Vibrações Mecânicas - Teste 1 - Resoluções e Gabarito

Prof Milton Dias Junior Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Mecânica Departamento de Sistemas Integrados Laboratório de Dinâmica de Estruturas e Máquinas Vibrações de Sistemas Mecânicos EM607B Vibrações de Sistema Mecânicos Prof Milton Dias Junior Teste 1 24052022 Nome RA RESPOSTAS Escrever nesta página somente as respostas dos respectivos exercícios Não são permitidas rasuras nesta página Questão 1 a 𝑍 1203𝑐𝑚 b 𝜔 𝜔1 25041𝑟𝑎𝑑𝑠 e 𝜔 𝜔1 60753𝑟𝑎𝑑𝑠 Questão 2 a 𝑘𝑒𝑞 28424 105 𝑁 𝑚 e 𝑐𝑒𝑞 22627103 𝑁𝑠 𝑚 b 𝐹𝑇𝑚á𝑥 25606𝑁 c 𝑚𝑎𝑑𝑖𝑐 29228𝑘𝑔 d 𝜁𝑎𝑑𝑖𝑐 00779 779 Algumas relações que podem ser úteis Excitação Harmônica 𝑋 𝐹0𝑘𝑒𝑞 1 𝐹2𝑟 𝜁 𝐹𝑇 𝐹0 𝐹1𝑟 𝜁 𝐹2𝑟 𝜁 𝑟𝑚á𝑥 1 2𝜁2 𝑋𝑚á𝑥 𝐹0𝑘𝑒𝑞 1 2𝜁1 𝜁2 𝑟𝑚á𝑥 1 1 8𝜁2 2𝜁 Excitação pela Base 𝑋 𝑌 𝐹1𝑟 𝜁 𝐹2𝑟 𝜁 𝑟𝑚á𝑥 1 1 8𝜁2 2𝜁 Desbalanço Rotativo 𝑋 𝑚𝑑𝑒 𝑚 𝑟2 𝐹2𝑟 𝜁 𝑟𝑚á𝑥 1 1 2𝜁2 𝑋𝑚á𝑥 𝑚𝑑𝑒 𝑚 1 2𝜁1 𝜁2 sendo 𝐹1𝑟 𝜁 1 2𝜁𝑟2 𝐹2𝑟 𝜁 1 𝑟22 2𝜁𝑟2 Prof Milton Dias Junior Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Mecânica Departamento de Sistemas Integrados Laboratório de Dinâmica de Estruturas e Máquinas Vibrações de Sistemas Mecânicos Questão 1 O sistema linear da Figura 1 é composto por uma barra rígida e leve BOA O ponto O da barra é fixo em um fulcro que se movimenta verticalmente de forma harmônica de acordo com a função 𝑧𝑡 𝑍 sen𝜔𝑡 Na extremidade A da barra está fixado um disco de raio 𝑟𝑑 e momento de inércia 𝐽𝐴 enquanto na extremidade B temse uma mola de rigidez 𝑘 A equação de movimento deste sistema tem a seguinte forma 𝑚𝑟𝑑 2 𝑏2𝜃 𝑘𝑎2𝜃 𝑘𝑎𝑧 𝑚𝑏𝑧 Para os dados fornecido abaixo determinar a considerando que 𝜔 20𝑟𝑎𝑑𝑠 para quais valores de 𝑍 o deslocamento angular da barra em regime permanente será menor que 25 e b considerando que 𝑍 10𝑐𝑚 para quais valores de 𝜔 o deslocamento angular da barra em regime permanente será menor que 3 Dados 𝑚 2𝑘𝑔 𝑘 2000 𝑁 𝑚 𝑟𝑑 01𝑚 𝑎 05𝑚 𝑏 04𝑚 𝐽𝐴 𝑚𝑟1 2 q zt O A B k JA m a b rd Figura 1 Solução A Figura 2 ilustra o DCL do sistema Para montar a equação de movimento deste sistema é conveniente utilizar o ponto O para o cálculo dos momentos uma vez que desta forma eliminase o efeito da força 𝑂𝑦 Contudo é importante notar que este ponto não é nem o centro de massa do corpo que fica no ponto A e nem um ponto fixo Portanto é necessário atenção neste cálculo q z O B a b EE A JA m Oy x kzqa rd Figura 2 DCL Analisando a Figura 2 é fácil notar que o deslocamento vertical absoluto do centro de massa do disco vale 𝑥𝐴 𝑧 𝑏 sen 𝜃 a Derivando