2 𝑥3 𝐹 𝑥3 𝑐3𝑥2 𝑥3 Equações de EulerLagrange 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝑥1 𝐿 𝑥1 𝐹 𝑥1 0 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝑥2 𝐿 𝑥2 𝐹 𝑥2 𝐹𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐿 𝑥3 𝐿 𝑥3 𝐹 𝑥3 0 𝑑 𝑑𝑡 𝑚1 𝑥1 𝑘1𝑥1 𝑘2𝑥1 𝑥2 𝑐1𝑥1 𝑐2𝑥1 𝑥2 0 𝑑 𝑑𝑡 𝑚2 𝑥2 𝑘2𝑥1 𝑥2 𝑘3𝑥2 𝑥3 𝑐2𝑥1 𝑥2 𝑐3𝑥2 𝑥3 𝐹𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑚3 𝑥3 𝑘3𝑥2 𝑥3 0 𝑚1𝑥1 𝑘1𝑥1 𝑘2𝑥1 𝑥2 𝑐1 𝑐2𝑥1 𝑐2𝑥2 0 𝑚2𝑥2 𝑘2𝑥1 𝑥2 𝑘3𝑥2 𝑥3 𝑐2𝑥1 𝑐2 𝑐3𝑥2 𝑐3𝑥3 𝐹𝑡 𝑚3𝑥3 𝑘3𝑥2 𝑥3 𝑐3𝑥2 𝑐3𝑥3 0 𝑚1𝑥1 𝑐1 𝑐2𝑥1 𝑐2𝑥2 𝑘1 𝑘2𝑥1 𝑘2𝑥2 0 𝑚2𝑥2 𝑐2𝑥1 𝑐2 𝑐3𝑥2 𝑐3𝑥3 𝑘2𝑥1 𝑘2 𝑘3𝑥2 𝑘3𝑥3 𝐹𝑡 𝑚3𝑥3 𝑐3𝑥2 𝑐3𝑥3 𝑘3𝑥2 𝑘3𝑥3 0 Escrevendo na forma matricial 𝑚1 0 0 0 𝑚2 0 0 0 𝑚3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑐1 𝑐2 𝑐2 0 𝑐2 𝑐2 𝑐3 𝑐3 0 𝑐3 𝑐3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑘1 𝑘2 𝑘2 0 𝑘2 𝑘2 𝑘3 𝑘3 0 𝑘3 𝑘3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 𝐹 0 Substituindo os valores 𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟓 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒙 𝟑 𝟑𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝟑𝟓𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒙 𝟑 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟖𝟎𝟎𝟎 𝟎 𝟖𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟒𝟎𝟎𝟎 𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟎 𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟔𝟎𝟎𝟎 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝟎 𝟓𝟎𝒆𝒊𝛀𝒕 𝟎 Parâmetros Modais Matrizes do sistema 𝑀 2 0 0 0 5 0 0 0 1 𝐶 300 200 0 200 350 150 0 150 150 𝐾 12000 8000 0 8000 14000 6000 0 6000 6000 Cálculo das frequências naturais 𝑑𝑒𝑡𝑀 𝑤2 𝐾 0 𝑑𝑒𝑡 2 0 0 0 5 0 0 0 1 𝑤2 12000 8000 0 8000 14000 6000 0 6000 6000 0 𝑑𝑒𝑡 2𝑤2 0 0 0 5𝑤2 0 0 0 𝑤2 12000 8000 0 8000 14000 6000 0 6000 6000 0 𝑑𝑒𝑡 2𝑤2 12000 8000 0 8000 5𝑤2 14000 6000 0 6000 𝑤2 6000 0 10𝑤6 148000 𝑤4 560000000 𝑤2 192000000000 0 𝑤6 14800 𝑤4 56000000 𝑤2 19200000000 0 𝑤6 148104 𝑤4 56107 𝑤2 1921010 0 Resolvendo a equação 𝑤1 2 380049752 𝑤2 2 6000000000 𝑤3 2 8419950248 𝒘𝟏 𝟏𝟗 𝟒𝟗𝟓 𝒓𝒂𝒅𝒔 𝒘𝟐 𝟕𝟕 𝟒𝟔𝟎 𝒓𝒂𝒅𝒔 𝒘𝟑 𝟗𝟏 𝟕𝟔𝟎 𝒓𝒂𝒅𝒔 Cálculo dos fatores de amortecimento 𝜉1 𝜉2 𝜉2 1 2 2 0 0 0 5 0 0 0 1 300 200 0 200 350 150 0 150 150 1 119495 177460 191760 𝜉1 𝜉2 𝜉2 1 2 2 0 0 0 5 0 0 0 1 001 001 001 001 0015 0015 001 0015 00217 119495 177460 191760 𝜉1 𝜉2 𝜉2 1 2 002 002 002 005 0075 0075 001 0015 00217 119495 177460 191760 𝜉1 𝜉2 𝜉2 1 2 0001502 0004350 0000943 𝜉1 𝜉2 𝜉2 0000751 0002175 0000471 𝝃𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟕𝟓𝟏 𝝃𝟐 𝟎 𝟎𝟎𝟐𝟏𝟕𝟓 𝝃𝟑 