Função Variavel

FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA LISTA DE EXERCÍCIOS I Questão 1 Considere um número complexo z 3 4i Calcule o conjugado de z e determine o módulo do produto de z pelo seu conjugado Explique o que representa o conjugado de um número complexo no contexto da representação geométrica de números complexos Questão 2 Considere o número complexo z 1 i onde i é a unidade imaginária Calcule o módulo e o argumento de z representando o argumento em radianos e em seguida expresse z na forma trigonométrica z rcostheta i sentheta onde r é o módulo de z e theta é o argumento de z em radianos Questão 3 Um sistema de comunicação utiliza números complexos para representar sinais Considere que um sinal é representado no plano complexo por z 3 4i Qual é o conjugado de z Explique como o conjugado de um número complexo pode ser usado para simplificar operações complexas como a divisão de números complexos Questão 4 Um avião está localizado no ponto A que é representado no plano complexo por A 3 2i onde i é a unidade imaginária O avião deve voar até o ponto B cuja posição no plano complexo é dada por B 1 4i Utilizando o conceito de módulo de números complexos determine a distância que o avião deve percorrer para ir do ponto A ao ponto B Questão 5 Um engenheiro elétrico está projetando um circuito que envolve um componente com impedância complexa A impedância do componente é dada por Z 3 4i ohms onde i é a unidade imaginária Calcule a parte real e a parte imaginária da impedância complexa Z e explique o significado dessas partes no contexto do circuito elétrico Além disso determine se a impedância Z é um número real imaginário puro ou simplesmente imaginário Questão 6 Considere um sistema de coordenadas complexas onde um número complexo z é representado no plano complexo como Px y onde x é a parte real de z e y é a parte imaginária de z Se z 2cos45 i sen45 determine o valor de z na forma algébrica e representeo no plano complexo Em seguida calcule o quadrado de z e represente o resultado no plano complexo também Questão 7 Um engenheiro elétrico está projetando um circuito que envolve componentes com impedâncias complexas Ele precisa calcular o conjugado de uma série de números complexos que representam essas impedâncias para garantir que o circuito funcione corretamente Um dos números complexos envolvidos no projeto é Z 3 5i Calcule o conjugado de Z e determine se a parte imaginária do conjugado é maior menor ou igual à parte imaginária de Z Questão 8 Considere um sistema de coordenadas no plano complexo onde o eixo real representa a parte real de um número complexo e o eixo imaginário a parte imaginária Um estudante de física utiliza a constante i raiz quadrada de 1 para representar a unidade imaginária em seus cálculos Durante um experimento ele encontra um número complexo z que ao ser multiplicado pelo seu conjugado z resulta em um número real positivo Sabese que o módulo do número complexo z é 5 e a parte real é 3 Qual é o valor do conjugado z de z Justifique sua resposta utilizando propriedades dos números complexos Questão 9 Considere um sistema de coordenadas onde a parte real de um número complexo z representa a abscissa e a parte imaginária a ordenada Um aluno está analisando o comportamento geométrico dos números complexos e propõe a seguinte questão Se z é um número complexo tal que z a bi onde a e b são reais e a2 b2 1 então qual é o local geométrico no plano complexo que z pode ocupar Descreva de forma clara e concisa o conjunto de todos os números complexos z que satisfazem a condição dada Responda explicando o que representam a e b no contexto dos números complexos e como a relação a2 b2 1 determina o conjunto de possíveis valores para z Questão 10 Um sinal de rádio é enviado a partir do ponto A representado pelo número complexo 3 4i e se propaga pelo espaço Um obstáculo no formato de um círculo de raio 1 centrado no ponto B também representado por um número complexo pode interferir na