Método PERT: Conceitos e Cálculos em Pesquisa Operacional

Universidade de São Paulo Pesquisa Operacional II Prof Dr Marcelo S Nagano Método PERT Domina o Método CPM SIM NÃO Vai perder tempo mas continue 4 NESTA LIÇÃO VAI APRENDER O que é o Método PERT As convenções associadas à rede PERT A calcular a rede PERT A calcular uma DataLimite para um projeto A calcular a probabilidade de conclusão de um projeto 5 PERT Program Evaluation Review Desenvolvido em 1958 nos EUA programa de mísseis Polaris Technique 6 Método PERT O que é Método estatístico aplicável a redeshorárias de projetos em que há atividades de duração aleatória 7 Rede do Projeto O que é Grafo onde as atividades do projeto são colocadas de acordo com relações de precedência 8 Tipos de Rede do Projeto AOA activities on arcs AON activities on nodes Ver CPM lição 1 9 Método PERT Duração da Atividade pressuposto As atividades com duração aleatória deverão ter distribuição Beta A função de distribuição pode ou não ser conhecida Neste último caso é calculada Nota No método CPM as durações de todas as atividades são determinísticas variância nula Nas redes que exijam a aplicação do PERT atividades com duração aleatória podem existir atividades com duração determinística 10 Método PERT Distribuição Beta 3 estimativas ot mt pt Probabilidade de 1 em 100 Probabilidade de 1 em 100 tempo 11 Método PERT Atividade com duração desconhecida Função de distribuição desconhecida Quando a função de distribuição não é conhecida é necessário estabelecêla com base em três estimativas para a duração da atividade 1 Duração Otimista to duração da atividade em condições favoráveis 2 Duração Pessimista tp duração da atividade em condições desfavoráveis 3 Duração Mais Provável tm duração da atividade em condições consideradas normais 12 Método PERT Duração da atividade conhecidos to tm e tp Duração Média tempo esperado Variância associada 6 4 p m o t t t et Notar que a estimativa da duração mais provável tm tem peso 4 enquanto as estimativas to e tp têm peso 1 2 6 o p t t t V e Notar que o desvio padrão do tempo esperado é um sexto do intervalo entre as estimativas pessimista e optimista 13 Nº Atividade Etapa Inicial Etapa Final DurOtimista Dur Provável DurPessimista 1 1 5 5 7 12 2 5 10 12 16 28 3 5 15 2 6 13 4 10 15 5 10 25 5 8 15 6 15 20 5 13 17 7 20 25 4 6 11 8 20 30 1 4 9 Compare os seus resultados com os da figura seguinte Calcule a duração esperada te e variância Vte das atividades seguintes 14 Nº Atividade Etapa Inicial Etapa Final DurOtimista Dur Provável DurPessimista Dur Esperada Variância 1 1 5 5 7 12 75 14 2 5 10 12 16 28 173 71 3 5 15 2 6 13 65 34 4 10 15 0 0 5 10 25 5 8 15 87 28 6 15 20 5 13 17 123 4 7 20 25 4 6 11 65 14 8 20 30 1 4 9 43 18 Se errou reveja o assunto e execute novamente 15 PERT Rede AOA As atividades são desenhadas com a indicação do tempo esperado e variância associada por esta ordem A atividade 15 tem a duração média tempo esperado de 78 dias com variância associada de 08 dias2 A atividade 1035 tem a duração de 24 dias determinística 20 5 10 30 25 35 40 1 45 50 23 78 08 182 20 30 13 240 00 150 