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟕𝟏 Cálculo dos modos normais 2𝑤2 12000 8000 0 8000 5𝑤2 14000 6000 0 6000 𝑤2 6000 𝑋1 𝑋2 𝑋3 0 2𝑤2 12000 𝑋1 8000 𝑋2 0 6000 𝑋2 𝑤2 6000 𝑋3 0 𝑋2 𝑋1 12000 2 𝑤2 8000 𝑋3 𝑋2 6000 6000 𝑤2 𝑋2 𝑋1 6000 𝑤2 4000 𝑋3 𝑋1 18000 3 𝑤2 12000 2 𝑤2 Primeiro modo 𝑋2 𝑋1 6000 380049752 4000 1405 𝑋3 𝑋1 18000 3380049752 12000 2380049752 15 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟒𝟎𝟓 𝟏 𝟓 Segundo modo 𝑋2 𝑋1 6000 6000 4000 0 𝑋3 𝑋1 18000 36000 12000 26000 0 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝟐 𝟏 𝟎 𝟎 Terceiro modo 𝑋2 𝑋1 6000 8419950248 4000 0605 𝑋3 𝑋1 18000 38419950248 12000 28419950248 15 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝟑 𝟏 𝟎 𝟔𝟎𝟓 𝟏 𝟓 Resposta em frequência Equação do sistema para entradas nulas 2 0 0 0 5 0 0 0 1 𝑥1 𝑥2 𝑥3 300 200 0 200 350 150 0 150 150 𝑥1 𝑥2 𝑥3 12000 8000 0 8000 14000 6000 0 6000 6000 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 0 0 Cálculo da resposta em frequência 2 0 0 0 5 0 0 0 1 𝑠2 0 0 0 𝑠2 0 0 0 𝑠2 𝑋1 𝑋2 𝑋3 300 200 0 200 350 150 0 150 150 𝑠 0 0 0 𝑠 0 0 0 𝑠 𝑋1 𝑋2 𝑋3 12000 8000 0 8000 14000 6000 0 6000 6000 𝑋1 𝑋2 𝑋3 0 0 0 2𝑠2 0 0 0 5𝑠2 0 0 0 𝑠2 300𝑠 200𝑠 0 200𝑠 350𝑠 150𝑠 0 150𝑠 150𝑠 12000 8000 0 8000 14000 6000 0 6000 6000 𝑋1 𝑋2 𝑋3 0 0 0 2𝑠2 300𝑠 12000 200𝑠 8000 0 200𝑠 8000 5𝑠2 350𝑠 14000 150𝑠 6000 0 150𝑠 6000 𝑠2 150𝑠 6000 𝑋1 𝑋2 𝑋3 0 0 0 2𝑠2 300𝑠 12000𝑋1 200𝑠 8000𝑋2 0 200𝑠 8000𝑋1 5𝑠2 350𝑠 14000𝑋2 150𝑠 6000𝑋3 0 150𝑠 6000𝑋2 𝑠2 150𝑠 6000𝑋3 0 Acrescentando o efeito da força na massa 𝑚2 𝐹𝑠 50 𝑠 1 2𝑠2 300𝑠 12000𝑋1 200𝑠 8000𝑋2 0 200𝑠 8000𝑋1 5𝑠2 350𝑠 14000𝑋2 150𝑠 6000𝑋3 50 𝑠 1 150𝑠 6000𝑋2 𝑠2 150𝑠 6000𝑋3 0 Resolvendo o sistema 𝑋1 1000𝑠 40000 𝑠5 219𝑠4 10580𝑠3 149200𝑠2 3040000𝑠 3200000 𝑋2 10𝑠2 1500𝑠 60000 𝑠5 219𝑠4 10580𝑠3 149200𝑠2 3040000𝑠 3200000 𝑋3 1500𝑠 60000 𝑠5 219𝑠4 10580𝑠3 149200𝑠2 3040000𝑠 3200000 Para 𝑠 𝑗𝑤 𝑋1 1000𝑗𝑤 40000 𝑗𝑤5 219𝑤4 10580𝑗𝑤3 149200𝑤2 3040000𝑗𝑤 3200000 𝑋2 10𝑤2 1500𝑗𝑤 60000 𝑗𝑤5 219𝑤4 10580𝑗𝑤3 149200𝑤2 3040000𝑗𝑤 3200000 𝑋3 1500𝑗𝑤 60000 𝑗𝑤5 219𝑤4 10580𝑗𝑤3 149200𝑤2 3040000𝑗𝑤 3200000 𝑋1 1000𝑗𝑤 40000 𝑗𝑤5 10580𝑤3 3040000𝑤 219𝑤4 149200𝑤2 3200000 𝑋2 10𝑤2 1500𝑗𝑤 60000 𝑗𝑤5 10580𝑤3 3040000𝑤 219𝑤4 149200𝑤2 3200000 𝑋3 1500𝑗𝑤 60000 𝑗𝑤5 10580𝑤3 3040000𝑤 219𝑤4 149200𝑤2 3200000 𝑋1 1000𝑤2 400002 𝑤5 10580𝑤3 3040000𝑤2 219𝑤4 149200𝑤2 32000002 𝑋2 60000 10𝑤22 1500𝑤2 𝑤5 10580𝑤3 3040000𝑤2 219𝑤4 149200𝑤2 32000002 𝑋3 1500𝑤2 600002 𝑤5 10580𝑤3 3040000𝑤2 219𝑤4 149200𝑤2 32000002 Gráficos de resposta em frequência Resposta Temporal Livre Equação de movimento do sistema