propagação do sinal Para garantir a qualidade da transmissão é necessário determinar se o sinal passará ou não pelo obstáculo Considerando que o sinal passará pelo obstáculo se e somente se o módulo da diferença entre o ponto de emissão do sinal e o ponto de interferência for maior que o raio do círculo de interferência calcule o módulo da diferença entre o ponto A e o ponto B para decidir se o sinal será afetado pelo obstáculo ou não Questão 11 Em uma competição de jogos eletrônicos um personagem se move no plano bidimensional onde cada ponto é representado como um número complexo O ponto de partida do personagem é o número complexo z0 3 4i que no mundo do jogo corresponde à base do jogador Durante uma jogada o personagem se teletransporta para um novo ponto z1 que no plano de Gauss é simétrico a z0 em relação ao eixo real O competidor então realiza um movimento que consiste em girar z1 de 90 graus no sentido antihorário em torno da origem Com base nas informações fornecidas 1 Determine as coordenadas do ponto z1 após o teletransporte 2 Calcule as coordenadas finais do personagem após a rotação de 90 graus sabendo que o cosseno de 90 graus é 0 e o seno de 90 graus é 1 Questão 12 Considere um sistema de coordenadas onde um número complexo z pode ser representado graficamente como um ponto no plano complexo com sua parte real representada no eixo x e sua parte imaginária no eixo y Seja z a bi um número complexo onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária O módulo de z denotado por z é a distância do ponto que representa z à origem desse sistema de coordenadas Com base nessa definição e sabendo que i2 1 responda 1 Como o conhecimento sobre o módulo de um número complexo pode ser aplicado na determinação da estabilidade de um sistema dinâmico como no estudo de circuitos elétricos 2 Calcule o módulo do número complexo z 3 4i e interprete o resultado no contexto do módulo de um número complexo Questão 13 Um sinal de comunicação instantânea entre duas equipes de engenheiros precisa ser enviado em um formato que leva em conta tanto a amplitude quanto a fase da onda de rádio utilizada Para isso é essencial o uso de números complexos na forma trigonométrica que incorpora informações sobre a fase argumento do número complexo Considere um número complexo z na forma trigonométrica z rcostheta i sentheta onde r é o módulo de z e theta é o argumento de z Dado o número complexo z 2cosπ4 i senπ4 escreva z na forma retangular ou algébrica a bi Além disso descreva a interpretação geométrica do número complexo z no plano de Argand Gauss explicando como a forma trigonométrica de z fornece informações sobre a amplitude e a fase da onda de rádio Questão 14 Um engenheiro elétrico está projetando um circuito que envolve o uso de números complexos para modelar as correntes e tensões que variam no tempo Ele sabe que um número complexo é composto por uma parte real e uma parte imaginária onde a parte imaginária é um múltiplo da unidade imaginária i que é a raiz quadrada de 1 O engenheiro tem dois números complexos z 3 4i e w 2 i Ele é questionado sobre as propriedades desses números incluindo se eles são reais imaginários puros ou puramente imaginários Além disso ele deve explicar como a soma e o produto desses números afetam a parte real e a parte imaginária resultante Com base nisso determine se z e w são reais imaginários puros ou puramente imaginários e discuta como a soma e o produto desses números complexos afetam suas partes real e imaginária Questão 15 Considerando o Plano de Gauss como representação geométrica dos números complexos onde cada número complexo corresponde a um ponto no plano associado ao par ordenado parte real parte imaginária um estudante de engenharia está analisando o campo de tensões em um material submetido a uma força Ele modela a tensão em um ponto como um número complexo z x yi onde x representa a tensão normal e y a tensão de cisalhamento no material Para um determinado ponto a tensão normal é de 300 