duas vezes a eq a em relação ao tempo e linearizando o resultado 𝜃2𝜃 0 obtémse a aceleração vertical absoluta de A que vale 𝑎𝐴 𝑥𝐴 𝑧 𝑏𝜃 b Análise da barra BOA cálculo dos momentos em relação ao ponto O já linearizado Prof Milton Dias Junior Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Mecânica Departamento de Sistemas Integrados Laboratório de Dinâmica de Estruturas e Máquinas Vibrações de Sistemas Mecânicos 𝑀𝑂 𝐽𝐴𝜃 𝑚𝑎𝐴𝑑 𝑘𝑧 𝑎𝜃𝑎 𝑚𝑟𝑑 2𝜃 𝑚𝑧 𝑏𝜃𝑏 c Rearranjando a eq c temse que 𝑚𝑟𝑑 2 𝑏2𝜃 𝑘𝑎2𝜃 𝑘𝑎𝑧 𝑚𝑏𝑧 d Substituindo a expressão de 𝑧𝑡 e de sua derivada segunda em relação ao tempo na eq d obtémse 𝑚𝑟𝑑 2 𝑏2𝜃 𝑘𝑎2𝜃 𝑘𝑎 𝑚𝑏𝜔2 𝑍sen𝜔𝑡 e É interessante notar que a força resultante atuando na barra BOA é proveniente tanto do deslocamento como da aceleração do fulcro O termo associado à aceleração é função quadrática da frequência de excitação Este tipo de excitação aparece tipicamente em problemas de desbalanceamento rotativo Sabendo que o sistema é linear a resposta permanente total do sistema devido à ação de ambas as forças atuando simultaneamente pode ser calculada somandose as respostas devido à ação de cada excitação atuando de forma independente Assim a resposta do sistema devido somente à força 𝐹1 𝐹01 sen𝜔𝑡 é 𝛩1 𝐹01 𝑘𝑒𝑞 1 1 𝑟22 2𝜁𝑟² f sendo 𝐹01 𝑘𝑎𝑍 e 𝑘𝑒𝑞 𝑘𝑎2 Já a resposta do sistema devido somente à força 𝐹2 𝐹02𝜔2 sen𝜔𝑡 é 𝛩2 𝐹02 𝑘𝑒𝑞 𝜔2 1 𝑟22 2𝜁𝑟² g sendo 𝐹02 𝑚𝑏𝑍 A eq g pode ser manipulada multiplicandose e dividindose o lado direito da equação por 𝜔𝑛 2 𝑘𝑒𝑞𝑚𝑒𝑞 Assim 𝛩2 𝐹02 𝑘𝑒𝑞 𝜔2 1 𝑟22 2𝜁𝑟² 𝜔𝑛2 𝜔𝑛2 𝐹02 𝑚𝑒𝑞 𝑟2 1 𝑟22 2𝜁𝑟² h sendo 𝑚𝑒𝑞 𝑚𝑟𝑑 2 𝑏2 A resposta permanente total do sistema vale portanto 𝛩 𝛩1 𝛩2 𝐹01 𝑘𝑒𝑞 𝐹02 𝑚𝑒𝑞 𝑟2 1 1 𝑟22 2𝜁𝑟² i Substituindo as expressões de 𝐹01 𝐹02 𝑘𝑒𝑞 e 𝑚𝑒𝑞 na eq i obtémse 𝛩 𝑍 1 𝑎 𝑏 𝑟𝑑 2 𝑏2 𝑟2 1 1 𝑟22 2𝜁𝑟² j Substituindo os dados fornecidos no enunciado na eq e temse a seguinte equação de movimento 034𝜃 500𝜃 1000 08𝜔2 𝑍sen𝜔𝑡 k A partir da eq k facilmente concluise que a frequência natural do sistema vale Prof Milton Dias Junior Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Mecânica Departamento de Sistemas Integrados Laboratório de Dinâmica de Estruturas e Máquinas Vibrações de Sistemas Mecânicos 𝜔𝑛 38348𝑟𝑎𝑑 𝑠 6103𝐻𝑧 l No item a impõese o deslocamento angular máximo da barra que deve ser de 25 ou seja 𝛩𝑚á𝑥 436 103𝑟𝑎𝑑 e definese a frequência de excitação que vale 𝜔 20𝑟𝑎𝑑𝑠 Assim usando o resultado da eq l obtémse a relação de frequências em que o sistema opera que vale 𝑟 𝜔 𝜔𝑛 20 38348 05215 m