09 80 30 30 05 80 25 200 16 60 00 35 200 16 200 16 16 PERT Rede AOA Cálculo da Rede Na rede PERT associase a cada uma das Etapas 20 5 10 30 25 35 40 1 45 50 23 78 08 182 20 30 13 240 00 150 09 80 30 30 05 80 25 200 16 60 00 35 200 16 200 16 TE Tempo Mais Cedo Médio Variância associada ao Tempo Mais Cedo Médio TE V TL Tempo Mais Tarde Médio Variância associada ao Tempo Mais Tarde Médio TL V TE TL F Folga Média Variância associada à Folga Média F V TE TE V TL VTL VF F 17 Tempo Mais Cedo da Etapa Cálculo exatamente igual ao do método CPM 5 10 1 50 23 78 08 78 78 0 Max50 78 78 0 50 50 0 78 78 78 0 78 18 Variância doTempo Mais Cedo da Etapa Inicial do Projeto 5 10 1 50 23 78 08 78 78 0 Etapa Inicial do projeto Tempo Mais Cedo 0 Variância deste TE 0 0 19 Variância doTempo Mais Cedo de uma Etapa Soma das variâncias associadas às parcelas do Tempo Mais Cedo da Etapa 5 10 1 50 23 78 08 78 78 0 0 08 08 0 08 Etapa 5 tem TE 78 Parcelas cuja soma deu este valor TE0 da etapa 1 tem variância 0 Tempo Esperado da atividade 15 78 tem variância 08 A Variância do TE da etapa 5 é a soma das variâncias dos temposparcelas 0 08 08 20 Variância doTempo Mais Cedo de uma Etapa Soma das variâncias associadas às parcelas do Tempo Mais Cedo da Etapa 5 10 1 50 23 78 08 78 78 0 0 08 Etapa 10 tem TE 78 Parcelas cuja soma deu este valor TE78 da etapa 5 tem variância 08 Tempo Esperado da atividade 510 0 tem variância 0 A Variância do TE da etapa 10 é a soma das variâncias dos temposparcelas 08 0 08 08 21 Qual é a variância do TE da Etapa 10 ligue o som 5 10 1 50 23 50 08 50 50 0 0 08 0 50 23 08 22 A variância do TE da Etapa 10 é 23 porque 5 10 1 50 23 50 08 50 50 0 0 08 23 Etapa 10 tem TE 50 Parcelas cuja soma deu este valor TE50 da etapa 5 tem variância 08 Tempo Esperado da atividade 510 0 tem variância 0 Mas o mesmo valor é obtido a partir da Etapa 1 pelo arco 110 Há empate para o valor do TE da Etapa 10 No 1º caso a variância é 08 0 08 No 2º caso a variância é 0 23 23 Quando há empate para o valor do TE a variância deste é MÁXIMO DAS VARIÂNCIAS CALCULADAS 23 23 PERT Rede AOA Cálculo da Rede 20 10 50 30 40 1 60 50 23 110 16 240 00 150 09 30 05 200 16 60 00 200 16 Etapa Tempo Mais Cedo Médio Variância associada 0 0 0 0 1 24 PERT Rede AOA Cálculo da Rede 20 10 50 30 40 1 60 50 23 110 16 240 00 150 09 30 05 200 16 60 00 200 16 Etapa Tempo Mais Cedo Médio Variância associada 0 23 23 0 50 50 0 0 23 50 Técnica igual à do método CPM Soma da variância das parcelas 10 25 PERT Rede AOA Cálculo da Rede 20 10 50 30 40 1 60 50 23 110 16 240 00 150 09 30 05 90 15 60 00 200 16 Etapa Tempo Mais Cedo Médio Variância associada 0 09 09 0 150 150 0 0 23 50 Técnica igual à do método CPM Soma da variância das parcelas 09 150 20 26 PERT Rede AOA Cálculo da Rede 20 10 50 30 40 1 60 50 23 110 16 240 00 150 09 30 05 90 15 60 00 200 16 Etapa Tempo Mais Cedo Médio Variância associada 23 00 23 50 240 290 0 0 23 50 Técnica igual à do método CPM Soma da variância das parcelas 09 150 23 290 30 27 PERT Rede AOA Cálculo da Rede 20 10 50 30 40 1 60 50 23 110 16 240 00 150 09 30 05 90 15 60 00 200 16 Etapa Tempo Mais Cedo Médio