Formas Bilineares e Matrizes em Espaços Vetoriais

Algebra Linear II formas Dr C A Bonin May 15 2023 1 Formas quadraticas Sejam V e W espacos vetoriais Uma forma bilinear b V x W Ré uma fungao b uv linear em cada uma das duas varidveis u Ve v W Mais precisamente para quaisquer uu V vv W eae R valem butulv buvdwv 1 buvte buv bur 2 bauv abuv 3 buav abuv 4 Exercicio seja BV x W bV x W R Mostre que B é um espaco vetorial Definigao tomandose bases D v1v2Ume E wy woWn de V e de W respectivamente os nimeros 6 bvw definem uma matriz B bj M mn chamada de a matriz da forma bilinear b relativamente as bases D e E Conhecendose os valores b b v w a forma bilinear b V x W R fica inteiramente determinada pois para v Y viv E Ve w DO yyw CW quaisquer vale bvw b So avi So yyw i1 jl SOS o xiyjd vi vj i1 jl DD ainibis 5 i1 jl A correspondéncia que associa a cada forma bilinear b V x W R sua matriz B b relativamente as bases D C V e E C W é um isomorfismo entre os espacos vetoriais BV x W e M mn sendo dim V me dimW n Segue disto que dim BV x W dim M mn mn 1 Teorema se B 6 a matriz da forma bilinear b Vx W R relativamente as bases D e E de V e de W respectivamente B b4 éa matriz da forma bilinear b V x W R relativamente as bases D e E de V e de W respectivamente P é a matriz de mudanga de base de D para D e Q é a matriz de mudanca de base de FE para E entao B P BQ Demonstragao denotemos D vv2Um D vv5 Unf E W1 W2 Wn eb W1Wo Wh fs P Piz M mm e Q gij M nn Por definigao para todos i 12me 7 12n valem m vf So privrs 6 r1 n w S dsj Ws 7 sl1 Com isto calculamos o elemento da iésima linha e da jésima coluna de B bis b vj v5 m n Sern wm r1 sl1 m n So So pirgisd up Ws r1 s1 m n S S Prifsj brs r1 s1 m n S S Pribrs dsj r1 s1 m n S S Pi brs qsj r1 s1 T quod erat demonstrandum Quando V W referirnosemos 4 matriz de uma forma bilinear B V x V R relativamente a uma tnica base Se B é a matriz da mesma forma bilinear B em relacdo a outra base D de V entao B P BP sendo P a matriz de mudanca de base D para D A correspondéncia b B define um isomorfismo enre BV x V e M mm estabelecido com a ajuda da base D Sendo D v1v2Um uma base de V dados u So vivj ev i Ujvj arbitrariamente em V e denotando B b a matriz da forma bilinear b V x V R na base D temos n buv S bij Xiy 9 ijl 2 Assim buv 6 um polinomio homogéneo de segundo grau em relacéo as coordenadas dos vetores u e v na base D Uma forma bilinear b V x V R é chamada de uma forma bilinear simétrica quando buv bvu para qualquer uv V x V Para que b seja simétrica é suficiente que sua matriz em relacéo a uma base D de V seja simétrica e é necessdério que sua matriz em relacao a qualquer base de V seja simétrica Com efeito se bj bji n buv So biyxiy ijl n SO djiy ijl n SO bijajy ijl n SO bijyix ijl Ovu 10 Analogamente uma forma bilinear b V x V é chamada de uma forma antissimétrica quando buv bvu Exercicio mostre que toda forma bilinear pode ser escrita como a soma de uma forma simétrica com uma forma antissimétrica Exercicio mostre que uma forma bilinear simultaneamente simétrica e antissimétrica é a forma nula Exercicio mostre que Bs V x V 0 espaco das formas simétricas e BaV x V o espaco das formas antissimétricas so ambos subespacos de BV x V 0 espaco das formas bilineares Os resultados destes trés exercicios mostram que BV x V Bs V x V BaV xV Definigao um funcional é uma transformacao cujo contradominio é 0 con junto dos nimeros reais ou o conjunto dos nimeros complexos Definigao um funcional linear é um funcional que é uma transformacao linear Observagao um funcional linear é por vezes chamado de forma linear Exemplo dados os funcionais lineares f U Reg V R a funcao bUxV R definida por b uv f u g v 6 uma forma bilinear chamada de o produto