livre 2 0 0 0 5 0 0 0 1 𝑥1 𝑥2 𝑥3 300 200 0 200 350 150 0 150 150 𝑥1 𝑥2 𝑥3 12000 8000 0 8000 14000 6000 0 6000 6000 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 0 0 Introduzindo variáveis de estado 𝑥1 𝑥2 𝑥3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 𝑞1 𝑞2 𝑞3 Sistema com variáveis de estado 2 0 0 0 5 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 𝑞1 𝑞2 𝑞3 300 200 0 200 350 150 0 150 150 1 0 0 0 1 0 0 0 1 𝑞1 𝑞2 𝑞3 12000 8000 0 8000 14000 6000 0 6000 6000 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 0 0 2 0 0 0 5 0 0 0 1 𝑞1 𝑞2 𝑞3 300 200 0 200 350 150 0 150 150 𝑞1 𝑞2 𝑞3 12000 8000 0 8000 14000 6000 0 6000 6000 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 0 0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 𝑞1 𝑞2 𝑞3 Sistema ampliado 2 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 300 200 0 1 0 0 200 350 150 0 1 0 0 150 150 0 0 1 12000 8000 0 0 0 0 8000 14000 6000 0 0 0 0 6000 6000 0 0 0 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 0 0 0 0 0 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 2 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 300 200 0 1 0 0 200 350 150 0 1 0 0 150 150 0 0 1 12000 8000 0 0 0 0 8000 14000 6000 0 0 0 0 6000 6000 0 0 0 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 0 0 0 0 0 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 05 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 300 200 0 1 0 0 200 350 150 0 1 0 0 150 150 0 0 1 12000 8000 0 0 0 0 8000 14000 6000 0 0 0 0 6000 6000 0 0 0 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 0 0 0 0 0 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 150 40 0 1 0 0 100 70 150 0 1 0 0 30 150 0 0 1 6000 1600 0 0 0 0 4000 2800 6000 0 0 0 0 1200 6000 0 0 0 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 0 0 0 0 0 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 150 40 0 1 0 0 100 70 150 0 1 0 0 30 150 0 0 1 6000 1600 0 0 0 0 4000 2800 6000 0 0 0 0 1200 6000 0 0 0 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 As condições iniciais são 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 0 1 0 001 0005 0005 Obtendo a resposta temporal do sistema Resposta temporal Forçada Vetor de forças externas do sistema A força atua na massa 𝑚2 𝐹 0 50𝑒𝑖Ω𝑡 0 0 0 0 Expressando a componente real da força 𝐹 0 50 sinΩ𝑡 0 0 0 0 Adicionando à equação do sistema em variáveis de estado 2 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 300 200 0 1 0 0 200 350 150 0 1 0 0 150 150 0 0 1 12000 8000 