Variância associada 09 16 25 150 110 260 0 0 23 50 Técnica igual à do método CPM Soma da variância das parcelas 09 150 23 290 25 260 40 28 PERT Rede AOA Cálculo da Rede 20 10 50 30 40 1 60 50 23 110 16 240 00 150 09 30 05 90 15 60 00 200 16 Etapa Tempo Mais Cedo Médio Variância associada 23 00 23 Max0 20 29 0 290 0 0 23 50 Soma da variância das parcelas 09 150 23 290 25 260 23 290 Técnica igual à do método CPM 020 290 50 29 PERT Rede AOA Cálculo da Rede 20 10 50 30 40 1 60 50 23 110 16 240 00 150 09 30 05 90 15 60 00 200 16 Etapa Tempo Mais Cedo Médio Variância associada Max23 0 25 15 40 Max29 6 29 3 26 9 350 0 0 23 50 Técnica igual à do método CPM Soma da variância das parcelas 09 150 23 290 25 260 23 290 Empate no Máximo Maior das variâncias associadas ao TE 40 350 60 30 Tempo Mais Tarde da Etapa O método PERT é utilizado em projetos onde há Incerteza duração aleatória quanto à duração de parte ou mesmo de todas as atividades a executar Neste ambiente o planejador está interessado em obter resposta para uma das duas questões seguintes 1 Qual é a probabilidade de terminar o projeto na DataLimite k 2 Qual a datalimite a fixar que garante a conclusão do projeto com a probabilidade de por exemplo 85 Fixe previamente uma DataLimite determinística ou seja com variância nula para efetuar o cálculo dos TL das Etapas 31 Tempo Mais Tarde da Etapa e Variância associada 5 10 1 50 23 50 08 78 28 78 TL 10 0 10 dias Variância 0 0 0 10 0 0 08 Empate no valor de TL Variância Maxvariâncias associadas 50 TL 10 50 50 dias Variância 0 23 23 TL 10 50 50 dias Variância 0 08 08 10 0 0 23 TL Min5 5 50 dias Variância Max23 08 23 Fixada a datalimite 10 dias 32 Cálculo dos TL para DataLimite 40 dias 20 10 50 30 40 1 60 50 23 110 16 240 00 150 09 30 05 90 15 60 00 200 16 Etapa Tempo Mais Tarde Médio Variância associada 0 05 05 40 3 370 0 0 23 50 Técnica igual à do método CPM Soma da variância das parcelas 09 150 23 290 25 260 23 290 40 350 400 00 370 05 50 33 Cálculo dos TL para DataLimite 40 dias 20 10 50 30 40 1 60 50 23 110 16 240 00 150 09 30 05 90 15 60 00 200 16 Etapa Tempo Mais Tarde Médio Variância associada 0 15 15 40 9 310 0 0 23 50 Técnica igual à do método CPM Soma da variância das parcelas 09 150 23 290 25 260 23 290 40 350 370 05 310 15 400 00 40 34 Cálculo dos TL para DataLimite 40 dias 20 10 50 30 40 1 60 50 23 110 16 240 00 150 09 30 05 90 15 60 00 200 16 Etapa Tempo Mais Tarde Médio Variância associada 0 0 0 Min40 6 37 0 340 0 0 23 50 Técnica igual à do método CPM Soma da variância das parcelas 09 150 23 290 25 260 23 290 40 350 370 05 310 15 340 00 400 00 30 35 Cálculo dos TL para DataLimite 40 dias 20 10 50 30 40 1 60 50 23 110 16 240 00 150 09 30 05 90 15 60 00 200 16 Etapa Tempo Mais Tarde Médio Variância associada 15 16 31 31 11 200 0 0 23 50 Técnica igual à do método CPM Soma da variância das parcelas 09 150 23 290 25 260 23 290 40 350 370 05 310 15 340 00 200 31 400 00 20 36 Cálculo dos TL para DataLimite 40 dias 20 10 50 30 40 1 60 50 23 110 16 240 00 150 09 30 05 90 15 60 00 200 16 Etapa Tempo Mais Tarde Médio Variância associada 0 0 0 34 24 100 0 0 23 50 