Lista de Exercícios - Cálculo Diferencial e Aplicações

2012 Foinos dado que Δx 02 Δy 02 e Δz 02 Para estimarmos o maior erro no volume utilizamos portanto dx 02 dy 02 e dz 02 junto com x 75 y 60 e 604002 754002 756002 1980 Portanto um erro de apenas 02 cm nas medidas de cada dimensão pode nos levar a um erro da ordem de 1980 cm³ no cálculo do volume Isso pode parecer um erro muito grande mas na verdade é um erro de apenas cerca de 1 do volume da caixa 144 Exercícios 16 Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado 1 z x² y² 2 1 3 2 z 3x 1² 2y 3² 7 2 2 12 3 z xy 1 1 1 4 z exf 2 0 2 5 z x senx y 1 1 0 6 z Inx 2y 3 1 0 78 Desenhe a superfície e o plano tangente no ponto dado Escolha o domínio e o ponto de vista de modo a ver tanto a superfície quanto o plano tangente Em seguida dê zoom até que a superfície e o plano tangente se tornem indistinguíveis 7 z x² xy 3y² 1 1 5 8 z arctgxy² 1 1 π4 910 Desenhe o gráfico de f e de seu plano tangente no ponto dado Utilize um sistema de computação algébrica tanto para calcular as derivadas parciais quanto para traçar os gráficos da função e de seu plano tangente Em seguida dê zoom até que a superfície e o plano tangente se tornem indistinguíveis 9 fx y xy senx y1 x² y² 1 1 0 1 1 0 10 fx y x³ x xy 1 1 332 1116 Explique por que a função é diferenciável no ponto dado A seguir encontre a linearização Lx y da função naquele ponto 11 fx y 1 x lnxy 5 2 3 12 fx y x³y⁴ 1 1 13 fx y x y y 2 1 14 fx y x exy 3 0 15 fx y ex cos y π 0 16 fx y y senxy 0 3 1718 Verifique a aproximação linear em 0 0 17 2x 3 18 y cos πx 1 y 47 33 2x 12y É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador É necessário usar um sistema de computação algébrica 1 As Homework Hints estão disponíveis em wwwstewartcalculuscom 19 Dado que f é uma função diferenciável f2 5 6 f2 5 1 e f2 5 1 use uma aproximação linear para estimar f2 49 20 Determine a aproximação linear da função fx y 1 xy cos πy em 1 1 e usea para aproximar o número f102 097 Ilustre traçando o gráfico de f e do plano tangente 21 Determine a aproximação linear da função fx y z x² y² z² em 3 2 6 e usea para aproximar o número 3 ² 197² 599² 22 A altura h de ondas em mar aberto depende da velocidade do vento v e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela intensidade Os valores da função h fv t são apresentados na seguinte tabela Use a tabela para determinar uma aproximação linear da função altura da onda quando t está próximo de 80 kmh e t está próximo de 20 horas Em seguida estime a altura das ondas quando está ventando por 24 horas a 84 kmh Velocidade do vento kmh 5 10 15 20 30 40 50 t h 40 15 22 24 25 27 28 28 60 28 40 49 52 55 58 59 80 43 64 77 86 95 101 102 100 58 89 110 122 138 147 153 120 74 113 144 166 190 205 211 23 Utilize a tabela do Exemplo 3 para encontrar a aproximação linear da função humidex quando a temperatura está próxima de 32 C e a umidade relativa do ar é de aproximadamente 65 Estime também o humidex quando a temperatura é de 33 C e a umidade relativa 63 24 O índice de sensação térmica W é a temperatura sentida quando a temperatura real é T e a velocidade do vento v Portanto podemos escrever W fT v A tabela de valores a seguir foi extraída da Tabela 1 da Seção 141 Use essa tabela para determinar a aproximação linear da função de sensação térmica quando T estiver a 15 C e v estiver próximo de 50 kmh Estime a seguir a sensação térmica quando a temperatura estiver a 17 C e a velocidade do vento for de 55 kmh 830 CÁLCULO Velocidade do vento kmh 38 A pressão o volume e a temperatura de um mol de um gás ideal estão relacionados pela equação PV 8317 onde P é medida em quilopascals V em litros e T em kelvins Utilize diferenciais para determinar a variação aproximada da pressão se o volume aumenta de 12 L para 123 L e a temperatura decresce de 310 K para 305 K 39 Se R é a resistência equivalente de três resistores conectados em paralelo com resistências R₁ R₂ e R₃ então 1R 1R₁ 1R₂ 1R₃ Se as resistências são medidas em ohms como R₁ 25 Ω R₂ 40 Ω e R₃ 50 Ω com margem de erro de 05 em cada uma estime o erro máximo no valor calculado de R 2530 Determine a diferencial da função 25 z ex² cos 2π 26 t x² 3y² 27 m p⁴q 28 T u uw 29 R apβ cos λ 30 L x² y² z² 40 Quatro números positivos cada um menor que 50 são arredondados até a primeira casa decimal e depois multiplicados Utilize diferenciais para estimar o máximo erro possível no cálculo do produto que pode resultar do arredondamento 31 Se z Sx⁴ y³ e x y varia de 1 2 a 105 21 compare os valores de Δz e dz 32 Se z x² y³ 3x² x y varia de 3 1 a 296 095 compare os valores de Δz e dz 33 O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm respectivamente com um erro de medida de no máximo 01 cm Utilize as diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo 34 Use diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica fechada de 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro se o metal das tampas de cima e de baixo possui 01 cm de espessura e o das laterais tem espessura de 005 cm 35 Utilize diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma 41 Um modelo para a área da superfície do corpo humano é dado por S 7209ρ⁰⁴⁵ h⁰⁵² onde ρ é o peso em quilogramas h é a altura em centimetros e S é a medida em centimetros quadrados Se os erros nas medidas de e h e forem no máximo de 2 use diferenciais para estimar a percentagem de erro máxima na área da superfície calculada 42 Suponha que você precise saber uma equação do plano tangente à superfície S no ponto P2 1 3 Você não tem uma equação para S mas sabe que as curvas rt 2 3t 1 t² 3 4t t³ st 1 t² 2t² 1 2t 1 eadictunespbr