Avaliação de Álgebra Linear II - Operadores, Autovalores e Produtos Internos

Avaliação de Álgebra Linear II EaD Professor Dr C A Bonin 24062023 Observação resolva esta avaliação e faça upload da sua resolução Não esqueça de enumerar as questões nas respostas nem de escrever seu nome completo na resolução 1 A seguir estão listados alguns operadores lineares sobre o ℝ² e sobre o ℝ³ Verifique quais deles são inversíveis Determine o inverso de cada operador regular a T ℝ² ℝ² Txy 3x 4y x 2y 8 pontos b T ℝ³ ℝ³ Txyz x y z 2y z x y 9 pontos 2 Calcule os autovalores e os autovetores das matrizes abaixo a A 1 3 1 5 8 pontos b A 0 0 2 0 1 0 2 0 0 9 pontos 3 Sejam u x₁ y₁ z₁ e v x₂ y₂ z₂ vetores quaisquer do ℝ³ Verifique se as funções definidas abaixo são produtos internos a u v x₁x₂ 3y₁y₂ 8 pontos b u v 3x₁x₂ 5y₁y₂ 2z₁z₂ 8 pontos 4 Consideremos o seguinte produto interno em P₂ p q a₂b₂ a₁b₁ a₀b₀ sendo p a₂x² a₁x a₀ e q b₂x² b₁x b₀ Dados os vetores p₁ x² 2x 3 p₂ 3x 4 e p₃ 1 x² calcule a a distância entre p₁ e p₂ 8 pontos b o ângulo entre p₂ e p₃ 9 pontos 5 Seja f ℝ² ℝ² ℝ definida por fx₁x₂ y₁y₂ 2x₁y₁ 3x₁y₂ x₂y₂ 1 a Verifique se f é uma forma bilinear 8 pontos b Encontre a matriz B de f na base 2111 8 pontos 6 Dadas as formas quadráticas abaixo utilize o método de Lagrange para exprimilas como somas e diferenças de quadrados e a partir daí determine o índice e o posto de cada uma delas a φxy x² 9y² 6xy 8 pontos b ξxyz x² 2xy z² 3xz y² 2yz 9 pontos 1 solução a Note que xy ker T se e só se Txy 00 isto é 3x 4y x 2y 00 Logo 3x 4y 0 x 2y 0 x 2y Portanto 0 3x 4y 6y 4y 2y y 0 donde x y 0 e concluímos que T é inversível Dado ab R² resolvendo T xy ab conseguimos o operador inverso T¹ Assim Txy ab 3x4y x2y ab 3x4ya x2yb x0y a2b Logo x a 2b e vem que 2y b x a 3b y a2 32 b Logo T¹ R² R² é dado por T¹ab a 2b a2 32 b Como 0 x y z y y 2y 0y é verdade para todo y R concluímos que ker T xyz R³ x y z 2y isto é T não é injetor e portanto não é inversível b Note que xyz ker T se e só se Txyz000 xyz 2yz xy000 xyz0 2yz0 xy0 xy e z2y 2 Solução a Dada A 1 3 1 5 temos que λ é autovalor de A se e só se detA λI 0 Daí 0 1 λ 3 1 5 λ 1 λ5 λ 3 5 6λ λ² 3 λ² 6λ 8 λ 2λ 4 Logo temos os autovalores λ₁ 2 e λ₂ 4 O autovetor associado a λ₁ 2 Ax y 2x y x 3y x 5y 2x 2y x 3y 2x x 5y 2y x 3y 0 x 3y Fazendo y 1 obtemos o autovetor v₁ 3 1 Para λ₂ 4 Ax y 4x y x 3y x 5y 4x 4y x 3y 4x x 5y 4y 3x 3y 0 x y Escolhendo y 1 encontramos o autovetor v₂ 1 1 b Dada A 0 0 2 0 1 0 2 0 0 então 0 detA λI λ 0 2 0 1λ 0 2 0 λ λ1λλ 41λ λ² 41 λ λ 2λ 21 λ Logo os autovalores são λ₁ 2 λ₂ 2 λ₃ 1 Para λ₁ 2 Ax y z 2x y z 2z y 2x 2x 2y 2z 2x 2z e 2y y isto é x z e y 0 Escolhendo z 1 temos v₁ 1 0 1 autovetor associado a λ₁ Para λ₂ 2 A x y z 2 