Avaliação de Álgebra Linear II - Autovalores, Autovetores e Produtos Internos

Avaliação de Álgebra Linear II EaD Professor Dr C A Bonin 24062023 Observação resolva esta avaliação e faça upload da sua resolução Não esqueça de enumerar as questões nas respuestas nem de escrever seu nome completo na resolução 1 A seguir estão listados alguns operadores lineares sobre o ℝ² e sobre o ℝ³ Verifique quais deles são inversíveis Determine o inverso de cada operador regular a T ℝ² ℝ² T x y 3x 4y x 2y 8 pontos b T ℝ³ ℝ³ T x y z x y z 2y z x y 9 pontos 2 Calcule os autovalores e os autovetores das matrizes abaixo a A 1 3 1 5 8 pontos b A 0 0 2 0 1 0 2 0 0 9 pontos 3 Sejam u x₁ y₁ z₁ e v x₂ y₂ z₂ vetores quaisquer do ℝ³ Verifique se as funções definidas abaixo são produtos internos a u v x₁x₂ 3y₁y₂ 8 pontos b u v 3x₁x₂ 5y₁y₂ 2z₁z₂ 8 pontos 4 Consideremos o seguinte produto interno em P₂ p q a₂b₂ a₁b₁ a₀b₀ sendo p a₂x² a₁x a₀ e q b₂x² b₁x b₀ Dados os vetores p₁ x² 2x 3 p₂ 3x 4 e p₃ 1 x² calcule a a distância entre p₁ e p₂ 8 pontos b o ângulo entre p₂ e p₃ 9 pontos 5 Seja f ℝ² ℝ² ℝ definida por f x₁ x₂ y₁ y₂ 2x₁y₁ 3x₁y₂ x₂y₂ 1 a Verifique se f é uma forma bilinear 8 pontos b Encontre a matriz B de f na base 2 1 1 1 8 pontos 6 Dadas as formas quadráticas abaixo utilize o método de Lagrange para exprimilas como somas e diferenças de quadrados e a partir daí determine o índice e o posto de cada uma delas a φ x y x2 9y2 6xy 8 pontos b ξ x y z x2 2xy z2 3xz y2 2yz 9 pontos 2 1 a Txy 3x 4y x 2y T xy 3x 4yx 2y 3 41 2 xy Checar se a matriz é invertível det3 41 2 6 4 2 0 T é invertível Calcular matriz inverso 3 41 01 30 1 r3 1 20 13 41 0 L2 3L1 5 100 5 L1 L2 5 0 1 2 0 10 1 3 1 0 15 25 0 1 110 310 T¹ xy 110 2 41 3 xy Assim T¹xy 2x 4y10 1x 3y10 1b T x y z x y z 2y z x y T xyz 1x 1y 1z0x 2y 1z1x 1y 0z 1 1 1 0 2 1 1 1 0 xyz Checar se a matriz é invertível det 1 1 1 0 2 1 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 T não é invertível 2 a A 1 31 5 Autovalor det 1 λ 31 5 λ 1 λ5 λ 3 0 λ 1λ 5 3 0 λ² 6λ 5 3 0 λ² 6λ 8 0 λ 2λ 4 0 λ 2 ou λ 4 Autovalores Autovetores λ 2 1 3 1 5x y 2x 2y x 3y 2x x 5y 2y 3y x 3y x se y 1 x 3 3 1 é autovetor λ 4 1 3 1 5xy 4x 4y x 3y 4x x 5y 4y y x y x x y 1 1 1 é autovetor Então λ₁ 2 e vλ₁ 3 1 λ₂ 4 e vλ₂ 1 1 2 b A₂ 0 0 2 0 1 0 2 0 0 Autovalor det λ 0 2 0 1 λ 0 2 0 λ λ³λ 1 4λ 1 λ 14 λ² 0 λ 1 λ² 4 λ 2 Autovalores λ 2 λ 2 Autovetores λ 1 0 0 2 0 1 0 2 0 0 xyz