0 0 0 0 8000 14000 6000 0 0 0 0 6000 6000 0 0 0 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 50 sin Ω𝑡 0 0 0 0 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 2 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 300 200 0 1 0 0 200 350 150 0 1 0 0 150 150 0 0 1 12000 8000 0 0 0 0 8000 14000 6000 0 0 0 0 6000 6000 0 0 0 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 2 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 50 sin Ω𝑡 0 0 0 0 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 05 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 300 200 0 1 0 0 200 350 150 0 1 0 0 150 150 0 0 1 12000 8000 0 0 0 0 8000 14000 6000 0 0 0 0 6000 6000 0 0 0 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 05 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 50 sin Ω𝑡 0 0 0 0 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 150 40 0 1 0 0 100 70 150 0 1 0 0 30 150 0 0 1 6000 1600 0 0 0 0 4000 2800 6000 0 0 0 0 1200 6000 0 0 0 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 10 sin Ω𝑡 0 0 0 0 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 150 40 0 1 0 0 100 70 150 0 1 0 0 30 150 0 0 1 6000 1600 0 0 0 0 4000 2800 6000 0 0 0 0 1200 6000 0 0 0 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 0 10 sin Ω𝑡 0 0 0 0 Obtendo a resposta temporal para Ω 1 Obtendo a resposta temporal para Ω 15 Obtendo a resposta temporal para Ω w1 19495 Obtendo a resposta temporal para Ω 22 Obtendo a resposta temporal para Ω 50 Obtendo a resposta temporal para Ω 70 Obtendo a resposta temporal para Ω w2 77460 Obtendo a resposta temporal para Ω 90 Obtendo a resposta temporal para Ω w3 91760 Obtendo a resposta temporal para Ω 100 Obtendo a resposta temporal para Ω 1000 Comparação As duas teorias da mecânica Newtoniana e Lagrangeana são igualmente eficientes para se obter as equações de movimento Os resultados do trabalho estão de acordo com o que se espera para sistemas vibratórios com amortecimento A resposta livre decai para o repouso após um intervalo de tempo devido a dissipação da energia mecânica pelos amortecedores A resposta é oscilatória do sistema livre está de acordo com os fatores de amortecimento menores que a unidade para sistemas subamortecidos A resposta forçada apresenta amplitudes que aumentam quando a frequência da força excitadora se aproxima de alguma frequência natural do sistema Para frequências muito altas em comparação as frequências naturais praticamente não se observa movimento em regime permanente Método