unidades e a tensão de cisalhamento é de 400 unidades Item 1 Represente o número complexo correspondente a esta tensão no Plano de Gauss e calcule o módulo da tensão total no material Item 2 Considerando que o ângulo entre a tensão normal e a tensão total é um indicativo da direção da força resultante determine o ângulo que a tensão total faz com o eixo real do Plano de Gauss Questão 16 Considere um sistema de comunicação que utiliza números complexos para representar sinais Um sinal é transmitido como um número complexo cuja fase determina a informação a ser transferida e cujo módulo é diretamente proporcional à potência do sinal Um engenheiro de telecomunicações precisa analisar o sinal recebido em um ponto da rede que é representado pelo número complexo z 2 2i Determine o módulo deste sinal e explique em termos de comunicação o que esse módulo pode indicar sobre a qualidade ou a intensidade do sinal transmitido Em seguida discuta como a alteração do módulo do sinal pode afetar a recepção e a interpretação da informação Utilize a definição de módulo de um número complexo z sqrtx2 y2 onde z x yi e forneça uma resposta clara e detalhada que evidencie o entendimento do conceito de módulo de um número complexo e sua aplicação em um contexto de comunicação Questão 17 Considere um sistema de comunicação que utiliza números complexos para representar sinais Um sinal é representado por um número complexo z a bi onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária Um ponto P no plano de Gauss é associado a um sinal complexo z quando z é interpretado como um vetor que parte da origem e termina em P Sejam os pontos A e B no plano de Gauss associados aos sinais complexos z1 1 i e z2 2 i respectivamente Item 1 Determine a forma trigonométrica do número complexo associado ao ponto A Item 2 Calcule o argumento do número complexo associado ao ponto B em radianos e determine a interpretação desse argumento no contexto do sistema de comunicação considerando que o argumento de um número complexo indica a fase do sinal que ele representa Questão 18 Em um projeto de engenharia um sistema de controle de temperatura utiliza números complexos para representar as fases e amplitudes das ondas de calor Um dos componentes do sistema é responsável por ajustar a amplitude das ondas em uma proporção dada por um número complexo fixo Esse componente recebe como entrada uma onda de calor representada pelo número complexo z 3 4i e a ajusta multiplicando a pelo número complexo fixo w 2 i Ao receber a onda de calor z o componente deve realizar a multiplicação e em seguida subtrair do resultado o número complexo conjugado de z a Calcule o produto zw e simplifique o resultado b Subtraia do resultado da multiplicação o número complexo conjugado de z e determine a parte real e a parte imaginária do resultado final Explique como a operação de subtração afeta a fase e a amplitude da onda de calor representada pelo número complexo resultante Questão 19 Considere um sistema de comunicação que utiliza números complexos para representar sinais Um sinal é transmitido no formato de um número complexo z x yi onde x e y são números reais e i é a unidade imaginária No receptor o sinal passa por um circuito que multiplica o número complexo recebido por outro número complexo fixo w cosθ senθi que corresponde a um ângulo de fase na representação polar Essa operação tem o efeito de rodar o sinal no plano de Gauss alterando sua fase Após a multiplicação o receptor precisa determinar a fase do sinal resultante para processar corretamente a informação Considere que um sinal complexo z1 3 4i é recebido e multiplicado por um número complexo w com θ π6 Qual é a fase do sinal resultante após a multiplicação Descreva os passos para determinar a fase do sinal resultante incluindo a representação do sinal no plano de Gauss a multiplicação pelo número complexo w e a transformação do número complexo resultado para sua forma trigonométrica Matemática Aplicada Questão 1 O conjugado de