tensorial de fe g Se U e V sao espacos vetoriais Euclidianos fixados uo U evo V a funcgao b Ux V Rna qual bu v uo u vo v é uma forma bilinear No caso particular em que U V dados os funcionais lineares f V Reg V R entao as igualdades feguv flugvfugr 11 1Um polinémio homogéneo é um polinémio no qual os termos n4o nulos todos tém o mesmo grau po QnnKzky 3 e f g u v f u g v f u g v 12 denem formas bilineares f g V V R e f g V V R sendo a primeira simétrica e a última antissimétrica Denição dado o espaço vetorial Euclidiano V real chamamos o espaço V L E R f f V R funcionais lineares de espaço dual de V Exercício mostre que existe um isomorsmo entre V e V Teorema Se V é um espaço vetorial real Euclidiano e ξ V V é tal que ξ v v com v w v w para todo w V então ξ é um isomorsmo Exercício demonstre este teorema Teorema se V é um espaço vetorial Eucliniano real e b V V R é uma forma bilinear então existe um único operador linear Tb V V tal que u Tb v b u v 13 para todos u v V Demonstração seja v0 V arbitrário A função f V R denida por f u b u v0 é um funcional linear devido à bilinearidade de b V V R Pelo teorema anterior existe um único vetor em V que denotaremos por Tb v0 tal que f u u Tb v0 Ou seja u Tb v0 b u v0 para todo u V Como v0 V é arbitrário acabamos de mostrar que existe uma única função Tb V V tal que u Tb v b u v para quaisquer u v V Dados quaisquer v v V e qualquer α R temos u Tb u u b u v v b u v b u v u Tb v u Tb v 14 u Tb αv b u αv αb u v α u Tb v 15 Isto mostra que de fato Tb é linear quod erat demonstrandum Teorema a associação descrita no teorema anterior é um isomorsmo entre B V V e L V R Demonstração em relação a uma base ortonormal U u1 u2 um de V temos que a matriz de b é b ui uj enquanto que a matriz de Tb é ui Tb uj Contudo pelo teorema anterior devemos ter b ui uj ui Tb uj ou seja a mesma matriz que representa b na base U representa Tb na base o que mostra o isomorsmo entre B V V e L V R Corolário a forma bilinear b acima é simétrica somente se e se o operador Tb é autoadjunto De fato pelo isomorsmo B V V e L V R a forma bilinear b e o operador Tb que a ela corresponde têm a mesma matriz na base ortonormal U Assim a forma bilinear b é simétrica se e somente se sua matriz que na base 4 ortnormal U é simétrica Esta matriz por sua vez é simétrica se e somente se T um operador simétrico Num espaco vetorial real todo operador simétrico é um operador autoadjunto Definigao Uma funcao y V R é chamada de forma quadrética quando existe uma forma bilinear b V x V R tal que yv bvv para todo veEV Se em vez de uma forma bilinear b tomarmos uma forma bilinear simétrica b 1 b u v 9 b u v bvu 16 teremos ainda gv uv 1 9 bv v bv v bvv 17 Portanto nao ha perda de generalidade em se exigir que a forma quadratica yv bvv provenha de uma forma bilinear simétrica b E o que faremos doravante Com efeito temos a formula de polarizacao 1 buv 7 ut vuv buu bvv 18 pois butvutv buubuv 60u bvv buu 2buv 6bvv 19 Se B b 6 a matriz da forma bilinear b na base U ui u2Um de V entao para v S7 zuj vale m ijl A matriz da forma quadrdtica vy na base U é por definigao a matriz B nesta mesma base da forma bilinear b tal que y v bvv Se P é a matriz de mudanga de base da base U para a base U a matriz B da forma quadratica y na base U sera dada por B P BP Notemos que se V for um espaco vetorial Euclidiano e as bases U e U forem ambas ortonormais a matriz P serd ortogonal logo P P donde BPBP Teorema se V é um espaco vetorial Euclidiano reale b Vx V Ré uma forma bilinear simétrica entao existe uma base ortonormal U uy u2 Um de V tal que buu Adj para todos ij 12m sendo 2 os autovalores do operador J que corresponde a b 5 Demonstragao pelo teorema anterior existe um