Técnica igual à do método CPM Soma da variância das parcelas 09 150 23 290 25 260 23 290 40 350 370 05 310 15 340 00 200 31 100 00 400 00 10 37 Cálculo dos TL para DataLimite 40 dias 20 10 50 30 40 1 60 50 23 110 16 240 00 150 09 30 05 90 15 60 00 200 16 Etapa Tempo Mais Tarde Médio Variância associada Max 0 23 31 09 40 Min 10 5 36 20 20 15 50 0 0 23 50 Técnica igual à do método CPM Soma da variância das parcelas 09 150 23 290 25 260 23 290 40 350 360 05 310 15 340 00 200 31 100 00 50 40 Empate no Mínimo Maior das variâncias associadas ao TL 400 00 1 38 Cálculo da Folga da Etapa 20 10 50 30 40 1 60 50 23 110 16 240 00 150 09 30 05 90 15 60 00 200 16 0 0 23 50 09 150 23 290 25 260 23 290 40 350 400 00 360 05 310 15 340 00 200 31 100 00 50 40 Folga Média TL TE Variância associada Soma das variâncias dos TL e TE utilizados 50 40 50 23 50 40 50 40 50 23 70 28 50 40 39 Atividade Crítica 20 10 50 30 40 1 60 50 23 110 16 240 00 150 09 30 05 90 15 60 00 200 16 0 0 23 50 09 150 23 290 25 260 23 290 40 350 400 00 360 05 310 15 340 00 200 31 100 00 50 40 50 40 50 23 50 40 50 40 50 23 70 28 50 40 Satisfaz simultaneamente duas condições 1ª TE da etapa de início duração TE da etapa de chegada 2ª Etapas de início e fim da atividade têm a Folga Média e respectiva Variância iguais às das etapas de Início e Fim do Projeto 40 Atividade Crítica 20 10 50 30 40 1 60 50 23 110 16 240 00 150 09 30 05 90 15 60 00 200 16 0 0 23 50 09 150 23 290 25 260 23 290 40 350 400 00 360 05 310 15 340 00 200 31 100 00 50 40 50 40 50 23 50 40 50 40 50 23 70 28 50 40 A atividade 120 satisfaz simultaneamente as duas condições É crítica 41 Atividade Crítica 20 10 50 30 40 1 60 50 23 110 16 240 00 150 09 30 05 90 15 60 00 200 16 0 0 23 50 09 150 23 290 25 260 23 290 40 350 400 00 360 05 310 15 340 00 200 31 100 00 50 40 50 40 50 23 50 40 50 40 50 23 70 28 50 40 A atividade 20 40 satisfaz simultaneamente as duas condições É crítica 42 Atividade Crítica 20 10 50 30 40 1 60 50 23 110 16 240 00 150 09 30 05 90 15 60 00 200 16 0 0 23 50 09 150 23 290 25 260 23 290 40 350 400 00 360 05 310 15 340 00 200 31 100 00 50 40 50 40 50 23 50 40 50 40 50 23 70 28 50 40 A atividade 40 60 satisfaz simultaneamente as duas condições É crítica 43 Caminho Crítico 20 10 50 30 40 1 60 50 23 110 16 240 00 150 09 30 05 90 15 60 00 200 16 0 0 23 50 09 150 23 290 25 260 23 290 40 350 400 00 360 05 310 15 340 00 200 31 100 00 50 40 50 40 50 23 50 40 50 40 50 23 70 28 50 40 O caminho 1 20 40 60 é Crítico com Tempo Esperado Te 35 dias Variância do Tempo Esperado VTe 4 44 Duração esperada Te do Projeto 20 10 50 30 40 1 60 50 23 110 16 240 00 150 09 30 05 90 15 60 00 200 16 0 0 23 50 09 150 23 290 25 260 23 290 40 350 400 00 360 05 310 15 340 00 200 31 100 00 50 40 50 40 50 23 50 40 50 40 50 23 70 28 50 40 A Duração Esperada do Projeto tem Distribuição NORMAL com Média Te 35 dias Variância da Média VTe 4 45 Duração do Projeto Probabilidade Veja na figura a localização do Te 35 dias Média da distribuição Note que o desviopadrão da distribuição é de 2 dias raiz quadrada da variância4 013 214 1360 3413 3413 1360 214 013 35 68 9546 