Lista de Exercícios Resolvidos - Derivadas Parciais e Funções Multivariáveis

2012 III 78 É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador É necessário usar um sistema de computação algébrica 1 As Homework Hints estão disponíveis em wwwstewartcalculuscom DERIVADAS PARCIAIS 821 10 Um mapa de contorno de uma função f é apresentado Utilizeo para estimar f2 1 e f2 1 11 Se fxy 16 4x2 y2 determine f1 2 e f1 2 e interprete esses números como inclinações Ilustre ou com um esboço à mão ou utilizando o computador 12 Se fxy 4 x2 4y2 determine f1 0 e f1 0 e interprete esses números como inclinações Ilustre ou com um esboço à mão ou utilizando o computador 1314 Determine f e f e faça os gráficos f f e f com domínios e pontos de vista que lhe permitam ver a relação entre eles 13 fx y x2y 14 fx y y 1 xy2 1540 Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função 15 fxy y5 3xy 16 fx y xy4 8x2y 17 fx y ex cos πx 18 fx t x ln t 19 z 2x 3y10 20 z tgxy 21 fx y xy 22 fx y xy x y2 23 fx y ax by cx dy 24 w 1 t u 25 gu v u2 v38 26 fx t arctgx t 27 w sen a cos β 28 fx y x2 29 Fx y cos εr dr 30 F a b r2 1 dt 31 fx y z xz 5x3y2 32 fx y z x seny z 33 w lnx 2y 3z 34 w zxy 35 u xy sen1yz 36 u xrt 37 hx y z t x2y cosxt 38 ϕx y z t x βy2 γc βy2 39 u x2 x2 x2 40 u senx 2x nx 4144 Determine as derivadas parciais indicadas 41 fx y lnx x2 y2 f3 4 42 fx y arctgyx f2 3 43 fx y z y x y z f2 1 1 44 fx y z sen2 x sen2 y sen2 z f0 0 π4 4546 Use a definição de derivadas parciais como limites para encontrar fxx y e fyx y 45 fx y x3 y3 46 fx y x x2 y2 4750 Use a derivação implícita para encontrar 2zx e 2zy 47 x2 2y2 3z2 1 48 x2 y2 z2 2z 4 49 ex xyz 50 yz x ln y z2 5152 Determine 2zx e 2zy 51 a z fx gy b z fx y 52 a z fxgy b z fxy c z fxy 5358 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem 53 fxy x3y4 2x4y 54 fxy senmnx ny 55 w x2 y2 56 w xy x y 57 z arctg x y 1 xy 58 y exy 5962 Verifique se a conclusão do Teorema de Clairaut é válida isto é wxy wyx 59 w x3y2 y3 60 w ex sen y 61 u cos πx 62 w lnx 2y 6370 Determine as derivadas parcialis indicadas 63 fx y x3y4 x7y5 fx fxx fxy fxxy 64 fx y sen2x 5y fxy 65 fx y z exyz fxxy 66 u esenσt σt 67 u esen θ 2u t2 θ 68 z w ww 2z w w 69 w y y 2x 2w x y 2w x2 y 70 w xy zt 3w x2 y z 71 Se fx y z xy z1x arcsenx y determine fxy Dica Qual ordem de diferenciação é a mais fácil 72 Se gx y z 1 x x2 y determine gxx Dica Use uma ordem de diferenciação diferente para cada termo 73 Use a tabela de valores de fx y para estimar os valores de f3 2 f3 2 2 e fx3 2 X 18 20 22 25 125 102 93 30 181 175 159 35 200 224 261 822 CÁLCULO 74 As curvas de nível são mostradas para uma função f Determine se as seguintes derivadas parciais são positivas ou negativas no ponto P a fx b fy c fxy d fyx e fy 84 Mostre que a função produção de CobbDouglas P bLα Kβ satisfaz a equação La PL Kβ PK α βP 85 Mostre que a função produção de CobbDouglas satisfaz PL K0 CK0Lα resolvendo a equação diferencial dPdL α L P Veja a Equação 6 86 Cobb e Douglas usaram a equação PL K 101L075 K025 para o modelo de economia norteamericana de 1899 a 1922 onde L é a quantidade de trabalho e K a quantidade de capital Veja o Exemplo 3 na Seção 141 a Calcule P e Pk 75 Verifique se a função u et sin kx é solução da equação de eadictunespbr