operador autoadjunto T V V tal que buv uTv para todos uv V O teorema espectral assegura a existéncia de uma base ortnormal U u1 u2Um de V tal que T u Avu para todo 7 12m Entao ui Ajj Aj ui Uy Ajduj 21 quod erat demonstrandum Os nimeros A neste teorema sao por vezes chamados de autovalores da forma quadrética vp Em termos das coordenadas dos vetores u 0j vis Cv Da yjuy relativamente 4 base U do teorema acima a forma bilinear b se exprime como n buv S Ni LiYi 22 il Em particular a forma quadratica py V R yu buu para v iat yju dada por uma combinagao linear de quadrados n ev Sor il Ayp trAvyz Ane 23 E costume numerar os autovalores de y em ordem nao descrescente A N41 A forma quadratica py V R se diz e nao negativa quando yv 0 para todo v V e positiva quando y v 0 para todo v V e nao positiva quando yv 0 para todo v V e negativa quando yv 0 para todo v V e indefinida quando existem u V ev V tais que yu Oe yv 0 Teorema se Aq Ag Am com Ay Aj41 para i 12m1 sao os autovalores da forma quadratica y e u V é um vetor unitaério qualquer entao Ar pu Am Demonstragao escrevendo o vetor unitario u na autobase ortonormal da forma quadratica a saber u1uU2Um temos u 7i au donde 6 SL a 1 Assim Ar Al n i1 n i1 n S Nix i1 lu n i1 n S Amv i1 n Am S x i1 Xn 24 quod erat demonstrandum Definigao o indice de uma forma quadratica y V R éa maior dimensao de um subespaco vetorial de V restrita ao qual a forma quadratica é negativa Quando é nao negativa ou positiva diremos que o indice de é zero Portanto o indice da forma quadratica y V R é igual ao nimero natural i quando existe um subespaco vetorial S C V com dim S i tal que yv 0 para todo vetor nao nulo v S ese RC V é um subespaco com dim R ie existe w R nao nulo tal que yw 0 Se dimV m entao toda forma quadratica negativa y V R tem indice m Definigao seja y V R uma forma quadraticae b V x V Ra forma bilinear simétrica tal que y v bvv para todo v V Escolhendose uma base A v1v2Um de V e pondo bj b uj v com i 7 12m sabemos que para todo vetor v 7j xiv temos yp v O71 bigaivy O posto da forma quadratica y é a dimensao do subespaco vetorial de M mm gerado pelas linhas ou colunas da matriz b Exercicio mostre que o posto de uma forma quadratica py V Ré independente da base da matriz da forma bilinear b na definicgéo acima Em particular se existir uma base A v1V2Um de V tal que para todo v an Lyi E V Tr ev So ra 25 i1 7 com A 0 para i 12r entaéo a matriz da forma bilinear simétrica b associada 4 forma quadratica vy ou simplesmente a matriz de y tem Aq Ao Ay nao nulos na diagonal e todos os demais elementos iguais a zero Assim seu posto é r Teorema da lei da inércia de Sylvester Se y V R é uma forma quadratica e A v1v2Um uma base de V tal que para todo v 1 vjvj V valha ple ep ay a e wie be bey 26 entao y tem indice 7 e posto r Demonstragao pelo que vimos acima 0 porto de y é de fato r Restanos mostrar que o indice de y é 7 Seja S um subespaco de V tal que a restrigao de yp em S é negativa Mostraremos que dim 5 i Com efetio se o vetor nao nulo m v S LjVj 27 jl pertencer a S entao cd el eo 28 Logo aptazta7 0 29 Logo o vetor 127 R nao é o vetor nulo Isto por sua vez mostra que a transformacao linear T S R dada por m Tv T S LjV jl 12 2 30 é injetora e por conseguinte dim S i pois pela injetividade de T nen hum vetor do R é mapeado por dois vetores de V Por fim notemos que dim v1 v2vi 2 e restrita a ele y é negativa pois se torna somente yv a 3 2 0 sendo yv 0 somente se e se 7 2 a 0 Assim i 6 a maior dimensdo de um subespaco de V restrita ao qual y é negativa Ou seja 7 é o indice de y quod erat demonstrandum 11 O método de Lagrange de se completar quadrados Apresentaremos o método de Lagrange de se completar quadrados para se obter