Lista de Exercícios Resolvendo Limites e Continuidade em Funções de Várias Variáveis

142 Exercícios 1 Suponha que lim xy 31 fxy 6 O que podemos dizer do valor de f31 E se a função f for contínua 2 Explique por que cada função é contínua ou descontínua a A temperatura externa como função da latitude da longitude e do tempo b A altura acima do nível do mar como função da longitude da latitude e do tempo c O custo da tarifa do táxi como função da distância percorrida e do tempo gasto 34 Utilize uma tabela de valores numéricos de fxy para xy perto da origem para conjecturar sobre o limite de fxy quando xy 00 Em seguida explique por que sua conjectura está correta 3 fxy x2 y2 x y3 5 2x y 4 fxy 2xy x2 2y2 522 Determine o limite se existir ou mostre que o limite não existe 5 lim xy12 5x3 x2 y3 6 lim xy 12 ex cosx y 7 lim xy31 4 x y x2 3 y2 8 lim xy11 ln1 y2 x2 x y 9 lim xy00 x4 y4 x2 2 y2 10 lim xy00 x2 sen7 y 2 x2 y7 11 lim xy00 x y cos y 3 x2 y2 12 lim xy00 x 12 y2 x y 13 lim xy00 x y x2 y2 14 lim xy00 x4 y4 x2 y2 15 lim xy00 x2 y ey 4 4 y2 16 lim xy00 x2 sen7 y x2 2 y2 17 lim xy00 x2 y2 x2 y2 1 1 18 lim xy00 x y4 x2 y4 19 lim xy00 et gx z 20 lim xy00 x y y2 x2 y2 21 lim xy00 x y y2 x2 x2 y2 z2 22 lim xy00 x4 y4 9 z2 x4 9 y4 2324 Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe 23 lim xy00 2 x2 3 x y 4 y2 3 x4 5 y2 24 lim xy00 x y3 x2 y6 É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador 1 As Homework Hints estão disponíveis em wwwstewartcalculuscom 2526 Determine hxy gfxy e o conjunto no qual h é contínua 25 gt t t fxy 2x 3y 6 26 gt t ln t fxy 1 xy 1 x2 y2 2728 Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua Em seguida utilize a fórmula para explicar o que você observou 27 fxy e1xy 28 fxy 1 1 x2 y2 2938 Determine o maior conjunto no qual a função é contínua 29 Fxy x y 1 ey 30 Fxy cos1 x y 31 Fxy 1 x2 y2 1 x2 y2 32 Hxy ex ey ex 1 33 Gxy lnx4 y4 4 34 Gxy tg1x y2 35 fxyz arcsenx2 y2 z2 36 fxyz y x2 ln z 37 fxy 1 2 x2 y2 if xy 00 1 if xy 00 38 fxy xy x2 y2 if xy 00 0 if xy 00 3941 Utilize coordenadas polares para determinar o limite Se rθ são as coordenadas polares do ponto xy com r0 observe que r0 quando xy00 39 lim xy00 x2 y2 x2 y2 40 lim xy00 x2 y2 lnx2 y2 41 lim xy00 ex2 y2 1 x2 y2 42 No início desta seção consideramos a função fxy senx2 y2 x2 y2 e conjecturamos que fxy1 quando xy00 com base em evidências numéricas Utilize coordenadas polares para comprovar o valor do limite Em seguida faça o gráfico da função 43 Trace o gráfico e analise a continuidade da função fxy sen xy xy se xy 0 1 se xy 0 44 Seja fxy 0 se y 0 ou y x4 1 se 0 y x4 a Mostre que fxy 0 quando xy 00 por qualquer caminho da forma y m x4 passando por 00 com a 4 b Independentemente do item a mostre que f é descontínua em 00 c Mostre que f é descontínua em duas curvas inteiras 45 Mostre que a função f dada por fx x é contínua em Rn Dica Considere x a x ax a 46 Se c V mostre que a função f dada por fx c x é contínua em Rn 143 Derivadas Parciais Em um dia quente a umidade muito alta aumenta a sensação de calor ao passo que se o está muito seco temos a sensação de temperatura mais baixa que a indicada no termômetro O Serviço Meteorológico do Canadá introduziu o humíder ou índice de temperaturaumidade para descrever os efeitos combinados da temperatura e umidade O humíder I é a temperatura aparente do ar quando a temperatura real for T e a umidade relativa for H Desse