de Newton Diagrama de corpo livre dos blocos Equações de movimento baseadas na segunda lei de Newton m x F m1 x1k1x1k2x1x2c1 x1c2 x1 x2 m2 x2k2x1x2k3 x2x3c2 x1x2c3 x2x3F m3 x3k3 x2x3c3 x2x3 m1 x1k1x1k2x1k2 x2c1 x1c2 x1c2 x2 m2 x2k2x1k2x2k 3x2k3 x3c2 x1c2 x2c3 x2c3 x3F m3 x3k3x2k3x3c3 x2c3 x3 m1 x1k1x1k2x1k2 x2c1 x1c2 x1c2 x2 m2 x2k2x1k2x2k 3x2k3 x3c2 x1c2 x2c3 x2c3 x3F m3 x3k3x2k3x3c3 x2c3 x3 m1 x1k1 x1k2x1k2x2c1 x1c2 x1c2 x20 m2 x2k2x1k2 x2k3x2k3x3c2 x1c2 x2c3 x2c3 x3F m3 x3k3x2k 3x3c3 x2c3 x30 m1 x1k 1k2x1k2x2c1c2 x1c2 x20 m2 x2k2x1k 2k3x2k3x3c2 x1c2c3 x2c3 x3F m3 x3k3x2k 3x3c3 x2c3 x30 m1 x1c1c2 x1c2 x2k1k 2 x1k 2x20 m2 x2c2 x1c2c3 x2c3 x3k2x1k2k3 x2k3 x3F m3 x3c3 x2c3 x3k3x2k3 x30 Escrevendo na forma matricial m1 0 0 0 m2 0 0 0 m3 x1 x2 x3 c1c2 c2 0 c2 c2c3 c3 0 c3 c3 x1 x2 x3 k1k2 k2 0 k2 k2k3 k3 0 k3 k3 x1 x2 x3 0 F 0 Substituindo os valores 2 0 0 0 5 0 0 0 1 x1 x2 x3 300 200 0 200 350 150 0 150 150 x1 x2 x3 12000 8000 0 8000 14000 6000 0 6000 6000 x1 x2 x3 0 50e iΩt 0 Método de Lagrange Energias cinéticas dos blocos T 11 2 m1 x1 2 T 21 2 m2 x2 2 T 31 2 m3 x3 2 Energia cinética total TT 1T 2T 3 T1 2 m1 x1 2 1 2 m2 x2 2 1 2 m3 x3 2 Energias potenciais das molas U 11 2 k 1 x1 2 U 21 2 k 2 x1x2 2 U 31 2 k 3 x2x3 2 Energia potencial total U U 1U 2U 3 U 1 2 k1 x1 2 1 2 k2 x1x2 2 1 2 k3 x2x3 2 Energia dissipada em cada amortecedor F11 2 c1 x1 2 F21 2 c2 x1x2 2 F31 2 c3 x2x3 2 Energia total dissipada FF1F2F3 F1 2 c1 x1 2 1 2 c2 x1 x2 2 1 2 c3 x2x3 2 Lagrangeana LTU L1 2 m1 x1 2 1 2 m2 x2 21 2 m3 x3 21 2 k1 x1 21 2 k2x1x2 21 2 k 3 x2x3 2 Derivando L em relação às velocidades L x1 m1 x1 L x2 m2 x2 L x3 m3 x3 Derivando em relação às posições L x1 k 1x1k 2x1x2 L x2 k 2x1x2k3x2x3 L x3 k3x2x3 Derivando a energia dissipada F x1 c1 x1c2 x1x2 F x2 c2 x1x2c3 x2 x3 F x3 c3 x2x3 Equações de EulerLagrange d dt L x1 L x1 F x1 0 d dt L x2 L x2 F x2 Ft d dt L x3 L x3 F x3 0 d dt m1 x1k1x1k2x1x2c1 x1c2 x1x20 d dt m2 x2k2 x1x2k3 x2x3c2 x1x2c3 x2x3Ft d dt m3 x3k3 x2x30 m1 x1k1 x1k2x1x2c1c2 x1c2 x20 m2 x2k2x1x2k3x2x3c2 x1c2c3 x2c3 x3Ft m3 x3k3 x2x3c3 x2c3 x30 m1 x1c1c2 x1c2 x2k1k 2 x1k 2x20 m2 x2c2 x1c2c3 x2c3 x3k2 x1k2k3 x2k3 x3Ft m3 x3c3 x2c3 x3k3x2k3 x30 Escrevendo na forma matricial m1 0 0 0 m2 0 0 0 m3 x1 x2 x3 c1c2 c2 0 c2 c2c3 c3 0 c3 c3 x1 x2 x3 k1k2 k2 0 k2 k2k3 k3 0 k3 k3 x1 x2 x3 0 F 0 Substituindo os valores 2 0 0 0 5 0 0 0 1 x1 x2 x3 300 200 0 200 350 150 0 150 150 x1 x2 x3 12000 8000 0 8000 14000 6000 0 6000 6000 x1 x2 x3 0 50e iΩt 0 Parâmetros Modais Matrizes