Z é Z 3 4i Então Z Z 3 4i3 4i 3² 4²i² 9 16 25 25 No contexto da representação geométrica dos números complexos o conjugado representa a reflexão de Z em relação ao eixo real Questão 2 Temos que r Z 1² 1² 2 θ arctg31 5π4 ou 225 3º quadrante Logo Z 2 cos5π4 i sen5π4 Questão 3 O conjugado de Z é Z 3 4i Temos que dado um número complexo W a multiplicação de W pelo seu conjugado é um número real Assim podemos simplificar as contas da seguinte forma ZW ZW ZWWW pois se W a bi então WW a bia bi a² bi² a² b² W² Questão 4 O avião percorrerá uma distância d B A Visto que B 1 4i e A 3 2i temos d 1 4i 3 2i 4 6i 4² 6² 52 213 Questão 5 Temos que a parte real de Z é 3 e a parte imaginária é 4 No contexto de circuitos elétricos a parte real de Z representa a resistência elétrica que evita a livre passagem de corrente elétrica e dissipa energia em forma de calor Por outro lado a parte imaginária de Z representa a resistência elétrica isto é a oposição que um componente oferece à passagem de corrente alternada A resistência está relacionada com a capacidade do componente liberar e armazenar energia Por fim a impedância é um número com parte real e imaginária Questão 6 Temos que Z 2 cos45 i sen45 2 22 i 22 2 i2 Além disso Z² 2² cos45 45 i sen45 45 4 cos90 i sen90 4i Questão 7 Como Z 3 5i temos que Z 3 5i logo a parte imaginária de Z é menor que a parte imaginária de Z Questão 8 O módulo de Z é 5 e a parte real é 3 Então Z 3 bi e Z 3 bi Assim 25 5² Z² Z Z 3 bi3 bi 9 b² b² 25 9 16 b 4 Como Z 3 4i o conjugado é Z 3 4i Questão 9 Temos que a² b² a² b²² Z² então os números complexos que satisfazem a equação são tais que Z² 1 Z 1 Portanto os números que satisfazem a condição são aqueles que estão a uma distância de 1 unidade da origem Questão 10 Temos que A B 3 4i a bi 3 a 4 bi 3 a² 4 b² 9 6a a² 16 8b b² 25 6a a² 8b b² Logo o sinal não será afetado se 25 6a a² 8b b² 1 25 6a a² 8b b² 1³ a² 6a b² 8b 24 a² 6a b² 8b 24 Questão 11 1 Temos que Z₁ Z₀ 3 4i 2 Z₂ Z₁ cos90 i sen90 3 4i 0 i 3i 4i² 4 3i Questão 12 1 O critério de estabilidade diz que uma estrutura só está em equilíbrio se suas frequências naturais forem reais No contexto de circuitos quanto mais próximo da parte real de Z for o módulo de z mais econômico e eficiente será a transmissão de energia 2 Z₁ 3² 4² 25 5 Questão 13 Z 2 cosπ4 i senπ4 2 22 i 22 2 i2 Z pode ser interpretado geometricamente como o vetor 2 2 Graças à representação trigonométrica obtemos a distância de Z até a origem dada por Z comprimento do vetor e a inclinação do vetor em relação ao eixo real dados pelo argumento de Z Questão 14 Tanto Z quanto W são números complexos com parte real e imaginária Além disso ao realizar a soma de Z e W suas partes reais são somadas assim como suas partes imagi várias Por fim ao multiplicar Z e w multiplicamos seus módulos e somamos seus argumentos assim suas partes real e imaginária serão alteradas em função de v e θ Questão 15 Item 1 Z30024002 250000 500 Item 2 θ arcoos300500 093 ou 5313º Questão 16 Temos que Z 2222 44 8 22 θ arctg32 π4 Em sistemas de comunicação o módulo representa a intensidade do sinal Assim se o módulo de Z for muito baixo pode haver dificuldades de detectar o sinal Se o módulo for muito grande pode haver distorção do sinal Portanto para haver uma boa recepção do sinal e uma boa interpretação da informação é importante manter o módulo do sinal numa faixa adequada Questão 17 Item 1 Z11212 2 e θ arctg11 π4 logo Z1 2cos π4 i sen π4 Item 2 θ arctg12 266º O argumento é negativo isto pode significar um atraso do sinal em relação a um ponto de referência Questão 18a ZW 34i2i 63i 8i 4i2 10 5i b ZW Z 10 5i 34i 7 9i Ao subtrair o conjugado estamos aumentando a medida do ângulo da fase em valor absoluto Isto faz com que a parte imaginária aumente Neste caso a amplitude também aumentou Questão 19 1º Representamos o sinal no plano de Gauss 2º Multiplicamos Z por w cos π6 i sen π6 ZW 34i 32 i2 332 3i2 43i2 4i2 332 2 343i2 3º Calculamos a nova fase θ arctg 3 432 23 42 arctg 3 4333 4 145