uma base no espaco vetorial V relativamente 4 qual uma dada forma quadratica yp V R com dimV m nao nula tenha uma matriz diagonal cujos elementos nao nulos sao iguais a 1 ou a 1 8 Comecemos com uma base qualquer D u1u2Um de V na qual se tem m gv SO byain 31 ijl para v 0 au Se A a M mm é a matriz de mudanca de base da base D para a base E v1v2Um temos m ev So cays 32 ijl com v oy yivi Temos trés casos que na verdade sao um so O primeiro consiste em termos b 0 para todo i 12m em 31 Como y nao é nula existe pelo menos um elemento b 4 0 com r s em 31 Realizamos a seguinte mudanga de variaveis Lp Yr Ys5 33 Ts Ur Ys 34 a yseié rs 35 Com isto 31 se torna m ijl m S bij LiL bp sLpL5 ij1igrs m So big yiyy brs Yr Ys Yr Ys ij1igrs m S big Wis brsYrYr brsYrYs brsYsYr brsYsYs ij1igrs m S big Wis brsYrYr brsYsYs ij1igrs m SS divin 36 ijl e a forma quadratica possui dois termos nao nulos na diagonal Isto recai no segundo caso O segundo caso consiste na forma quadratica 31 possuir pelo menos uma elemento b 4 0 para algum 7 12m No segundo caso dois subcasos podem acontecer 9 O primeiro subcaso é se b 0 Neste caso podemos considerar outra base com os mesmos vetores de D mas dispostos em outra ordem de tal forma que bi 40 o que recai no segundo subcaso O segundo subcaso consiste em bi 4 0 Consideremos sem perda de generalidade que estamos no segundo caso e no segundo subcaso Assim escrevemos m ev Sd bijaix ij1 m m m Do bryrrey Dd bignin jl i2 jl m m m 6442121 SC byjain SOS ody ai0 j2 i2 jl m m m 6442121 SC byjain SOS ody ai0 j2 j2 il m m m m 6442121 SC byjain So dyjxiv SOS dij aia j2 j2 j2 i2 m b m 2 dj b14 ry 221 bi SD big Vis 37 j2 49 2 Definimos b cj a 38 bi m uv So wit ue U3 Um 39 i2 ew ugU3Um V a forma quadratica dada por m wy v S big Vis 40 ij2 Com isto 37 se escreve como m b m 2 dj j2 1j2 m bi4 ry 2a N cj2 v j2 10 by ry 20 5 ej2 So ej So ej v j2 j2 j2 2 2 m m m bi ry 20 5 ej2 So ej by So ea v j2 j2 j2 2 2 m m bi4 Ly So eja buy So cj v 41 j2 j2 Consideremos agora a mudanga de varidveis m i rit dia So egy para todo i 12m 42 j2 Com isto a forma quadratica acima se torna 2 2 m m yp v bi Ly So eja biy So cj v j2 j2 m bi2z7 b14 S CECi 25 wy v 43 ij2 Definimos agora a forma bilinear u2u3Um V pondo m Ev bu So eiejzizy v 44 ij2 Assim gv buzitv 45 Faremos agora a seguinte mudanga de variaveis yi lou Vion 1 1 zj para todo i 12m 46 Com isto a forma y se torna gv senbii27v 47 Como dim u2 ugUm dimV 1 podemos repetir este proced imento recursivamente para a forma quadratica Ao final apds mais uma mudanga de varidveis que deixa todos os coeficientes b negativos primeiro ficamos com ev yf 2 UE AU tue te tar 48 11 sendo conforme vimos 7 0 indice e r o posto da forma quadratica Exemplo seja y R R a forma quadratica dada por yayz 2a Qy 227 4 dry daz 8yz 49 Juntando os fatores que dependem de z Qn 4aydaz 22 2xy2z 22 2ey2y 2 y2 2e 20 y 2 y2 2y2 Aaexyz2y2z 50 Isto nos sugere a mudanga de variaveis Yy2 51 Entao yayz 2a Qy 227 day 4az 8yz 25 2y 2 Qy 227 Byz 52 Juntando tudo o que depende de y 2y 2 2y 8yz 2y dyz 227 2y Byz 12yz 22 2 2 6zy 2 223y 3y 3y 2z3y 18y 53 Definindo r g 3Y 54 a forma se torna ey2 28 2y 2 2y 22 Byz 287 Ir 18y 2y 28 2r 20y 55 Definimos por fim y V2r 56 yo V2s 57 ys v20y 58 12 Finalmente a forma quadrática se escreve como φ x y z 2x2 2y2 2z2 4xy 4xz 8yz y2 1 y2 2 y3 3 59 Desta expressão concluímos que seu índice é 1 e seu posto 3 12 Formas sesquilineares Para o caso de espaços vetoriais complexos precisamos fazer uma adaptação às formas bilineares Sejam V e W espaços vetoriais complexos Uma forma sesquilinear b V W C é uma função tal que para quaisquer u u V v v W e α C valem b u u v b u v b u v 60 b u v v b u v b u v 61 b αu v αb u v 62 b u αv αb u v 63 13