9973 29 31 33 37 39 41 26 dias Fixe a sequência aproximada 34 13 2 49 LIGUE O SOM Recorde a distribuição normal 47 013 214 1360 3413 3413 1360 214 013 35 68 9546 9973 29 31 33 37 39 41 26 Duração do Projeto Probabilidade A probabilidade de conclusão do projeto em 35 dias no máximo é 34 50 68 48 Duração do Projeto Probabilidade A probabilidade de conclusão do projeto em 35 dias no máximo é 50 013 214 1360 3413 3413 1360 214 013 35 68 9546 9973 29 31 33 37 39 41 26 49 Duração do Projeto Probabilidade A probabilidade de conclusão do projeto entre 33 e 37 dias é aproximadamente 68 84 42 013 214 1360 3413 3413 1360 214 013 35 68 9546 9973 29 31 33 37 39 41 26 Recorde a sequência 50 Duração do Projeto Probabilidade A probabilidade de conclusão do projeto entre 33 e 37 dias é aproximadamente 68 013 214 1360 3413 3413 1360 214 013 35 68 9546 9973 29 31 33 37 39 41 26 51 Duração do Projeto Probabilidade A probabilidade de conclusão em 37 ou mais dias é aproximadamente 16 84 14 013 214 1360 3413 3413 1360 214 013 35 68 9546 9973 29 31 33 37 39 41 26 Recorde a sequência 52 Duração do Projeto Probabilidade A probabilidade de conclusão em 37 ou mais dias é aproximadamente 16 013 214 1360 3413 3413 1360 214 013 35 68 9546 9973 29 31 33 37 39 41 26 53 Duração do Projeto Probabilidade A datalimite para concluir o projeto com a probabilidade de aproximadamente 84 é 36 dias 013 214 1360 3413 3413 1360 214 013 35 29 31 33 37 39 41 37 dias 38 dias Recorde a sequência 54 Duração do Projeto Probabilidade A datalimite para concluir o projeto com a probabilidade de aproximadamente 84 é 013 214 1360 3413 3413 1360 214 013 35 29 31 33 37 39 41 37 dias 55 Duração do Projeto Probabilidade Qual é a probabilidade de concluir o projeto sem exceder 36 dias 013 214 1360 3413 3413 1360 214 013 35 29 31 33 37 39 41 56 35 29 31 33 37 39 41 Cálculo do Desvio Tabelar t dias Tabela da Curva Normal Normalizada Média 0 Desvio padrão unitário 0 3 2 1 1 2 3 σ t T36 25 0 4 35 36 t Te e V T T Duração do projeto Te 35 dias VTe 4 σTe 2 dias 57 Desvio Tabelar 025 Probabilidade 05987 Aproximadamente 60 Exemplo da Tabela 58 Probabilidade A probabilidade de concluir o projeto sem exceder 36 dias é aproximadamente 60 59 Com os dados seguintes calcule 1 A duração esperada do projeto e variância associada 2 DataLimite 52 dias 3 Identifique os caminhoss críticos Nº Atividade Etapa Inicial Etapa Final DurOtimista Dur Provável DurPessimista Dur Esperada Variância 1 1 5 5 7 12 75 14 2 5 10 12 16 28 173 71 3 5 15 2 6 13 65 34 4 10 15 0 0 5 10 25 5 8 15 87 28 6 15 20 5 13 17 123 4 7 20 25 4 6 11 65 14 8 20 30 1 4 9 43 18 A duração esperada e respectiva variância foram calculados anteriormente 60 Cálculo Automático software do autor 61 Recalcule o projeto Datalimite a cumprir com 90 de probabilidade 62 Cálculo Automático software do autor 63 Se falhou nos exercícios propostos reveja os assuntos tratados Não aprenda usando a técnica da repetição Em vez de 10 exercícios faça o mesmo exercício 10 vezes e fundamente o porquê do que executa Não esqueça que o método PERT não é mais do que uma técnica estatística aplicada à