do sistema M 2 0 0 0 5 0 0 0 1 C 300 200 0 200 350 150 0 150 150 K 12000 8000 0 8000 14000 6000 0 6000 6000 Cálculo das frequências naturais det M w 2K 0 det 2 0 0 0 5 0 0 0 1 w 2 12000 8000 0 8000 14000 6000 0 6000 6000 0 det 2w 2 0 0 0 5w 2 0 0 0 w 2 12000 8000 0 8000 14000 6000 0 6000 6000 0 det 2w 212000 8000 0 8000 5w 214000 6000 0 6000 w 26000 0 10w 6148000w 4560000000w 21920000000000 w 614800w 456000000w 2192000000000 w 614810 4w 45610 7w 219210 100 Resolvendo a equação w1 2380049752 w2 26000000000 w3 28419950248 w119495rad s w277460rad s w391760rad s Cálculo dos fatores de amortecimento ξ1 ξ2 ξ2 1 2 2 0 0 0 5 0 0 0 1 300 200 0 200 350 150 0 150 150 1 119495 177460 191760 ξ1 ξ2 ξ2 1 2 2 0 0 0 5 0 0 0 1 001 001 001 001 0015 0015 001 0015 00217 119495 177460 191760 ξ1 ξ2 ξ2 1 2 002 002 002 005 0075 0075 001 0015 00217 119495 177460 191760 ξ1 ξ2 ξ2 1 2 0001502 0004350 0000943 ξ1 ξ2 ξ2 0000751 0002175 0000471 ξ10000751 ξ20002175 ξ30000471 Cálculo dos modos normais 2w 212000 8000 0 8000 5w 214000 6000 0 6000 w 26000 X1 X2 X3 0 2w 212000 X18000 X20 6000 X2w 26000 X30 X2 X1 120002w 2 8000 X3 X2 6000 6000w 2 X2 X1 6000w 2 4000 X3 X1 180003w 2 120002w 2 Primeiro modo X2 X1 6000380049752 4000 1405 X3 X1 180003380049752 12000238004975215 X1 X2 X3 1 1 1405 15 Segundo modo X2 X1 60006000 4000 0 X3 X1 1800036000 12000260000 X1 X2 X3 2 1 0 0 Terceiro modo X2 X1 60008419950248 4000 0605 X3 X1 1800038419950248 120002841995024815 X1 X2 X3 3 1 0605 15 Resposta em frequência Equação do sistema para entradas nulas 2 0 0 0 5 0 0 0 1 x1 x2 x3 300 200 0 200 350 150 0 150 150 x1 x2 x3 12000 8000 0 8000 14000 6000 0 6000 6000 x1 x2 x3 0 0 0 Cálculo da resposta em frequência 2 0 0 0 5 0 0 0 1 s 2 0 0 0 s 2 0 0 0 s 2 X1 X2 X3 300 200 0 200 350 150 0 150 150 s 0 0 0 s 0 0 0 s X1 X2 X 3 12000 8000 0 8000 14000 6000 0 6000 6000 X 1 X 2 X 3 0 0 0 2s 2 0 0 0 5s 2 0 0 0 s 2 300s 200 s 0 200s 350 s 150s 0 150 s 150s 12000 8000 0 8000 14000 6000 0 6000 6000 X1 X2 X3 0 0 0 2s 2300 s12000 200s8000 0 200s8000 5s 2350s14000 150s6000 0 150s6000 s 2150 s6000 X1 X2 X3 0 0 0 2s 2300s12000 X1200 s8000 X20 200 s8000 X15 s 2350 s14000 X 2150s6000 X30 150s6000 X2s 2150 s6000 X30 Acrescentando o efeito da força na massa m2 F s 50 s1 2s 2300s12000 X1200 s8000 X20 200 s8000 X15 s 2350 s14000 X 2150s6000 X3 50 s1 150s6000 X2s 2150 s6000 X30 Resolvendo o sistema X1 1000 s40000 s 5219 s 410580s 3149200 s 23040000 s3200000 X2 10s 21500s60000 s 5219 s 410580s 3149200s 23040000 s3200000 X3 1500 