Rearranjando a eq j e isolandose o valor de 𝑍 podese encontrar a amplitude máxima com que o fulcro pode se movimentar de modo que o valor de 𝛩𝑚á𝑥 25 seja respeitado Esta manipulação da eq j resulta na seguinte expressão 𝑍 𝛩𝑚á𝑥 1 𝑟22 2𝜁𝑟² 1 𝑎 𝑏 𝑟1 2 𝑏2 𝑟2 n Substituindo os valores numéricos e fazendo 𝜁 0 na eq n obtémse finalmente que 𝑍 1203𝑐𝑚 A Figura 3 mostra a resposta permanente do sistema quando a amplitude de vibração do fulcro vale 𝑍 120𝑐𝑚 A curva em preto representa a resposta total e o ponto destacado confirma as condições apresentadas no item a do enunciado o que comprova os resultados obtidos Aproveitase esta figura também para ilustrar a participação de cada um dos termos 𝛩1 e 𝛩2 descritos nas eqs f e h na resposta total Como se pode notar analisando a Figura 3 a resposta 𝛩2 que é causada pela aceleração do fulcro cuja amplitude por sua vez depende de 𝜔2 vale 0 para 𝑟 0 e para valores de 𝑟 sua amplitude tende para 𝑍𝑏 𝑟𝑑 2 𝑏2 que neste caso vale 1622 A parcela da resposta total dada por 𝛩1 vale 𝑍 𝑎 1379 para 𝑟 0 e para valores de 𝑟 sua amplitude tende a 0 No item b a amplitude do movimento do fulcro é definido e vale 𝑍 10𝑐𝑚 O objetivo é encontrar os valores de frequência de excitação em que o deslocamento angular da barra em regime permanente seja menor que 𝛩𝑚á𝑥 3 Para simplificar o desenvolvimento da solução definese 2 termos 𝐴 𝑍 𝑎 e 𝐵 𝑍𝑏 𝑟𝑑 2 𝑏2 o Utilizando as definições de 𝐴 e 𝐵 dadas pela eq o podese escrever a eq j da seguinte forma 𝛩 𝐴 𝐵𝑟2 1 1 𝑟22 2𝜁𝑟² p Prof Milton Dias Junior Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Mecânica Departamento de Sistemas Integrados Laboratório de Dinâmica de Estruturas e Máquinas Vibrações de Sistemas Mecânicos Figura 3 Respostas permanentes total e parciais do sistema para uma amplitude de vibração do fulcro de 120𝑐𝑚 Substituindo 𝛩 por 𝛩𝑚á𝑥 na eq p e manipulandose a expressão resultante podese obter o seguinte polinômio 𝐵2 𝛩𝑚á𝑥 2 𝑟4 2𝐴𝐵 2𝛩𝑚á𝑥 2 4𝜁2𝑟2 𝐴2 𝛩𝑚á𝑥 2 0 q Substituindo os valores numéricos na eq q inclusive que 𝜁 0 obtémse que as raízes deste polinômio são 𝑟13 0653 e 𝑟24 15842 Descartando os valores negativos de 𝑟 uma vez que eles não têm significado físico temse que os únicos resultados válidos são 𝑟1 0653 e 𝑟2 15842 A Figura 4 ilustra a resposta permanente do sistema quando a amplitude de vibração do fulcro vale 𝑍 10𝑐𝑚 e confirma os resultados obtidos Estes valores de 𝑟1e 𝑟2 representam frequências de excitação iguais a 𝜔1 𝑟1𝜔𝑛 25041𝑟𝑎𝑑 𝑠 3985𝐻𝑧 e 𝜔2 