redehorária de um projeto 64 Caminho Crítico 0 40 40 0 40 40 20 50 40 1 60 110 16 150 09 150 05 90 15 200 16 150 190 40 09 31 40 260 300 40 25 15 40 350 39 40 40 0 40 200 240 40 16 05 21 Os caminhos 1 20 40 60 e 1 50 60 têm ambos a mesma duração média máxima 35 dias Serão ambos críticos É claro que não pois a atividade 1 50 não é crítica veja também que a variância associada é 16 05 21 inferior à do caminho crítico Só é crítico o caminho 1 20 40 60 65 Importante O caminho 1 20 40 60 é crítico Te 35 VTe 4 A probabilidade de cumprir a datalimite 39 dias é calcule 0 40 40 0 40 40 20 50 40 1 60 110 16 150 09 140 30 90 15 200 50 150 190 40 09 31 40 260 300 40 25 15 40 350 39 40 40 0 40 200 250 50 50 30 80 66 Importante Probabilidade de cumprir a datalimite é aproximadamente 977 Calcule agora a probabilidade de cumprir a datalimite no caminho 1 50 60 0 40 40 0 40 40 20 50 40 1 60 110 16 150 09 140 30 90 15 200 50 150 190 50 09 31 40 260 300 50 25 15 40 350 39 40 40 0 40 200 250 40 50 30 80 67 Importante 0 40 40 0 40 40 20 50 40 1 60 110 16 150 09 140 30 90 15 200 50 150 190 50 09 31 40 260 300 50 25 15 40 350 39 40 40 0 40 200 250 40 50 30 80 Duração média do caminho 1 50 60 200 140 34 dias Variância associada 50 30 80 68 Importante 0 40 40 0 40 40 20 50 40 1 60 110 16 150 09 140 20 90 15 200 40 150 190 50 09 31 40 260 300 50 25 15 40 350 39 40 40 0 40 200 250 40 16 20 36 Duração média 34 dias Variância associada 80 1 77 8 39 34 t Na tabela da Curva normal normalizada obtém P177 09616 aproximadamente 962 Desvio tabelar 69 Importante 0 40 40 0 40 40 20 50 40 1 60 110 16 150 09 140 20 90 15 200 40 150 190 50 09 31 40 260 300 50 25 15 40 350 39 40 40 0 40 200 250 40 16 20 36 Caminho Te VarTe Probabilidade de conclusão até à data limite 1 20 40 60 350 40 977 notar que é o caminho crítico 1 50 60 340 80 962 A probabilidade de cumprir a datalimite no caminho 15060 é inferior à do caminho crítico Por esta razão o caminho 1 50 60 é denominado Sub crítico 70 Caminho Sub crítico Um caminho sub crítico É um caminho não crítico Com duração média de variância superior maior incerteza à que está associada à duração média do caminho crítico e que determina Probabilidade de conclusão na datalimite inferior à do caminho critico Caminho Te VarTe Probabilidade de conclusão até à data limite 1 20 40 60 350 40 977 notar que é o caminho crítico 1 50 60 340 80 962 71 Pesquisa de caminhos Sub críticos 1 Para cada um dos caminhos não críticos calcule a variância da respectiva duração média 2 Selecione para análise os caminhos com variância da respectiva duração média superior à do caminho crítico 3 Para cada um dos caminhos selecionados calcule a probabilidade de estarem concluídos até à data limite Considere Sub críticos aqueles em que a probabilidade de conclusão até à datalimite é inferior à dos caminhos críticos 72 Importância dos caminhos Sub críticos O acompanhamento da execução de atividades associadas a caminhos sub críticos não pode ser desprezado dado que se o tempo de execução daquelas atividades escorregar na direção do limite pessimista podem surgir novos caminhos críticos FIM