x y z 2z x y y y livre 2x z x 2z x z2 x z 0 0 1 0 é autovetor λ 2 0 0 2 0 1 0 2 0 0 x y z 2x 2y 2z 2z 2x y 2y y 0 x z 2x 2z 101 é autovetor λ 2 0 0 2 0 1 0 2 0 0 x y z 2x 2y 2z 2z 2x y 2y y 0 x z 2x 2z 101 é autovetor Assim λ1 1 e vλ1 010 λ2 2 e vλ2 101 λ3 2 e vλ3 101 3 a uv x1 x2 3y1 y2 em R3 Propriedade do nulo uu 0 u 000 Seja u 001 uu 00 300 0 mas u 000 Não é produto interno falta a propriedade do nulo 3b uv 3x1 x2 5y1 y2 2z1 z2 Linearidade na 1a coordenada U Xu Yu Zu V Xv Yv Zv e α IR W Xw Yw Zw UV W αXu Xv αYu Yv αZu Zv Xw Yw Zw 3αXu Xv Xw 5αYu Yv Yw 2αZu Zv Zw α3 Xu Xw 5 Yu Yw 2 Zu Zw 3 Xv Xw 5 Yv Yw 2 Zv Zw αU W VW Simetria xyz 0bc 3xa 5yb 2zc 3ox 5by 2cz 0bc xyz Positivo Se xyz 000 então xyz xyz 3 x2 5y2 2z2 0 pois x IR x2 0 e x2 y2 z2 0 Logo é produto interno satisfaz as 3 propriedades 4 p a2 x2 a1 x a0 e pq a2 b2 a1 b1 a0 b0 q b2 x2 b1 x b0 a distância p1 x2 2x 3 p2 3x 4 p3 1 x dp1 p2 p1 p2 x2 2x 3 3x 4 x2 5x 7 sqrt12 52 72 sqrt1 25 49 sqrt75 5 sqrt3 b Angulo entre p2 e p3 θ Arccosp2 p3p2 p3 p2 3x 4 sqrt32 42 sqrt9 16 sqrt25 5 p3 1 x2 sqrt1 1 sqrt2 p2 p3 3x 4 x2 1 01 30 41 4 Assim θ Arccos4 5 sqrt2 Arccos2 sqrt25 21720 Radianos 12444 graus 5 Fx1x2y1y22 x1 y1 3 x1 y2 x2 y2 a é forma bilinear Linearidade na 1a coordenada α IR Fαx1x2 y1y2z1z2Fαx1 y1 αx2 y2z1z2 2αx1 y1 z1 3 αx1 y1 z2 αx2 y2 z2 α 2 x1 z1 3 x1 z2 x2 z2 2 y1 z1 3 y1 z2 y2 z2 α Fx1x2 z1z2 Fy1y2z1z2 OK Linearidade na 2a coordenada α IR Fx1x2 αy1y2 z1z2 Fx1x2 αy1 z1 αy2 z2 2 x1 α y1 z1 3 x1 α y2 z2 x2 α y2 z2 α 2 x1 y1 3 x1 y2 x2 y2 2 x1 z1 3 x1 z2 x2 z2 α Fx1x2 y1y2 Fx1x2 z1z2 OK F é linear em ambas as coordenadas F é forma bilinear b base canônica x1 x2 a b c d y1 y2 x1 x2 a y1 b y2 c y1 d y2 a x1 y1 b x1 y2 c x2 y1 d x2 y2 2 x1 y1 3 x1 y2 0 x2 y1 1 x2 y2 a2 b3 c0 d1 Se xy está na base α 21 11 então XYα 2 1 1 1 XY x yα x y 2 1 1 1 Assim x y 2 1 1 1 2 3 0 1 2 1 1 1 x y B 40 61 20 31 2 11 1 4 5 2 4 2 1 1 1 3 9 0 6 B 3 9 0 6 6 a φxy x2 q y2 6 x y x2 6 x y q y2 x2 2 x 3 y 3 y2 x y2 0 y x x y ŷ 0 x ŷ 1 0 0 0 x ŷ x2 x y2 Rankφ Postoφ 1 φ é representado por matriz quadrada de índice 2 6b ξxyz x2 2 x y z2 3 x z y2 2 y z x2 2 x y 3 z2 y 3 z22 y 3 z22 y2 z2 2 y z x y 3 z22 y2 3 y z 9 z24 y2 z2 2 y z x y 3 z22 0 y2 5 z24 y z x y 3 z22 54 z2 2 z 4 y10 2 y52 54 2 y52 x y 3 z22 54 z 2 y52 54 425 y2 x y 32 z2 15 y2 54 z 2 y52 x x y 32 z y y z z 2 y5 x2 15 y2 54 z x y z 1 0 0 0 15 0 0 0 54 x y z Rank3 índice3