𝑟2𝜔𝑛 60753𝑟𝑎𝑑 𝑠 9669𝐻𝑧 Portanto os valores de 𝜔 para que o deslocamento angular em regime permanente da barra seja menor que 3 quando 𝑍 10𝑐𝑚 são 𝜔 𝜔1 25041𝑟𝑎𝑑𝑠 e 𝜔 𝜔1 60753𝑟𝑎𝑑𝑠 Prof Milton Dias Junior Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Mecânica Departamento de Sistemas Integrados Laboratório de Dinâmica de Estruturas e Máquinas Vibrações de Sistemas Mecânicos Figura 4 Resposta permanente total do sistema para 𝑍 10𝑐𝑚 Prof Milton Dias Junior Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Mecânica Departamento de Sistemas Integrados Laboratório de Dinâmica de Estruturas e Máquinas Vibrações de Sistemas Mecânicos Questão 2 Uma pequena máquina de 450𝑘𝑔 instalado sobre calços elásticos deve ser isolada para diminuir a transmissibilidade de força para o solo Para determinar as características físicas destes calços que são desconhecidas realizouse um procedimento experimental através do qual se verificou que a defasagem entre a força externa aplicada e a resposta em regime era de 7597 para a máquina operando em 120𝑟𝑝𝑚 e para a máquina operando a 480𝑟𝑝𝑚 a defasagem medida foi de 172403 a Baseado nas informações fornecidas pelo experimento determine o coeficiente de amortecimento equivalente e a rigidez equivalente dos calços b Supondo que a máquina esteja sujeita à ação de uma força harmônica de amplitude constante igual a 500𝑁 independente da rotação da máquina determine a amplitude máxima da força resultante transmitida ao solo pelo calço quando a máquina acelera do repouso até a condição de operação em 480𝑟𝑝𝑚 c Considerando que a isolação do equipamento deve ser de no mínimo 80 e assumindo como primeira aproximação que a razão de amortecimento 𝜁 pode ser considerada constante determine a massa a ser adicionada à máquina para garantir a isolação desejada quando a máquina opera a 480𝑟𝑝𝑚 d Determine a razão de amortecimento real do sistema após a adição da massa à máquina Solução Resumo dos dados obtidos do procedimento experimental 1 com a máquina operando em 𝜔1 120𝑟𝑝𝑚 12566𝑟𝑎𝑑𝑠 a defasagem foi de 7597 01326𝑟𝑎𝑑 e 2 com a máquina operando a 𝜔2 480𝑟𝑝𝑚 50266𝑟𝑎𝑑𝑠 a defasagem medida foi de 𝜙2 172403 3009𝑟𝑎𝑑 A relação entre as duas velocidades de rotação é 𝜔2 𝛽𝜔1 sendo 𝛽 4 A amplitude da resposta em regime permanente é dada por 𝑋 𝐹0 𝑘𝑒𝑞 1 1 𝑟22 2𝜁𝑟² 𝐹0 𝑚𝑒𝑞𝜔𝑛2 1 1 𝑟22 2𝜁𝑟² a O ângulo de fase entre a força excitadora e a resposta em regime permanente é dada pela expressão tan 𝜙 2𝜁𝑟 1 𝑟2 b Sendo 𝜔𝑛 a frequência