s60000 s 5219 s 410580s 3149200s 23040000 s3200000 Para s jw X1 1000 jw40000 jw 5219 w 410580 j w 3149200w 23040000 jw3200000 X2 10w 21500 jw60000 jw 5219 w 410580 j w 3149200w 23040000 jw3200000 X3 1500 jw60000 jw 5219w 410580 j w 3149200w 23040000 jw3200000 X1 1000 jw40000 jw510580w 33040000 w219w 4149200w 23200000 X2 10w 21500 jw60000 jw510580w 33040000 w219w 4149200w 23200000 X3 1500 jw60000 jw510580w 33040000w219w 4149200w 23200000 X1 1000w 240000 2 w510580w 33040000w 2219w 4149200w 23200000 2 X2 6000010w 2 21500w 2 w510580w 33040000w 2219w 4149200w 23200000 2 X3 1500w 260000 2 w510580w 33040000 w 2219w 4149200w 23200000 2 Gráficos de resposta em frequência Equação de movimento do sistema livre 2 0 0 0 5 0 0 0 1 x1 x2 x3 300 200 0 200 350 150 0 150 150 x1 x2 x3 12000 8000 0 8000 14000 6000 0 6000 6000 x1 x2 x3 0 0 0 Introduzindo variáveis de estado x1 x2 x3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 q1 q2 q3 x1 x2 x3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 q1 q2 q3 Sistema com variáveis de estado 2 0 0 0 5 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 q1 q2 q3 300 200 0 200 350 150 0 150 150 1 0 0 0 1 0 0 0 1 q1 q2 q3 12000 8000 0 8000 14000 6000 0 6000 6000 x1 x2 x3 0 0 0 2 0 0 0 5 0 0 0 1 q1 q2 q3 300 200 0 200 350 150 0 150 150 q1 q2 q3 12000 8000 0 8000 14000 6000 0 6000 6000 x1 x2 x3 0 0 0 x1 x2 x3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 q1 q2 q3 Sistema ampliado 2 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 q1 q2 q3 x1 x2 x3 300 200 0 1 0 0 200 350 150 0 1 0 0 150 150 0 0 1 12000 8000 0 0 0 0 8000 14000 6000 0 0 0 0 6000 6000 0 0 0 q1 q2 q3 x1 x2 x3 0 0 0 0 0 0 q1 q2 q3 x1 x2 x3 2 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 300 200 0 1 0 0 200 350 150 0 1 0 0 150 150 0 0 1 12000 8000 0 0 0 0 8000 14000 6000 0 0 0 0 6000 6000 0 0 0 q1 q2 q3 x1 x2 x3 0 0 0 0 0 0 q1 q2 q3 x1 x2 x3 05 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 300 200 0 1 0 0 200 350 150 0 1 0 0 150 150 0 0 1 12000 8000 0 0 0 0 8000 14000 6000 0 0 0 0 6000 6000 0 0 0 q1 q2 q3 x1 x2 x3 0 0 0 0 0 0 q1 q2 q3 x1 x2 x3 150 4 0 0 1 0 0 100 70 150 0 1 0 0 30 150 0 0 1 6000 1600 0 0 0 0 4000 2800 6000 0 0 0 0 1200 6000 0 0 0 q1 q2 q3 x1 x2 x3 0 0 0 0 0 0 q1 q2 q3 x1 x2 x3 150 4 0 0 1 0 0 100 70 150 0 1 0 0 30 150 0 0 1 6000 16 00 0 0 0 0 4 000 2800 6000 0 0 0 0 1200 6000 0 0 0 q1 q2 q3 x1 x2 x3 As condições iniciais são q1 q2 q3 x1 x2 x3 0 0 1 0 0 01 0005 0005 Obtendo a resposta temporal do sistema Resposta