x y z 2z y 2x 2x 2y 2z 2z 2x e 2y y x z e y 0 Escolhendo z 1 obtemos r₂ 1 0 1 autovetor associado a λ₂ Para λ₃ 1 A x y z 1 x y z 2z y 2x x y z 2z x y y 2x z Daí como x 2z temos z 2x 4z z 0 x 0 e y ℝ Tomando y 1 encontramos r₃ 0 1 0 autovetor associado a λ₃ 3 Solução a Dados u x₁ y₁ z₁ v x₂ y₂ z₂ ℝ³ defina u v x₁x₂ 3y₁y₂ Se isto define um produto interno então u u 0 se u 0 Escolha u 0 0 1 Então u 0 mas u u 0 Logo não define um produto interno em ℝ³ b Dados u x₁ y₁ z₁ v x₂ y₂ z₂ ℝ³ defina u v 3x₁x₂ 5y₁y₂ 2z₁z₂ Note que se w x₃ y₃ z₃ e λ ℝ temos i u v w x₁ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂ x₃ y₃ z₃ 3x₁ x₂ x₃ 5y₁ y₂ y₃ 2z₁ z₂ z₃ 3x₁x₃ 5y₁y₃ 2z₁z₃ 3x₂ x₃ 5 y₂ y₃ 2z₂ z₃ u w v w ii λu v λx₁ λy₁ λz₁ x₂ y₂ z₂ 3λx₁ x₂ 5λy₁ y₂ 2λz₁ z₂ λ 3x₁x₂ 5y₁y₂ 2z₁z₂ λ u v iii u v 3x₁x₂ 5y₁y₂ 2z₁z₂ 3x₂x₁ 5y₂y₁ 2z₂z₁ v u iv u u 3x₁² 5y₁² 2z₁² 0 se u 0 Logo define um produto interno 4 Solução a Sendo p₁ x² 2x 3 e p₂ 3x 4 temos que a distância de p₁ a p₂ é dp₁ p₂ p₂ p₁ p₂ p₁ x² 5x 7 x² 5x 7 1 25 49 75 53 b Sendo p₂ 3x 4 e p₃ x² 1 se θ é o ângulo formado por p₂ e p₃ então cosθ p₂ p₃ p₂ p₃ 4 25 2 4 52 42 5 2 22 5 θ cos¹22 5 5 Solução a Sendo f ℝ² x ℝ² ℝ dada por fx₁ x₂ y₁ y₂ 2x₁y₁ 3x₁y₂ x₂y₂ temos i fλx₁ x₂ x₃ x₄ y₁ y₂ fλx₁ x₃ λx₂ x₄ y₁ y₂ 2λx₁ x₃y₁ 3λx₁ x₃y₂ λx₂ x₄y₂ λ2x₁y₁ 3x₁y₂ x₂y₂ 2x₃y₁ 3x₃y₂ x₄y₂ λfx₁ x₂ y₁ y₂ fx₃ x₄ y₁ y₂ ii fx₁ x₂ λy₁ y₂ y₃ y₄ fx₁ x₂ λy₁ y₃ λy₂ y₄ 2x₁λy₁ y₃ 3x₁λy₂ y₄ x₂λy₂ y₄ λ2x₁y₁ 3x₁y₂ x₂y₂ 2x₁y₃ 3x₁y₄ x₂y₄ λfx₁ x₂ y₁ y₂ fx₁ x₂ y₃ y₄ Logo f é bilinear b Seja A aᵢⱼᵢⱼ a matriz de f na base 21 11 Então a₁₁ f2121 a₁₂ f2111 a₂₁ f1121 e a₂₂ f1111 Assim a₁₁ 222 321 11 3 a₁₂ 221 321 11 9 a₂₁ 212 311 11 0 a₂₂ 211 311 11 6 λ2x₁y₁ 3x₁y₂ x₂y₂ 2x₁y₃ 3x₁y₄ x₂y₄ λfx₁ x₂ y₁ y₂ fx₁ x₂ y₃ y₄ Logo f define um produto interno 4 Solução a Sendo p₁ x² 2x 3 e p₂ 3x 4 temos que a distância de p₁ a p₂ é dp₁ p₂ p₂ p₁ p₂ p₁ x² 5x 7 x² 5x 7 1 25 49 75 53 b Sendo p₂ 3x 4 e p₃ x² 1 se θ é o ângulo formado por p₂ e p₃ então cosθ p₂ p₃ p₂ p₃ 4 25 2 4 52 42 5 2 22 5 θ cos¹22 5 Logo A 3 9 0 6 6 Solução a Usando o método de Lagrange para ϕxy x² 9y² 6xy b Sendo ϕ₃xyz x² 2xy z² 3xz y² 2yz vamos juntar os termos que tem x x² 2xy 3xz x² x2y 3z x² x2y 3z 142y 3z² 142y 3z² x 122y 3z² 142y 3z² x y 32z² 142y 3z² Daí fazendo s x y 32z ϕ₃xyz x y 32z² 142y 3z² z² y² 2yz s² 142y 3z² z² y² 2yz Juntando os termos que dependem de y 142y 3z² y² 2yz y² 3yz 94z² y² 2yz yz 94z² 1 y² yz 94z² 19y² 6 Solução a Note que ϕxy x² 9y² 6xy x 3y² Logo fazendo y₁ x 3y temos que ϕxy x² 9y² 6xy y₁² e concluímos que o índice é 0 e o posto é 1 y3 3z22 y29 Fazendo r y3 3z2 gx y z 52 y3 3z22 y29 z2 52 r2 y29 z2 Logo fazendo y1 r y2 5 y3 y3 e y4 z gx y z y12 y22 y32 y42 E concluímos que o índice é 1 e o posto 4