natural do sistema podese definir 𝑟1 𝜔1 𝜔𝑛 c e 𝑟2 𝜔2 𝜔𝑛 𝛽𝜔1 𝜔𝑛 𝛽𝑟1 d A primeira parte do procedimento experimental fornece que tan 𝜙1 2𝜁𝑟1 1 𝑟1 2 e Prof Milton Dias Junior Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Mecânica Departamento de Sistemas Integrados Laboratório de Dinâmica de Estruturas e Máquinas Vibrações de Sistemas Mecânicos Utilizando o resultado da eq d temse que a segunda parte do procedimento experimental fornece tan 𝜙2 2𝜁𝑟2 1 𝑟2 2 2𝜁𝛽𝑟1 1 𝛽2𝑟1 2 f Dividindo as eqs e e f obtémse 𝐴 tan 𝜙1 tan 𝜙2 2𝜁𝑟1 1 𝑟1 2 1 𝛽2𝑟1 2 2𝛽𝜁𝑟1 𝐴 1 𝛽2𝑟1 2 𝛽 𝛽𝑟1 2 g Da eq g obtémse que o 𝐴 1 Isolando 𝑟1 na eq g temse finalmente que 𝑟1 1 𝛽𝐴 𝛽2 𝛽𝐴 05 𝑟2 𝛽𝑟1 2 h Portanto a frequência natural do sistema vale 𝜔𝑛 𝜔1 𝑟1 12566 05 𝜔𝑛 25133𝑟𝑎𝑑 𝑠 4𝐻𝑧 i A rigidez equivalente do sistema é facilmente encontrada a partir da eq i da seguinte forma 𝑘𝑒𝑞 𝑚𝜔𝑛 2 𝑘𝑒𝑞 28424105 𝑁 𝑚 j A razão de amortecimento do sistema é obtida através da eq e e vale 𝜁 1 𝑟1 2 2𝑟1 tan 𝜙1 𝜁 01 100 k Sabendo os valores de frequência natural e razão de amortecimento do sistema é possível obter o coeficiente de amortecimento equivalente da seguinte forma 𝑐𝑒𝑞 2𝜁𝑚𝜔𝑛 𝑐𝑒𝑞 22627103 𝑁𝑠 𝑚 l A Figura 1 ilustra o comportamento da fase do sistema tratado neste problema e os resultados obtidos A segunda parte do problema pede para determinar a amplitude máxima da força resultante transmitida ao solo pelo calço quando a máquina acelera do repouso até a condição de operação em 480𝑟𝑝𝑚 Para tanto é necessário obter a razão de frequências em que a amplitude máxima de força ocorre Este valor é dado pela expressão 𝑟𝑚á𝑥 1 1 8𝜁2 2𝜁 m Substituindo o valor de 𝜁 dado pela eq k na eq m obtémse que 𝑟𝑚á𝑥 09903 A expressão da máxima força transmitida pelos calços é dada por 𝐹𝑇𝑚á𝑥 𝐹𝑜 1 2𝜁𝑟𝑚á𝑥2 1 𝑟𝑚á𝑥 2 2 2𝜁𝑟𝑚á𝑥2 n Prof Milton Dias Junior Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Mecânica Departamento de Sistemas Integrados Laboratório de Dinâmica de Estruturas e Máquinas Vibrações de Sistemas Mecânicos Figura 1 Fase da resposta permanente Substituindo o valor de 𝑟𝑚á𝑥 e de 𝜁 na eq n e lembrando que 𝐹𝑜 500𝑁 concluise que 𝐹𝑇𝑚á𝑥 25606𝑁 A terceira parte do problema pede para determinar a massa a ser adicionada à máquina para garantir uma isolação de no mínimo 80 quando a máquina opera a 480𝑟𝑝𝑚 Lembrar que uma isolação de 80 representa uma transmissibilidade de 20 A expressão da transmissibilidade de força para a base é dada por 𝑇 𝐹𝑇 𝐹𝑜 1 2𝜁𝑟2 1 𝑟22 2𝜁𝑟2 o Substituindo os valores da