temporal Forçada Vetor de forças externas do sistema A força atua na massa m2 F 0 50e iΩt 0 0 0 0 Expressando a componente real da força F 0 50sinΩt 0 0 0 0 Adicionando à equação do sistema em variáveis de estado 2 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 q1 q2 q3 x1 x2 x3 300 200 0 1 0 0 200 350 150 0 1 0 0 150 150 0 0 1 12000 8000 0 0 0 0 8000 14000 6000 0 0 0 0 6000 6000 0 0 0 q1 q2 q3 x1 x2 x3 0 50sin Ωt 0 0 0 0 q1 q2 q3 x1 x2 x3 2 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 300 200 0 1 0 0 200 350 150 0 1 0 0 150 150 0 0 1 12000 8000 0 0 0 0 8000 14000 6000 0 0 0 0 6000 6000 0 0 0 q1 q2 q3 x1 x2 x3 2 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 50sin Ωt 0 0 0 0 q1 q2 q3 x1 x2 x3 05 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 300 200 0 1 0 0 200 350 150 0 1 0 0 150 150 0 0 1 12000 8000 0 0 0 0 8000 14000 6000 0 0 0 0 6000 6000 0 0 0 q1 q2 q3 x1 x2 x3 05 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 50sin Ωt 0 0 0 0 q1 q2 q3 x1 x2 x3 150 4 0 0 1 0 0 100 70 150 0 1 0 0 30 150 0 0 1 6000 1600 0 0 0 0 4000 2800 6000 0 0 0 0 1200 6000 0 0 0 q1 q2 q3 x1 x2 x3 0 10sinΩt 0 0 0 0 q1 q2 q3 x1 x2 x3 150 4 0 0 1 0 0 100 70 150 0 1 0 0 30 150 0 0 1 6000 16 00 0 0 0 0 4 000 2800 6000 0 0 0 0 1200 6000 0 0 0 q1 q2 q3 x1 x2 x3 0 10sinΩ t 0 0 0 0 Obtendo a resposta temporal para Ω1 Obtendo a resposta temporal para Ω15 Obtendo a resposta temporal para Ωw119495 Obtendo a resposta temporal para Ω22 Obtendo a resposta temporal para Ω50 Obtendo a resposta temporal para Ω70 Obtendo a resposta temporal para Ωw277460 Obtendo a resposta temporal para Ω90 Obtendo a resposta temporal para Ωw391760 Obtendo a resposta temporal para Ω100 Obtendo a resposta temporal para Ω1000 Comparação As duas teorias da mecânica Newtoniana e Lagrangeana são igualmente eficientes para se obter as equações de movimento Os resultados do trabalho estão de acordo com o que se espera para sistemas vibratórios com amortecimento A resposta livre decai para o repouso após um intervalo de tempo devido a dissipação da energia mecânica pelos amortecedores A resposta é oscilatória do sistema livre está de acordo com os fatores de amortecimento menores que a unidade para sistemas subamortecidos A resposta forçada apresenta amplitudes que aumentam quando a frequência da força excitadora se aproxima de alguma frequência natural do sistema Para frequências muito altas em comparação as frequências naturais praticamente não se observa movimento em regime permanente