máquina na sua condição original em que a operação em 480𝑟𝑝𝑚 corresponde a 𝑟 𝑟2 2 ver eq h e 𝜁 10 na eq o obtémse que a transmissibilidade da máquina é 𝑇 3559 Este valor obviamente está acima do valor permitido Desta forma para reduzir a transmissibilidade é necessário adicionar uma determinada massa à máquina para diminuir a sua frequência natural fazendo com que a mesma opere em valores mais elevados de 𝑟 Elevando ambos os lados da eq o ao quadrado e rearranjando o resultado obtémse o seguinte polinômio 𝑇2𝑟4 4𝑇2 1𝜁2 2𝑇2𝑟2 𝑇2 1 0 p Prof Milton Dias Junior Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Mecânica Departamento de Sistemas Integrados Laboratório de Dinâmica de Estruturas e Máquinas Vibrações de Sistemas Mecânicos Para o caso em que se 𝜁 10 e sabendo que 𝑇 02 a eq p fornece as seguintes raízes 𝑟13 25687 e 𝑟24 𝑗19072 Como sempre as raízes negativas e as complexas podem ser descartadas restando portanto a raiz 𝑟1 25687 Portanto para que a transmissibilidade seja no máximo 20 o sistema deve operar em 𝑟 𝑟1 25687 Para atingir este objetivo é necessário adicionar massa ao sistema uma vez que as características da suspensão são fixas e a frequência de excitação está definida Assim a nova máxima frequência natural que o conjunto máquina massa adicionada grouting ou grauteamento deve ter para garantir um isolamento de 80 é 𝜔𝑛𝑎𝑑𝑖𝑐 𝜔2 𝑟1 50266 25687 𝜔𝑛𝑎𝑑𝑖𝑐 195687𝑟𝑎𝑑 𝑠 31145𝐻𝑧 q Portanto a massa que deve ser adicionada à máquina para que a frequência natural do conjunto seja igual àquela obtida na eq q é 𝜔𝑛𝑎𝑑𝑖𝑐 𝑘𝑒𝑞 𝑚 𝑚𝑎𝑑𝑖𝑐 𝑚𝑎𝑑𝑖𝑐 𝑘𝑒𝑞 𝜔𝑛𝑎𝑑𝑖𝑐 2 𝑚 𝑚𝑎𝑑𝑖𝑐 29228𝑘𝑔 r A Figura 2 ilustra as curvas de transmissibilidade do sistema original somente a máquina e modificado máquina massa adicionada destacando os valores de transmissibilidade na condição de operação em 480𝑟𝑝𝑚 Figura 2 Transmissibilidade do sistema original somente a máquina e modificado máquina massa adicionada Quando se adiciona a massa à máquina além da alteração na frequência natural Prof Milton Dias Junior Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Mecânica Departamento de Sistemas Integrados Laboratório de Dinâmica de Estruturas e Máquinas Vibrações de Sistemas Mecânicos também há uma variação da razão de amortecimento que foi desprezada por imposição do enunciado Esta nova razão de amortecimento vale 𝜁𝑎𝑑𝑖𝑐 𝑐𝑒𝑞 2𝑚 𝑚𝑎𝑑𝑖𝑐𝜔𝑛𝑎𝑑𝑖𝑐 𝜁𝑎𝑑𝑖𝑐 00779 779 Substituindo este valor de razão de amortecimento na eq o concluise que a transmissibilidade real vale 1921